Einheitswurzeln als Quotienten zweier algebraischer Zahlen zweiten Grades

Welche Einheitswurzeln sind zugleich Quotienten oder Produkte zweier algebraischer Zahlen zweiten Grades? Auf dieser Seite beschreibe ich meine Motivation hinter der Fragestellung, leite solch gesuchte Einheitswurzeln her und beweise, dass es keine weiteren gibt. Doch hier zunächst alle Lösungen:

Alle Einheitswurzeln ersten und zweiten algebraischen Grades lassen sich auch als Quotienten und Produkte algebraischer Zahlen zweiten Grades darstellen. Dies sind:

Darüber hinaus gibt es genau acht weitere Einheitswurzeln, die sich als Quotienten beziehungsweise Produkt zweier algebraischer Zahlen zweiten Grades berechnen lassen:

Diese Seite baut auf dem Artikel Lösungen quadratischer Gleichungen auf dem Einheitskreis in der komplexen Ebene auf. Ich empfehle ihn als Einstieg, wenn du mit dem Thema noch nicht vertraut bist.

Motivation

Im vorigen Jahr 2023 leitete ich einen Algorithmus her, mit dem man all jene $n$-ten Wurzeln einer algebraischen Zahl zweiten Grades finden kann, die ebenfalls algebraische Zahlen zweiten Grades sind. Statt algebraische Zahl zweiten Grades verwendete ich seinerzeit die Bezeichnung quadratisch irrationale Zahl, gemeint ist aber dasselbe.

Den Algorithmus nutze ich in einem Rechner, der einen Datentyp für präzises Rechnen mit algebraischen Zahlen ersten und zweiten Grades besitzt. Je nachdem, mit welchen konkreten Zahlen man es dabei zu tun hat, kann der Algorithmus aber einiges an Rechenzeit verschlingen. Daher machte ich mir über Abkürzungen Gedanken.

Die $n$-ten Wurzeln einer komplexen Zahl sind in der komplexen Zahlenebene regelmäßig angeordnet: Sie liegen allesamt auf einem Kreis um den Ursprung und teilen diesen Kreis dabei in exakt gleich große Bögen. Man muss daher nicht alle $n$-ten Wurzeln zweiten algebraischen Grades mit dem gegebenenfalls langwierigen Algorithmus suchen. Hat man eine Wurzel gefunden, kann man von ihr aus mit immer gleich großen Schritten um den Ursprung rotieren und dabei mit jedem Schritt eine weitere Wurzel treffen. In der Regel werden nicht alle Wurzeln algebraische Zahlen zweiten Grades sein, aber man verpasst so garantiert keine.

Doch wie erkenne ich, welche Schritte auf eine algebraische Zahl zweiten Grades fallen?

Die Rotation um einen rationalen Teil einer kompletten Umdrehung gegen den Uhrzeigersinn entspricht mathematisch der Multiplikation mit einer geeigneten Einheitswurzel. Bezeichnet man die Einheitswurzel mit $\zeta$, den Startpunkt in der komplexen Zahlenebene mit $z_1$ und das Ziel der Drehung als $z_2$, dann gilt:

Wie muss die Einheitswurzel $\zeta$ beschaffen sein, wenn man sich wünscht, dass man von einem Startpunkt zweiten algebraischen Grades aus auch wieder auf einem solchen landet, also dass sowohl $z_1$ als auch $z_2$ algebraische Zahlen zweiten Grades sind? Dividiert man die Gleichung von eben beidseitig durch $z_1$, erhält man:

Eine geeignete Einheitswurzel muss also zumindest Quotient zweier algebraischer Zahlen zweiten Grades sein. Man kann das übrigens auch als $\zeta=z_2\cdot z_1^{-1}$ schreiben. Da der Kehrwert einer algebraischen Zahl zweiten Grades wieder eine solche Zahl ist, kann man genauso gut sagen: Eine geeignete Einheitswurzel muss das Produkt zweier algebraischer Zahlen zweiten Grades sein.

Triviale Lösungen

Alle Einheitswurzeln ersten und zweiten algebraischen Grades können wir auch als Brüche zweier algebraischer Zahlen zweiten Grades darstellen. Hier jeweils ein Beispiel für die vier Einheitswurzeln auf den Achsen der komplexen Zahlenebene:

Hier je ein Beispiel für die abseits der Achsen liegenden Einheitswurzeln zweiten algebraischen Grades:

Fortan brauchen wir nur noch Einheitswurzeln zu suchen, die zwar Quotient algebraischer Zahlen zweiten Grades sind, aber selbst keine algebraische Zahl ersten oder zweiten Grades.

