Gästebuch 2024

  1. Danke für den Tipp, @68. Das werde ich mir noch einmal anschauen. Wie im Winter die Gesamtbilanz aussieht, wäre interessant. Da ist es mir nämlich willkommen, dass Sonnenstrahlen den Raum heizen, und die Ausrichtung der Fenster ermöglicht das bei klarem Himmel auch.

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  2. https://prlbr.de/2024/kunarien/#K11

    R.I.B. (Rest in Bird 🕊️).

    Du kannst den Vogelschutz kombinieren mit Hitze-, Kälteschutz: ich habe bei mir eine Folie auf der Scheibe, die nach draussen reflektiert und nach innen Infrarotstrahlen zurückhält, bzw nach aussen wegreflektiert.

  3. @66 Hm, ja. Lautes und/oder Zerstörerisches erhält vermutlich mehr Aufmerksamkeit in unseren Medien und der Gesellschaft insgesamt als Sanftes, Gutes und zuverlässig Funktionierendes.

    Was die jüngsten beiden Matheartikel angeht, so vermute ich ein nur geringes Interesse aber einfach, weil es ein eher abstraktes Thema ist, mit dem kaum jemand in seinem Leben wissentlich in Berührung kommen wird. Ich habe für dieses Jahr noch andere Artikel mit mathematischem Hintergrund im Sinn, die gewiss einen praktischen Bezug zum Leben von mehr Leuten haben werden.

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  4. https://prlbr.de/2024/kunarien/#K10

    Das erinnert mich an die Destruktivität in Gesellschaften: wenn ein Gartenzwerg etwas Zwergiges von sich gibt, wird kaum jemand Interesse bekunden; wenn der Zwerg jemandem Gewalt antut oder was ganz Schlimmes antut, wird die ganze Zwergenwelt darüber berichten.

    Destruktivität bringt maximale Aufmerksamkeit, zwingt Andere dazu, sich mit etwas zu beschäftigen, während freundliche Zwerge übersehen werden.

    Dadurch entsteht darüber hinaus der Eindruck, dass der Aggrozwerg besonders wichtig ist, obschon er das nicht ist.

    Durch wenige Attentäter wurden weltweit Gesetze und Kontrollen verschärft, Freiheiten eingegrenzt, Mehrkosten in Kauf genommen. Etwas, was viel größere Gesellschaftsgruppen nicht bekommen: Alleinerziehende, Kinder, Behinderte, Migranten, Pflegende, etc.

    Das macht die Welt noch ungerechter und frustriert ungemein.

  5. Re: https://prlbr.de/2024/kunarien/#K10

    Apropos Schlussstrich … unter einem solchen ist immer noch Platz für eine Anmerkung. 😉 Anmerken könnte ich, dass zwar primitive 24-te Einheitswurzeln nicht als Quotient zweier algebraischer Zahlen darstellbar sind, aber man fast den Eindruck haben könnte, es ginge. So ist folgende Darstellung korrekt:

    ζ124=1+i3(1+i)2

    Würde man die Klammern ausradieren, wäre das ein Quotient zweier algebraischer Zahlen zweiten Grades. Allerdings wäre die Formel dann nicht mehr richtig.

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  6. PS: @24

    Ich konnte mich zuletzt öfter an Träume erinnern. In der Nacht von vorgestern zu gestern träumte ich wieder von Rübli. Ich träumte davon, dass er Kontakt zu einem anderen, kleinen Hund fand und mit ihm spielte, ohne übertrieben herumzuquieken oder zu bellen. Ich war überrascht und erfreut, denn ich wusste auch im Traum, dass Rübli normalerweise zu aufgeregt und laut ist und dadurch kaum je einen guten Kontakt mit uns noch fremden Hunden hat.

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  7. A, B, C, D sind als Zahlen ebenfalls ungewöhnlich, nach Essen klingende Zahlen sind auch ungünstig..

  8. Zum Artikel https://prlbr.de/2024/potenzen/ berichtete mir David gestern, es gebe einen Wikipedia-Artikel, der dieselbe Methode vorstellt, ebenfalls die Umsetzung in Programmiersprachen zeigt und als Beispiel sogar denselben Exponenten 23 wie ich zur Veranschaulichung verwendet. Dass schon viele Menschen zuvor sich das Gleiche ausdachten, überrascht mich nicht – hatte ich ja auch geschrieben, https://prlbr.de/2024/kunarien/#K9. Es ist einfach naheliegend, sich über eine effizienten Umsetzung einer so häufig auftretenden Operation Gedanken zu machen. Bekannt ist mir zum Beispiel auch, dass Leute früher auch Logarithmentafeln und Rechenschieber fürs Potenzieren nutzten – wobei man sich bei diesen Hilfsmitteln meist mit ungefähren Ergebnissen zufrieden geben muss.

    Dass ich das gleiche Beispiel, hoch 23, wie Wikipedia-Autoren wählte, erscheint schon etwas kurios und könnte zur irrtümlichen Vermutung verleiten, ich hätte abgeschrieben. Ich möchte ein paar Worte dazu notieren, warum die Übereinstimmung weniger erstaunlich ist, als es auf den ersten Blick aussieht.

    Zuerst einmal wählen wir Menschen Zahlen nicht wirklich zufällig aus. Wenn man zehntausend Leute bitten würde, eine zufällige Zahl zwischen 0 und 100 zu nennen, so wären die Ergebnisse sicherlich nicht gleich verteilt. Einige Zahlen würde kaum genannt, andere viel häufiger. Zahlen bis 31 laufen uns im Kalender regelmäßig über den Weg und liegen daher vielleicht schon auf der Zunge, größere Zahlen nicht. Manche Zahlen wie etwa 7, 13, 42 und auch 23 sind kulturell besonders geprägt.

