Rechtecke im Kreis
oder Flächen von Bildsensoren mit gleicher Diagonale

Wissen Sie, wie groß die Fläche Ihres Computerbildschirms oder Fernsehermonitors ist? Vermutlich nicht, denn die Fläche ist keine typische Angabe bei solchen Geräten, nicht einmal Höhe und Breite. Natürlich werden Höhe und Breite des Gehäuses genannt, aber kaum des Bildschirms selbst. Typische Angaben sind hingegen die Bildschirmdiagonale und ein Seitenverhältnis wie 16:9.

Von einem Rechteck – hier schwarz-grün-rot eingefärbt – sind die Diagonale d und das Seitenverhältnis v bekannt. Wie groß ist die Fläche F des Rechtecks?

Für den Klapprechner, auf dem ich diese Zeilen tippe, ist eine Bildschirmdiagonale von 13,3 Zoll angegeben. Das Seitenverhältnis entnehme ich der Auflösung des Bildschirms: 1280 Pixel zu 800 Pixel. Mit der im folgenden Abschnitt hergeleiteten Formel ergibt sich für meinen Bildschirm eine Fläche von etwa 79,5 Quadratzoll beziehungsweise 512,9 Quadratzentimetern. Auf den eigentlich obligatorischen Vergleich mit einem Fußballfeld verzichte ich ausnahmsweise – die Fläche ist kleiner als ein DIN-A4-Blatt.

Am einfachsten berechnet man die Fläche F eines Rechtecks als Produkt der Seitenlängen, in der Abbildung b und h genannt:

$$F=bh$$

Diese Gleichung enthält erst einmal nur Unbekannte. Zwar sind die Seitenlängen nicht bekannt, gegeben ist aber das Seitenverhältnis von Breite b zu Höhe h, genannt v. So lässt sich b mit v mal h ersetzen und für die Fläche gilt:

$$F=vh^2$$

Eine Unbekannte ist verschwunden. Bei der Beseitigung der nächsten hilft der Satz des Pythagoras, $d^2=b^2+h^2$. Wie man b ersetzen kann, wurde eben schon betrachtet, so wird daraus $d^2=(vh)^2+h^2$ beziehungsweise ausgeklammert $d^2=h^2\left(v^2+1\right)$. Umgestellt ergibt dies $h^2=\frac{d^2}{v^2+1}$. Damit kann h² in der Flächenformel ersetzt werden:

$$F=\frac{vd^2}{v^2+1}$$

Den Bruch kann man noch um v kürzen:

$$F=\frac{d^2}{v+v^{-1}}$$

Die Fläche berechnet sich also als Quadrat der Diagonalen geteilt durch die Summe aus Seitenverhältnis und dessen Kehrwert.

Doch eigentlich interessiert mich kein Wert für die Fläche meines Bildschirms, sondern etwas anderes, womit auch das Geheimnis gelüftet wird, wieso die obige Abbildung mehr als nur ein Rechteck enthält: Wie verhalten sich die Flächen unterschiedlicher Rechtecke mit gleicher Diagonale zueinander?

Diagonale = Durchmesser

Hintergrund dieser Fragestellung ist, dass fotografische Objektive ein kreisförmiges Bild werfen, Bildsensoren beziehungsweise Filmstreifen in Kameras aber rechteckig sind. Um ein möglichst günstiges Verhältnis von Objektiv- und Sensorgröße zu realisieren, wird der Sensor so ausgelegt, dass seine Diagonale dem Durchmesser des Bildkreises entspricht. Wäre der Sensor größer, erhielte man schwarze Bildecken; wäre das Objektiv größer, hätte man höhere Produktionskosten und müsste mehr Masse mit sich schleppen.[1]

Bildsensoren werden allerdings mit verschiedenen Seitenverhältnissen gebaut. Verbreitet ist das Format 3:2 vor allem bei Spiegelreflexkameras; das Format 4:3 dominiert im Bereich der digitalen Superzoom- und günstigen Kompaktkameras. Ich wollte wissen, wie groß der Unterschied der genutzten Fläche dieser Sensorformate ist, wenn man von gleich großen Objektiven ausgeht. Dafür teilt man die Fläche des einen Formats durch jene des anderen. Wegen der Gleichheit der Diagonalen kürzen sich diese aus dem Bruch heraus und als Formel bleibt:

$$\frac{F_1}{F_2}=\frac{v_2+v_2^{-1}}{v_1+v_1^{-1}}$$

So ergibt sich etwa fürs Verhältnis von Sensoren der Formate 4:3 und 3:2 mit der Berechnung

$$\frac{F_{4:3}}{F_{3:2}}=\frac{\frac{3}{2}+\frac{2}{3}}{\frac{4}{3}+\frac{3}{4}}=\frac{26}{25}$$

dass ein 4:3-Sensor um ein Fünfundwanzigstel oder vier Prozent größer ist und entsprechend mehr Licht einfängt als sein Bruder mit dem Seitenverhältnis 3:2. Der 4:3-Sensor nutzt den Bildkreis ein bisschen besser aus.


[1]
Bei Fotoapparaten mit Multiformatsensor ist die Sensordiagonale größer als der Bildkreis. Bei diesen Geräten wird nie der komplette Sensor für die Erzeugung des Bildes verwendet, dafür eignet er sich besonders gut für Nutzer, die gern zwischen verschiedenen Formaten wechseln, beziehungsweise spricht Nutzer mit verschiedenen Formatpräferenzen an.