    Während die Methode zum Potenzieren mit allen ganzzahligen positiven Exponenten funktioniert, sind außerdem viele Exponenten ungeeignet, um die Methode anhand eines ersten Beispiels zu illustrieren. Exponenten unter 4 sind zu klein, um das Prinzip klarzumachen. Außerdem bringt die Methode da noch keinen Vorteil gegenüber der naiven Multiplikation. Man möchte als Einstieg andererseits keine unnötig große Zahl nehmen, um den Leser nicht durch extra lange Formeln zu erschlagen. Zweierpotenzen wie 16 = 10000₂ kommen nicht infrage, ebenso wenig Mersenne-Zahlen wie 31 = 11111₂, da beide aufgrund ihrer besonders simplen Binärdarstellungen nicht alle wichtigen Aspekte der Methode aufzeigen. So sieht man bei b¹⁶ = (((((b)²)²)²)² ja nicht, dass die Methode im Allgemeinen noch mit anderen Multiplikationen als dem Quadrieren arbeitet. Ein Exponent wie 42 = 101010₂ mit seinen abwechselnden Nullen und Einsen könnte den falschen Eindruck erzeugen, bei der Methode müsse man eine solche Regelmäßigkeit einhalten, die jedoch im Allgemeinen nicht besteht. Bei einem Palindrom-Binärcode wie 27 = 11011₂ erkennt man beim Vergleich von Anfang und Ende der Methode nicht, ob sich das Muster in gleicher Reihenfolge fortsetzt oder zwischendurch umkehrt.

    Es gibt viele gute Gründe, die gegen bestimmte Zahlen sprechen. Entsprechend schmal ist der Vorrat an Kandidaten für ein gut geeignetes Anschauungsbeispiel.

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  9. Mir fällt ein, dass das gar nicht gut ist, wenn man Bären 🐻 hält: nur ein kleiner Snack, für zwischendurch, zweimal (b*b); dann die nächsten Tage wieder ([b^2]^2). Die nächsten Wochen wieder ( [[b^2]^2]^9]). Nach k Wiederholungen ist der Bär 🐻 rund und das Haus leergefüttert. Die Moral der Geschicht': immer nur ein Keks 🍪 geben!

  10. @56: „Matrjoschka“ … Ja, das ist ein netter Vergleich.
    @58: Stimmt, man hätte die Funktionsweise so noch anschaulicher erklären können.

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  11. Fortsetzung: wenn nun 2^2 bekannt sind (4) und 2^4 (16), dann kann 2^15 in 2^3 und 2^5 zerlegt werden: 2^3 = [4]*2 = 8, 2^5 = [16]*2 = 32. Daraus werden 3 Pakete: [32][32][32]. Und das ist leichter zu rechnen als 15 Mal wiederholen.

    Vlt wäre so eine Art Erklärung leichter zugänglich.

  12. Ich glaube, @55, was es etwas schwer macht einzusteigen, ist, dass du schnell zu den allgemeinen Formeln übergehst. Mit deinen b*b*b*n*b hast du einen guten Einstieg, mit dem du zeigen kannst, dass b*b = b^2 sind und wenn b^2 bekannt sind, zB 4, dann ist auch b^4 bekannt: (2^2)(2^2)=4*4=16. Das wären dann (b*b)(b*b). Wenn b^4 bekannt sind, dann auch b^8: (b^4)(b^4). Das wären 16*16. Und das ist kürzer als 16 Mal die 2 zu multiplizieren. Damit könntest du auch darlegen, dass aus Einzelpakete ein grosses reduziert werden kann. 2^15 liesse sich in 2^3 und 2^5 zerlegen, also 2^2*2=8, und 2^4*2=32.

  13. Man könnte auch sagen: ein Schwyyzerörgeli. https://m.youtube.com/watch?v=oczj8C7cJOU&pp=ygUQc2Nod3l6ZXIgw7ZyZ2VsaQ%3D%3D

  14. @55 du hast eine Babuschka gebaut. Aus b^(2*2))*b]^2 *b]^2 * b

    Werden das Paket [b^(2*2))*b], das entspricht 5 b, die mit sich multipliziert 10 b ergeben: das Paket:

    [b^(2*2))*b] [b^(2*2))*b]

    Dazu kommt ein weiteres b, *b, das Paket wird zugeschnürt, *b], und alles zusammen mit sich multipliziert. Das ergibt:

    {[b^(2*2))*b] [b^(2*2))*b] *b}{[b^(2*2))*b] [b^(2*2))*b] *b}
    Da ich hier die [ nicht vergrössern kann, mache ich die Einzelpakete mit verschiedenen Klammern deutlich.

    Jetzt noch ein b, *b, und es sind 23 b die sich multiplizieren:

    {[b^(2*2))*b] [b^(2*2))*b] *b}{[b^(2*2))*b] [b^(2*2))*b] *b} b

    = {[bbbbb][bbbbb]*b}{[bbbbb][bbbbb]*b}*b

  15. @53, @54, ich bin nicht sicher, was du sagen möchtest. Vielleicht hast du die Formel nur falsch abgetippt? Die Berechnung von 2 hoch 23 sieht korrekt so aus:

    2²³ = ((((2)²)² ⋅ 2)² ⋅ 2)² ⋅ 2

    oder nur mit ASCII-Zeichen

    2^23 = ((((2)^2)^2*2)^2*2)^2*2

    So kannst du die rechte Seite dieser Gleichung zum Beispiel per Copy&Paste auch bei Google.com eingeben, um sie zu überprüfen.

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  16. 2^((2^(2×2))×(2^2)×(2^2)×(2)) ≠ 2^23

  17. https://prlbr.de/2024/potenzen/

    2^23 = (2^(2×2))×(2^2)×(2^2)×(2)
    8388608 ≠ 512

  18. @51: Lautet deine erste Frage, ob die dritte Wurzel aus drei hoch fünf das Gleiche ist wie die Quadratwurzel aus drei mal drei? Falls du das meintest, lautet die Antwort „nein“. Mit einem Rechner kannst du dir das auch ausrechnen:

    ³√(3⁵) = 6,240251469155712…
    √(3×3) = 3

    Zu deiner zweiten Frage, dann natürlich auch „nein“. Man setzt Folgendes gleich:

    ⁿ√b = b^(1/n)

    Dementsprechend wäre

    ⁿ√(b^k) = b^(k/n)

    (Grob gesagt jedenfalls. Manchmal muss man ein bisschen vorsichtig sein mit den Definitionen im Detail. Eine Gleichung wie x² = 9 beispielsweise hat ja zwei reellle Lösungen für x, nämlich 3 und −3. Dagegen ist √9 = 3 eindeutig festgelegt, weil die Wurzel √a aus positiven reellen Zahlen als die positive Lösung der Gleichung x² = a definiert ist.)

    𝌢𝌐𝌒𝌇

  19. Could we say it's true that

    {3}root{3^5}

    Is equal to

    root{3×3}

    And that this is equal to

    {n}root{b^k} = root{b^(k - n)}

    ?

  20. @49 danke für die Erläuterungen.

    Ich hatte schon Kurvendiskussionen bei Bären 🐻 als es um Diäten ging.

  21. @45/@48 Dass die Ableitung f' bei v = 1 den Wert 0 annimmt, sagt uns, dass die eigentliche Funktion f an dieser Stelle weder ansteigt noch abfällt, sondern stagniert. Stagnieren kann sie an einem Maximum (wie oben auf einem Berg: genau auf der Spitze ist es ein Stückchen flach) oder an einem Minimum (wie unten im Tal: die Talsohle ist flach) oder an einer sogenannten Sattelstelle (wie auf einem flachen Felsvorsprung an einem Hang). In diesem Fall handelt es sich um ein Maximum, quasi einen Gipfel des Funktionsgraphen. An dieser Stelle wird die Fläche des betrachteten Rechtecks am größten, denn der Funktionswert gibt ja die Fläche des Rechtecks wieder. Dass es ein Maximum und nicht zum Beispiel eine Sattelstelle ist, kann man beispielsweise überprüfen, indem man sich auch die Ableitung der Ableitung an dieser Stelle anschaut.

    Was bei v = −1 passiert, ist für die im Artikel untersuchte Frage nicht relevant. Ich hatte in @43 geschrieben, dass „v aus der Menge der positiven reellen Zahlen“ kommt und −1 ist nicht positiv. Bei v handelt es sich ja um das Seitenverhältnis des Rechtecks und dessen Seiten haben keine negative Länge.

    Auch v = 0 ist keine positive reelle Zahl. Wenn du den Eindruck hast, die Ableitung habe an der Stelle 0 den Wert 1, irrst du. Sie ist genau an jener Stelle nicht definiert (wegen Division durch 0). Wenn du dir den Graphen plotten lässt, siehst du die Lücke an jener Stelle aber sicherlich nicht, weil sie nur einen einzigen Punkt ohne Ausdehnung ausmacht. An der Stelle v = 0.00000000…1 ist die Ableitung definiert. Von daher ergibt es schon Sinn, sich zu fragen, was für eine Aussage mit dem Wert in der Umgebung von 0 verbunden ist.

    Welchen Wert die Ableitung in der Umgebung von v = 0 genau annimmt, hängt davon ab, was du für d eingesetzt hast. Für ein sinnvolles d ist der Wert aber positiv und das sagt uns, dass mit einem von 0 aus ansteigenden Seitenverhältnis des Rechtecks (bei konstanter Diagonale) erst einmal auch seine Fläche anwächst.

    @46: Damit, inwieweit der rechteckige Sensor in den von einer Linse geworfene Bildkreis passt, hat der Graph der Ableitung dieser Funktion nichts zu tun. Die Diagonale des Rechtecks ist eine Konstante in der Funktion. Damit passt das Rechteck immer gleich gut in einen Kreis mit einem bestimmten Durchmesser, egal wie sich das Seitenverhältnis v verändert.

    Dass die Ableitung für v > 1 negativ ist, sagt uns, dass die Fläche des Rechtecks bei über 1 hinauswachsenden Seitenverhältnissen immer kleiner wird. Dass sich die Ableitung bei großem v wieder von unten an den Wert 0 annähert, sagt uns, dass die Fläche mit weiter steigendem Seitenverhältnis langsamer schrumpft. Immer langsamer schrumpfen muss sie quasi auch, denn kleiner als null kann die Fläche nicht werden.

    Vielleicht wäre es aber besser, diese Unterhaltung im Gästebuch nicht mehr allzu sehr zu vertiefen. Kurvendiskussion geht über den Artikel ein ganzes Stück hinaus.

    𝌢𝌐𝌒𝌇

  22. davon:
    f'(v) = −d²/(v+v⁻¹)² ⋅ (1−v⁻²)

  23. @45/@46 Welcher Graph, welche Darstellung?

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  24. Ich verstehe 3s so, dass es 0-Werte sind wo es danach entweder über die Linse wächst bzw die Linse noch nicht voll genutzt wird. Spannend ist auch, dass bei x > +-1, y in den negativen Zahlbereich geht um dann nach 0 anzunähern.

  25. Der Graph in der Darstellung zeigt bei x = -+1 für y = 0 und bei x = 0 für y = 1. Wie ist das zu verstehen?

  26. Hier übrigens ganz ohne zu rechnen ein Indiz dafür, dass das Maximum durchs Quadrat eingenommen wird: Wenn man die Bildfläche um 90° dreht, dann ist die Bildfläche danach noch immer gleich groß. Allerdings ist nach der Drehung nun Breite, was vorher Höhe war, und nun Höhe, was vorher Breite war. Das heißt, durch die Drehung kehrt sich das Seitenverhältnis um. Wenn es ein einziges Seitenverhältnis gibt, bei dem die Fläche maximal wird, dann muss dieses Seitenverhätlnis sein eigener Kehrwert sein. Das gilt nur für die 1, das Seitenverhältnis des Quadrats.

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  27. @42: In deiner Funktion lässt du das Seitenverhältnis konstant und variierst die Höhe, denn du hast eine Funktion von h. Jene Funktion hat kein Maximum – je größer die Höhe bei konstantem Seitenverhältnis, desto größer (ist auch die Breite und) die Fläche.

    Meiner Meinung nach interessanter und mehr im Sinne des Artikels ist, sich die Fläche als Funktion des Seitenverhältnisses bei konstanter Diagonale anzuschauen. Das wäre dann f(v) = d²/(v+v⁻¹) mit v aus der Menge der positiven reellen Zahlen.

    Die Ableitung dazu ist etwas komplizierter, lässt sich aber mit der „Kettenregel“ finden:

    f'(v) = −d²/(v+v⁻¹)² ⋅ (1−v⁻²)

    Diese kann man nun auf null setzen, um Sattel- bzw. Extremstellen von f zu finden. In der Tat ist f'(v₀) = 0 für v₀ = 1. An dieser Stelle wird nämlich die rechte Klammer der Ableitung null und damit auch die ganze Ableitung, denn irgendetwas mal null ist null. Die weitere Prüfung ergibt, dass es sich an der Stelle v₀ = 1 tatsächlich um ein Maximum von f handelt. Die Fläche ist also am größten bei einem Seitenverhältnis von 1 beziehungsweise 1/1 oder 1:1, wie immer man es schreiben möchte.

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  28. Bei vh^2 als Funktion, f(h) = vh^2, wäre meine Vermutung dass die erste Ableitung ist, f'(h) = v × 2 × h^1 = 2vh. Hast du schon darüber die größte Bildfläche ermittelt und ist diese v = 1 / 1, bzw 2h?

  29. Nachtrag @40 : b := v × h, für v = b / h.

    b = (b / h) × h = b. Ein 4/3 Bildschirm ist dann 4 × 3 / 3 = 4.

  30. @38 jo, aus (v^2 + 1) muss v(v + (1 / v) werden um v rauszukürzen und für 1 / v gilt v^(-1).

    Die Breite kann verwirren wenn b = b / h ist und bh = b, für b was an der Seite geschrieben wird.

    Das erklärt auch die Frage, die ich eben stellen wollte: wenn b durch v ersetzt wird, warum ist im Satz des Pythagoras vh und nicht v; vh^2 := F.

    Jetzt habe ich die Antwort: Seite B ist definiert durch sein Verhältnis zu h (b / h) und wenn die Seite B mit v definiert wird, dann ergibt v × h = b. Die Flächenformel ausgeschrieben ist (vh)h. Das vh im Satz des Pythagoras ist dann eben tatsächlich b := v × h.

  31. @37 Ich weiß nicht, ob ich das einen Trick nennen würde, aber das stimmt so. Ja.

    𝌢𝌐𝌒𝌇

  32. @36 Zu deiner Frage: "Woher kommt der Kehrwert v^(-1)?"

    In deiner Rechnung hast du das v über dem Bruchstrich nur gegen ein v im ersten Summanden (v × v) unter dem Bruchstrich gekürzt. Das geht nicht. Du musst das v auch aus dem zweiten Summanden (1) unter dem Bruchstrich kürzen und erhältst dann eben 1/v beziehungsweise v⁻¹.

    Zu deiner Frage: "Woher kommt vh^2?"

    Die Fläche F berechnet sich aus Breite b mal Höhe h, also

    Gleichung 1:  F = bh.

    Außerdem ist das Seitenverhältnis v das Verhältnis aus Breite b zu Höhe h, also

    Gleichung 2:  v = b/h

    Wenn wir diese zweite Gleichung nach b umstellen, erhalten wir

    Gleichung 3:  b = vh

    Wenn du nun Gleichung 1 nimmst und darin b gemäß Gleichung 3 ersetzt, dann bekommst du

    Gleichung 3 in 1:  F = vhh

    beziehungsweise eben F = vh².

    𝌢𝌐𝌒𝌇

  33. @36 ist der Trick dass wenn v = b / h, die Fläche mit vh^2 ergibt (h × h × b) / h, das kürzt sich zu b × h?

  34. https://prlbr.de/2013/rechtecke-im-kreis/

    F = vd^2 / (v^2 + 1) = vd^2 / (v × v + 1) = d × d / (v + 1)

    Woher kommt der Kehrwert v^(-1)?

    F = bh | b = v = b / h
    F = (v)h
    F = (b / h)h
    F = bh/ h

    Woher kommt vh^2? Oder gilt v = h / b, F = (h × h) / b?

  35. Die Schnecke 🐌 des Pythagoras wäre ein tolles Projekt für hier, nicht?

  36. @31, @32: Ja. :)
    @33: Nein – du setzt da am Anfang schon als wahr voraus, was zu beweisen ist.

    𝌢𝌐𝌒𝌇

  37. Oder noch kürzer?

    (-a)(-b)=ab | -ab
    (-a)(-b)-ab=0 | +ab
    (-a)(-b)=0+ab

  38. PS: es sind oft solche Selbstverständlichkeiten die Interessantes verbergen oder die einem auf die Füsse fallen können, oder einen überraschen.

  39. Vlt lässt es sich kürzer darstellen?

    (-a)(-b)=(0-a)(0-b) | -a=(0-a), -b=(0-b), und ausklammern
    (-a)(-b)=0(0-b)-a(0-b) | auf Null setzen
    (-a)(-b)-[0(0-b)]+[a(0-b)]=0 | ausklammern, + (ab)
    (-a)(-b)-(ab)+(ab)=(ab) | rausstreichen und aufräumen
    (-a)(-b)=ab

    Tada 🎉 !

  40. Das ist eine gute Frage, @29. Irgendwann in der Grundschule habe ich das mal gelernt und nehme es vielleicht seit damals als selbstverständlich. Aber ich versuche es mal mit einem Beweis. Wird bestimmt ausführlicher als nötig, aber dafür sollte jeder Schritt nachvollziehbar sein. Beginnen wir mit einer Selbstverständlichkeit … Minus mal Minus ist gleich Minus mal Minus:

     −a ⋅ −b = −a ⋅ −b

    Rechts ersetzen wir −b durch (0 − b), denn das Vorzeichen Minus lässt sich eben als Ergebnis einer Subtraktion von 0 definieren. Wir erhalten also:

     −a ⋅ −b = −a ⋅ (0 − b)

    Das können wir nun ausmultiplizieren, siehe Distributivgesetz, und erhalten:

     −a ⋅ −b = (−a ⋅ 0) − (−a ⋅ b)

    Irgendetwas mal null ist immer null, sodass wir auch schreiben können:

     −a ⋅ −b = 0 − (−a ⋅ b)

    Jetzt behandeln wir rechts −a analog dazu, wie wir es oben mit −b getan haben. Wir ersetzen also −a durch (0 − a), sodass:

     −a ⋅ −b = 0 − ((0 − a) ⋅ b)

    Wir wenden wie oben wieder das Distributivgesetz an und bekommen:

     −a ⋅ −b = 0 − ((0 ⋅ b) − (a ⋅ b))

    Null mal irgendetwas ist noch immer null, also:

     −a ⋅ −b = 0 − (0 − (a ⋅ b))

    Bisher haben wir nur auf der rechten Seite äquivalent umgeformt. Als nächstes verändern wir die beiden Seiten der Gleichungen tatsächlich, indem wir links und rechts (0 − (a ⋅ b)) addieren. Da wir auf beiden Seiten der Gleichung genau das gleiche ergänzen, wird das Gleichgewicht dadurch aber nicht aus der Balance gebracht.

     −a ⋅ −b + (0 − (a ⋅ b)) = 0 − (0 − (a ⋅ b)) + (0 − (a ⋅ b))

    Auf der linken Seiten können wir die äußere Klammer weglassen. Ist das nachvollziehbar, oder benötigt das noch eine Rechtfertigung? Die rechte Seite summiert sich schlicht zu null. Wir behalten also:

     −a ⋅ −b + 0 − (a ⋅ b) = 0

    Nun addieren wir beiderseits der Gleichung (a ⋅ b) und erhalten:

     −a ⋅ −b + 0 − (a ⋅ b) + (a ⋅ b) = 0 + (a ⋅ b)

    Das summiert sich links und rechts nun hierzu:

    −a ⋅ −b = a ⋅ b

    Und das heißt ja, dass Minus mal Minus das Gleiche ist wie Plus mal Plus. ∎

    Das sollte formell hoffentlich genügen. Über ein praktisch anschauliches Beispiel muss ich noch nachdenken. Eine negative Anzahl von Dingen haben wir in der Welt nicht wirklich. Dazu gibt's ja den alten Mathematikerwitz, der in etwa so geht: In einem Raum sind zunächst drei Leute. Dann verlassen fünf Leute den Raum. Wieviele Leute müssen zurück in den Raum gehen, damit keiner mehr drin ist?

    Aber man könnte das zum Beispiel physikalisch veranschaulichen und anhand der elektrischen Ladung auch messen, wenn man zum Beispiel zwei Haufen atomarer Bausteine mit identischer Gesamtladung hat. Gibt man zu einem Haufen drei Protonen (Vorzeichen +) hinzu (Addition +) und nimmt bei dem anderen Haufen drei Elektronen (Vorzeichen −) weg (Subtraktion −), so müssten danach noch immer beide Häufchen gleicher Ladung sein.

    Dass Menschen in der Vergangenheit mit der Erweiterung der Zahlenmenge öfter auch ein bisschen haderten, kann man vielleicht anhand der Konnotation ihrer Bezeichnung erahnen. Die negativen Zahlen klingen irgendwie pessimistisch, die irrationalen Zahlen sogar unvernünftig und imaginäre Zahlen wie eine haltlose Verschwörungstheorie oder ein anderes Hirngespinst. 😉

    𝌢𝌐𝌒𝌇

  41. Wenn man drei Banken hat (+3) und jeder ein Gulden schuldet (-1) dann sind das -3 Gulden an Schulden. Wenn nun die drei Banken bankrott gehen (-3) und immer noch je 1 Gulden schuldet (-1) dann hat man nun 3 Gulden übrig (+3) die man verwenden kann.

    Hast Du noch eine Idee um Minus Mal Minus Gleich Plus zu erklären?

  42. @27 Maximen sind subjektive Prinzipien des Wollens; die kleinste Einheiten des Willens. "Wenn ich Lust auf Kaffee habe, gehe ich in die Küche und hole Kaffee". Sie dienen der Begründung von Handlungen. Gleichzeitig werden wir an unseren Handlungen gemessen: "wenn mir die Frisur des Schülers nicht gefällt, lass ich ihn durchfallen" wäre eine schwache Begründung und könnte mir vorgeworfen werden.

    Maximen sollten also zugleich auch als praktisches Gesetz dienen können, dem sich vernünftige Wesen unterwerfen würden, hätte nur die Vernunft die Kontrolle über das Handeln. Sie würden also auch diesen als Maxime, als subjektives Prinzip des Wollens, dienen, wäre ausschließlich die Vernunft am regieren.

    "Wenn ich unzufrieden bin (mit der Politik), lege ich den *kompletten* Verkehr lahm" sollte also auch zugleich jedem vernünftigen Wesen als Maxime dienen, wenn dieses Wesen rein vernünftig handelte. Und da habe ich ernste Zweifel, dass das so ist.

    Kann man vernfünftigerweise wollen, dass schwer Erkrankte nicht ins Krankenhaus kommen, Pflegebedürftige die Pflege nicht erreicht, Tiere nicht zum Tierarzt kommen, Blaulichtorganisationen nicht zu Notfällen kommen, die Regale nicht mit Lebensmitteln gefüllt werden oder Menschen ihren Beruf nicht mehr frei ausüben können?

  43. @23, der Präzision halber sei angemerkt, dass Maximen von Menschen durchaus willkürlich sein können. Damit es nach Kant ethisch zulässig ist, ihnen entsprechend zu handeln, müssen sie allerdings auch noch als allgemeines Gesetz (wo dann das Willkürliche abgeschält ist) gewollt werden können. Mag gut sein, dass du meintest.

    𝌢𝌐𝌒𝌇

  44. Hm, da ist etwas dran, @25 … 🤔

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  45. @24 wachsen Rüblis naturgemäss nicht unterirdisch?

  46. PS: https://prlbr.de/2024/kunarien/#K5

    Heute Nacht träumte ich unter anderem von Rübli. Er war irgendwie in die Kanalisation geraten und hatte sich dort verlaufen. Ich überlegte noch, wie ich ihn dort wieder rausbekommen könnte, denn die Öffnung zur Kanalisation erschien zu eng zu sein, als dass ich hineinschlüpfen könnte. Dann kam aber schon ein Mann mit dem an einer Leine vorauslaufenden Rübli. Mein Hund hatte offenbar einen anderen Ausweg gefunden und wurde dann seinerseits von jemandem gefunden.

    Dass Rübli in meinem Traum in der Kanalisation war, mag ziemlich bizarr erscheinen. Bevor man allzu viel hineininterpretiert, sei angemerkt: Ich sah kürzlich den Film „The Dark Knight Rises“, der teils auch in der Kanalisation spielt und wo ein Polizist in derselben zeitweilig verlorengeht.

    𝌢𝌐𝌒𝌇

  47. @22 die Maxime sollte halt nicht willkürlich sein. Es liesse sich argumentieren, dass zur Verhinderung eines Zwergenaufstandes, der zu einem Zwergenstaat führte, eine Blockade angemessen wäre. Ich glaube allerdings schon dass es möglich ist, eine Handlung ethisch einzuordnen ohne nach einem guten Willen zu suchen (also, ohne die Motive zu kennen), indem man nach Widersprüchen sucht. Wenn zB die Bauern am Ende der Demo selber blockiert werden und nicht nach Hause kommen, oder deren eigene Produkte im Stau stehen und nicht ausgeliefert werden, dann sind das Hinweise auf Widersprüche die gegen die Handlung sprechen könnten.

    Bei den Lokführern kommt hinzu, dass niemand zur Zwangsarbeit verpflichtet werden kann und es jedem Menschen frei steht, eine Lok zu bedienen, oder eben nicht. Allenfalls könnte es unethisch sein, wenn sich organisiert die Arbeit niedergelegt wird um einen Zusammenbruch herbeizuführen.

    I.K. selbst erkennt den guten Willen als gemeinsamen Nenner an: die Motive spielen also sicherlich eine Rolle.

  48. @21: Vielleicht überspringst du in deinem zweiten Absatz da einen wichtigen Schritt. Den Verkehr lahmzulegen ist bei den Bauern ja kein Selbstzweck, sondern sie haben eine Motivation dafür, sie verfolgen damit ein Ziel. Um sich von außen ein Urteil über die Moralität des Ansinnens zu bilden, wäre es schon äußerst hilfreich, mehr darüber zu wissen. Was ist also die Maxime, der sie folgen, wenn sie da gerade den Verkehr blockieren?

    Ich hatte mit jemandem aus der Landwirtschaft gesprochen, der meinte: „Die Ampel muss weg!“ Auf meinen Hinweis hin, dass dies keine konstruktive Forderung sei und nicht zur Problemlösung beitrage – ja nicht einmal Probleme benenne – widersprach er aber und meinte, dass tatsächlich die Ampel an sich das Problem sei und „Ampel weg“ somit quasi auch die Lösung. „Die Ampel muss weg!“ habe ich übrigens eben auch auf einem Schild gelesen, das ein LKW vor meinem Haus spazieren fuhr. Ebenso entnahm ich eine solche Botschaft den Grabkreuzen in Ampelfarben, die an Bäumen anderswo in Brandenburg aufgehängt waren, und Ampeln, die an Galgen baumelten.

    Ich bleibe dabei, dass dies nicht konstruktiv ist und nicht einmal ein echtes Problem benennt oder löst. Man erinnere sich nur daran, dass vor der Ampelkoalition Leute mit „Merkelmussweg“-Schildern herumgelaufen sind. Merkel ist weg. Sind alle glücklich? Nee. Und nach der Ampel wird es ganz bestimmt Leute geben, die dann Merz/Söder/Wüst in die Wüste schicken wollen oder „Kenia/Jamaika muss weg“ skandieren.

    Irgendwer regiert immer. Irgendwen kann man sich also immer wegwünschen. Wenn das alles an Argumentation für eine Blockade ist, finde ich, hast du Recht. Denkt man das zu Ende, dürfte immer irgendwer den Verkehr lahmlegen, was dem Wesen des Verkehrs widerspricht und Verkehrsteilnehmer nicht wollen können. Auch die Bauern würden das spätestens nicht mehr gut finden, wenn sie ihre Ernten nicht mehr einfahren oder ihre Produkte nicht mehr liefern könnten.

    Ich sehe aber noch nicht, dass es per se unmoralisch wäre, Verkehr zu blockieren. Eine Maxime, die nur unter besonderen Umständen greift und vielleicht sogar einen sachlichen Bezug zum Verkehr hat, könnte zu einem allgemeinen Gesetz taugen. Oder nicht?

    𝌢𝌐𝌒𝌇

  49. @20 ein erster Eindruck ist, dass Kant sich auf Vernunft beruft um von der Ich-Perspektive wegzukommen: Tugend, Empathie, Sicherheit beziehen sich auf einen selbst; das muss aber nicht insgesamt vernünftig sein. Ein guter Soldat zu sein mag zu bestimmten Zeiten, in bestimmten Kulturen tugendhaft sein, das muss aber nicht bedeuten, dass es vernünftig ist.

    In Bezug auf die Bauernproteste könnte man argumentieren, dass man nicht wollen kann dass aller Verkehr lahmgelegt wird; man kann es nicht für jederman gutheißen, den gesamten Verkehr lahmzulegen. Man erhebt sich und sein Anliegen über das aller anderen vernünftigen Wesen, dass diese sich einschränken, nimmt sich für wichtiger. Das ist unmoralisch, nach Kant.

  50. @19: Fein. :) Zur Ethik im Umgang mit Tieren möchte ich auch einiges schreiben, wenn ich irgendwann die Muße dazu finde. Es gibt gewiss mehrere Wege zur Einsicht, dass nicht egal ist, wie wir sie behandeln. Mögen möglichst viele Menschen einen solchen Weg finden und gehen.

    𝌢𝌐𝌒𝌇

  51. https://prlbr.de/2017/kategorischer-imperativ/

    Ich werde mich bald etwas mehr in Kant hineinlesen. Ein Aspekt, den ich spannend finde, ist, dass er nach einer universellen Ethik suchte, die nicht von Schmerzwahrnehmung, Tugend oder Menschsein abhängt, sondern von der Fähigkeit zu denken, urteilen und sich selbst in Kontrolle halten zu können: von vernünftigen Wesen, auch nichtmenschliche. Das ist die Grundvoraussetzung, ohne diese ethisches Handeln wohl nicht funktioniert - auch eine empathische Ethik beruht auf Nachdenken, Einsicht und Handeln, also Vernunft. Allerdings glaube ich, dass unter diesen Voraussetzungen es auch möglich ist, _sein_ (eigenes) Handeln auf unvernunftige Wesen auszudehnen, nicht, weil diese vice versa sich selbst erkenntlich zeigen werden (darum geht es Kant ja nicht, es sollen keine Rechtsgesetze erlassen werden die durchgesetzt werden) - das tun auch vernünftige Wesen nicht unbedingt - sondern weil es Gründe geben kann, die zB nach innen (in sich) widersprüchlich sind, oder nach aussen (mit unserer Welt und deren Bedingungen, unserer 'Natur') kollidieren.

    Vlt werde ich Mal einige Zeilen dazu verfassen.

  52. https://prlbr.de/2017/kategorischer-imperativ/

    Happy birthday 🎂 300 Jahre Kant

  53. @16 das erklärt es. Wäre das Weglassen von n oder m eine Option? Dann wäre horizontal 0 bis n und vertikal 0 bis m. Das ergäbe dann für die 8 d_0,1 .

    Was die Steigung angeht: d_n+1,m = d_n,m + d_n,m+1. Eine Steigung in der m-ten Spalte führt zu einer Steigung der n-ten Zeile. Das ist die Idee davon?

    Hat das nicht was von linearer Algebra? Das Differenzdreieck (DD) ist ein Vektorraum mit dem Punkt d(n | m).

  54. @15: Richtig, Spalten verlaufen vertikal und Zeilen verlaufen horizontal. In den Spaltenüberschriften oben sind daher die Spaltennummern 0, 1, 2, 3, 4, … konkret angegeben, während die Zeile dort unbestimmt ist. In den Zeilenüberschriften links sind die Zeilennummern 0, 1, 2, 3, … konkret angegeben, während die Spalte unbestimmt ist.

    Die jeweils unbestimmte Größe habe ich durch eine Variable, n bzw. m, bezeichnet. Daher taucht in den Spaltenüberschriften eine Variable für die Zeile auf und in den Zeilenüberschriften eine Variable für die Spalte … Ja, ich sehe, dass das etwas verwirren kann.

    Womöglich wäre es leichter verständlich gewesen, wenn ich die unbestimmte Größe einfach durch Pünktchen ausgelassen hätte – wenn ich also als Spaltenüberschrift für zum Beispiel Spalte Nummer null d_{0;…} statt d_{0,m} geschrieben hätte und für Zeile Nummer eins d_{…;1} statt d_{n,1}.

    Ich bin nicht der Geschickteste darin, Dinge verständlich zu machen. Es ist etwas, womit ich öfter hadere. Tendenziell werden heutzutage meine Mathe-Artikel auch länger, weil ich versuche, mehr zu erklären als früher. Andererseits können längere Artikel auch abschrecken – wer hat heute am Computer noch die Aufmerksamkeitsspanne für Texte, die zu lesen mehr als fünf Minuten kostet? Außerdem können mehr Erklärungen jene langweilen, die die Erklärung aufgrund von eigenem Vorwissen nicht nötig haben.

    Zur Frage, ob der Index nach unten in den negativen Bereich oder in den positiven Bereich gehen sollte: Das ist eine beliebige Festlegung. Ich denke nicht, dass das eine besser ist als das andere. In kartesischen Koordinatensystemen sind wir es zwar aus der Schule in der Regel gewohnt, dass die Werte auf einer Achse von links nach rechts und auf der anderen von unten nach oben wachsen (↗). Ebenso kennen wir es von der Kurstafel des DAX in der Börse. Aber aus Zeichenprogrammen wie GIMP oder dem Grafikformat SVG kenne ich es zum Beispiel so, dass die linke obere Bildecke in der Regel mit (0;0) bezeichnet wird und die Koordinaten dann von links nach rechts und von oben nach unten anwachsen (↘).

    Auch wenn wir Texte tippen wie ich gerade im Kommentarfeld, so wächst der Text Buchstabe um Buchstabe von links nach rechts sowie Zeile um Zeile von oben nach unten (↘). Wer dagegen Hebräisch schreibt, schreibt von rechts nach links statt von links nach rechts, Zeile um Zeile von oben nach unten (↙). Was man naheliegend findet, liegt vermutlich daran, was man gewohnt ist.

    Du fragst: „Und woher weiss ich, ob n wächst oder m?“

    Wenn wir im Differenzendreieck irgendeine Stelle herauspicken, zum Beispiel d_{3;0} = 39, dann findet sich rechts von jener Stelle d_{3+1;0} = d_{4;0} während sich d_{3;0+1} = d_{3;1} unter jener Stelle befindet. Ob es nach rechts geht oder nach unten sehe ich daran, ob ich die Spaltenzahl erhöhe, die im Index zuerst genannt ist, oder ob ich die Zeilenzahl erhöhe, welche im Index an zweiter Stelle steht.

    Allgemein gesprochen heißt von irgend einer Stelle d_{n;m} aus gesehen die Stelle rechts davon d_{n+1;m}, denn die erstgenannte Spaltennummer ist um eins größer, aber wir lassen die zweitgenannte Zeile unverändert. Von d_{n;m} aus gesehen heißt die Stelle darunter d_{n;m+1}, denn dieses Mal lassen wir die erstgenannte Spaltennummer unverändert, aber vergrößern die zweitgenannte Zeilennummer.

    Übrigens, dass ich in jenem Artikel immer die Spaltennummer zuerst und die Zeilennummer als zweites im Index nenne, ist auch nur eine willkürliche Festlegung. Es gibt keinen Grund, warum man es nicht auch anders herum machen könnte. Man muss natürlich innerhalb eines Werkes konsistent sein, sonst weiß keiner mehr, was was ist.

    𝌢𝌐𝌒𝌇

  55. @14 etwas verwirrend finde ich, dass _n links steht und _m oben. Spalten sind doch vertikal, Zeilen horizontal? Dann sollte die n-te Spalte oben sein und die m-te Zeile links? Bei n,1 zB gehe ich der linken Spalte (d_n,x) entlang und schaue dort nach.

    So verwirrt mich auch dies: " 8 ergibt sich aus 3 + 5, und die befinden sich doch auf Zeile n,0 in Reihe 0,m und 1,m." Ich mutmaßen Mal, dass n in der linken Spalte _nicht_ wie in einer Tabelle gedacht ist, sondern als Einheit die die Länge der Spalte angibt.

    Für mich sind 3 in Zeile d_n,0 und Spalte d_0,m und die 5 ist auf Zeile d_n,1 und Spalte d_0,m. Es wächst eine n-Zeile nach unten, wobei es einsichtig wäre, wenn es negativ nach unten wächst, da der 0-Punkt die 0-te Zeile ist. Das bedeutet, es würde um -1 von Zeile d_n,0 nach d_n(-1) wachsen.

    Die 8 wächst positiv nach rechts, liegt in Spalte d_1,m und Zeile d_n,0.

    "Es gibt mathematisch keinen Unterschied zwischen d_{n,1+m} und d_{n,m+1}. Beide Ausdrücke bezeichnen einen Eintrag in der Spalte Nummer n und in der Zeile Nummer m+1 = 1+m.

    Und woher weiss ich, ob n wächst oder m? Bei n,x+1;x,m würde die x-te n Zeile um +1 wachsen während m konstant bleibt. Bei n,x;x,m+1 wächst m um +1. X steht für die Zahlen 0,1,2,..,3,x für die Spalten und Zeilen.

  56. @11: Im Index von d ist auf jener Seite im Differenzendreieck immer zuerst die Spalte angegeben, dann kommt ein Komma als Trennzeichen, dann kommt die Zeile. Die 39 zum Beispiel ist Eintrag d_{3,0}. Sie befindet sich wie alle Einträge der Form d_{3,…} in Spalte Nummer 3 und wie alle Einträge der Form d_{…,0} in Zeile Nummer 0.

    Fürs Verständnis wichtig ist, dass die 3,0 im Index da 𝗻𝗶𝗰𝗵𝘁 eine einzige Zahl ist (genau drei), sondern es sind zwei verschiedene Zahlen, die zwei verschiedene Dinge benennen – Spaltennummer sowie Zeilennummer. Vielleicht hätte ich besser ein Semikolon benutzt, also zum Beispiel 3;0. Aber ein Komma als Trennzeichen zu nehmen ist auch nicht unüblich.

    Vor allem wenn man verschiedensprachige Literatur benutzt, stößt man immer wieder auf andere Konventionen, was zu Missverständnissen führen kann. Im englischsprachigen Raum zum Beispiel nutzt man einen Dezimalpunkt, wo man im Deutschen traditionell ein Dezimalkomma gesetzt hat. Durch Taschenrechner und Computer wird der Punkt dafür bei uns aber auch immer gebräuchlicher. Also zum Beispiel 3.14152… statt 3,14152… für die Kreizahl π. Ich habe mich ziemlich stark an den Dezimalpunkt gewöhnt, auch weil ich viel mit dem Computer arbeite. Wenn man sich an den Dezimalpunkt gewöhnt hat, dann ist das Komma für andere Dinge frei.

    Konkret zu deiner Frage:
    > Wäre d_n,1+m nicht leichter zu verstehen als d_n,m+1?

    Es gibt mathematisch keinen Unterschied zwischen d_{n,1+m} und d_{n,m+1}. Beide Ausdrücke bezeichnen einen Eintrag in der Spalte Nummer n und in der Zeile Nummer m+1 = 1+m. Dass man bei der Addition die Operanden vor und nach dem Pluszeichen vertauschen kann, nennt man Kommutativgesetz.

    > 8 ergibt sich aus 3 + 5, und die befinden sich doch auf Zeile n,0 in Reihe 0,m und 1,m.

    Genau genommen:
    d_{0;0} = 3
    d_{0;1} = 5
    d_{1;0} = 8

    Wenn du nun n := 0 und m := 0 setzt, dann wird aus der Formel
    d_{n+1;m} = d_{n;m} + d_{n;m+1}
    eingesetzt
    d_{0+1;0} = d_{0;0} + d_{0;0+1}
    bzw.
    d_{1;0} = d_{0;0} + d_{0;1}
    bzw.
    8 = 3 + 5

    𝌢𝌐𝌒𝌇

  57. @10: Ich plane nicht, das römische Zahlensystem in Quirl zu unterstützen. Das wäre eher eine Spielerei mit sehr begrenztem Nutzen. Ich bin mir zumindest gerade keiner Vorzüge bewusst, die römische Zahlen gegenüber unserem (dezimalen) Stellenwertsystem hätten.

    Man kann in Quirl Variablen in Rechenanweisungen verwenden, allerdings müssen sie dafür in der Regel einen zuvor zugewiesenen Wert irgend eines von Quirl unterstützten Datentyps haben. Das "x" in der Definition eines Polynoms wie "x+1" ist da im Moment die einzige Ausnahme – das muss keinen bestimmten Wert haben, um so etwas wie Polynomdivision zu machen.

    Computeralgebrasysteme wie Maxima können mehr in Sachen Mathematik mit Symbolen. Ob die dann auch Emojis oder nur a, b, c, d, e, … als unbekannte Variablen zulassen, mag individuell unterschiedlich sein, aber ist auch nicht wirklich wichtig. Das ist dann eher eine Frage des Designs, nicht der Funktion, oder? In etwa so, wie ob man im Hotel auch Bettwäsche mit bunten Blümchenmuster bekommen kann oder ob die nur einfarbig verfügbar ist.

    𝌢𝌐𝌒𝌇

  58. PS zu @11: die Schreibweise ist für rekursive Formeln wohl üblich. War mir nicht unmittelbar ersichtlich.

  59. https://prlbr.de/2010/11/polynominterpolation-und-extrapolation/

    Wäre d_n,1+m nicht leichter zu verstehen als d_n,m+1? 8 ergibt sich aus 3 + 5, und die befinden sich doch auf Zeile n,0 in Reihe 0,m und 1,m.

    Das wäre dann eine Und-Verknüpfung: d_n,1 und d_m,0.

  60. @9, und kann das quirlige TR auch andere Symbole als Zahlen verarbeiten, zB Emojis oder römische Zahlen? Mathematisch sollte eine Gleichung wie diese kein Problem sein: 🧹 = 🙂🥄^😺 + 😐🥄^🐺 + 🪥

  61. @7: Ich nehme an, du meinst zum Lösen von linearen Gleichungssystemen? Nein, das habe ich in „Quirl“ noch nicht eingebaut. Der Rechner heißt übrigens „Quirl“.

    Es ist aber naheliegend, dass das noch kommt, wenn ich Matritzen als Datentyp ergänze. Einen Matrix-Rechner hatte ich schon einmal während meiner Studienzeit als persönliches Projekt gebaut und dort das Gauß-Jordan-Verfahren implementiert, um die einem linearen Gleichungssystem entsprechende erweiterte Koeffizientenmatrix in die reduzierte Stufenform zu bringen. Diese Umwandlung entspricht just der Lösung des Gleichungssystems.

    Das Internet Archive hat sogar Hilfeseiten zum Rechner aus meiner Studienzeit bewahrt, so:
    https://web.archive.org/web/20071006123904/www.ocolon.org/editor/help.php?com.matrix

    𝌢𝌐𝌒𝌇

  62. https://prlbr.de/2014/stepenitz-bei-elbhochwasser/

    Update nicht vergessen!

  63. @6, hat dein TR auch den Gauss-Algorithmus?

  64. M-hm, @5.

    In meinem noch nicht veröffentlichten Rechner habe ich übrigens schon Polynome als Datentyp und einige Operationen mit ihnen implementiert, auch das Finden rationaler Nullstellen sowie Polynomdivision für jene Fälle, wo das Ergebnis wieder ein Polynom ist. Dies brauchte ich nämlich schon für andere Berechnungen.

    Bestimmt werde ich ebenfalls nicht rationale Nullstellen zumindest approximiert finden lassen sowie für die Polynomdivision den Rest ausgeben, welcher bleibt, wenn das Ergebnis selbst kein Polynom ist.

    𝌢𝌐𝌒𝌇

  65. @4 ich finde Nullstellen spannend und im Besonderen die Rechenweise der Polynomdivision.

    PS: bei "Kurzes" noch den Link 🔗 aufs aktuelle Jahr setzen.

  66. Das ist nicht ganz ausgeschlossen, obwohl ich schon einige andere mathematische Artikel vor- und begonnen habe. Hast du einen bestimmten Anlass bzw. eine besondere Motivation dafür?

    𝌢𝌐𝌒𝌇

  67. In 2024 könntest du was zu Polynomdivision und Nullstellen schreiben.

  68. 🐶

    𝌢𝌐𝌒𝌇

  69. 😺