Äquivalenzklassen algebraischer Zahlen zweiten Grades

Als Lösung einer Gleichung $0=z^2+pz+q$ mit rationalen Koeffizienten $p$ und $q$ lässt sich jede algebraische Zahl zweiten Grades als

berechnen. Wir können diese Zahl aber immer auch in die eindeutige Form

mit rationalen Zahlen $a$ und $b$ sowie einer quadratfreien ganzen Zahl $c$ bringen, wobei $b\neq 0$, $c\neq 0$, $c\neq 1$:

Offensichtlich entspricht $a=-\frac{p}{2}$. Beachte weiterhin, dass der Ausdruck $\frac{p^2}{4}-q$ eine rationale Zahl ist. Jede rationale Zahl kann man als maximal gekürzten Bruch $\frac{k}{d}$ mit einem ganzen Nenner $k$ und einem positiven ganzen Zähler $d$ schreiben.

Die Zahlen $k$ und $d$ können wir weiter zerlegen in $k=mn^2$ und $d=wv^2$ mit quadratfreien ganzen Zahlen $m$ und $w$ und positiven ganzen Zahlen $n$ und $v$. Die Zerlegung auf Basis der Primfaktorisierung ist bei sehr großen Zahlen rechnerisch zwar aufwendig, aber prinzipiell immer möglich. Dann ist

Anhand der Eigenschaft, denselben Wurzelausdruck $\sqrt{c}$ mit einem quadratfreien ganzzahligen Radikanden $c$ zu besitzen, können wir die algebraischen Zahlen zweiten Grades in Äquivalenzklassen unterteilen. Diese Äquivalenzklassen taufen wir auf den Namen Wurzelklassen. Hier einige Eigenschaften, die mit Wurzelklassen zusammenhängen:

• Addiert man eine rationale Zahl $u$ zu einer algebraischen Zahl zweiten Grades, erhält man eine Zahl aus derselben Wurzelklasse:

  $$u+\left(a+b\sqrt{c}\right)=\underbrace{(u+a)}_{a^\prime}+b\sqrt{c}$$

• Addiert man zwei Zahlen derselben Wurzelklasse, erhält man eine weitere Zahl dieser Wurzelklasse – oder eine rationale Zahl im Fall $b_1+b_2=0$:

  $$\left(a_1+b_1\sqrt{c}\right)+\left(a_2+b_2\sqrt{c}\right)=\underbrace{(a_1+a_2)}_{a^\prime}+\underbrace{(b_1+b_2)}_{b^\prime}\sqrt{c}$$

• Multipliziert man eine rationale Zahl $u$ mit einer algebraische Zahl zweiten Grades, erhält man eine Zahl aus derselben Wurzelklasse – oder die rationale Zahl $0$, falls $u=0$:

  $$u\cdot\left(a+b\sqrt{c}\right)=\underbrace{(ua)}_{a^\prime}+\underbrace{(ub)}_{b^\prime}\sqrt{c}$$

• Multipliziert man zwei Zahlen derselben Wurzelklasse, erhält man eine weitere Zahl dieser Wurzelklasse – oder eine rationale Zahl für den Fall $a_1b_2+a_2b_1=0$:

  $$\left(a_1+b_1\sqrt{c}\right)\left(a_2+b_2\sqrt{c}\right)=\underbrace{(a_1a_2+b_1b_2c)}_{a^\prime}+\underbrace{(a_1b_2+a_2b_1)}_{b^\prime}\sqrt{c}$$

• Der Kehrwert einer algebraischen Zahl zweiten Grades ist eine Zahl derselben Wurzelklasse:

  $$\frac{1}{a+b\sqrt{c}}=\underbrace{\left(\frac{a}{a^2-b^2c}\right)}_{a^\prime}+\underbrace{\left(-\frac{b}{a^2-b^2c}\right)}_{b^\prime}\sqrt{c}$$

• Aus den vorstehenden Feststellungen folgt auch, dass der Quotient zweier algebraische Zahlen derselben Wurzelklasse eine weitere Zahl jener Wurzelklasse oder eine rationale Zahl ergibt.

• Ebenfalls folgt, dass eine Potenz mit natürlichem Exponenten und einer algebraischen Zahl zweiten Grades als Basis eine Zahl derselben Wurzelklasse oder eine rationale Zahl ergibt.

Die Vereinigungsmenge einer solchen Wurzelklasse mit den rationalen Zahlen ergibt einen quadratischen Zahlkörper $\mathbb{Q}(\sqrt{c})$.

Erstes notwendiges Kriterium für nicht triviale Lösungen

Weil der Quotient zweier algebraischer Zahlen zweiten Grades aus derselben Wurzelklasse rational oder ebenfalls eine algebraische Zahl zweiten Grades ist und wir alle derartigen Lösungen bereits als triviale Lösungen erfassten, müssen wir nur noch Quotienten algebraischer Zahlen zweiten Grades $z_1$, $z_2$ aus unterschiedlichen Wurzelklassen betrachten.

Mindestens eine der beiden Zahlen darf nicht reell sein, denn wären beide Zahlen reell, so wäre es auch ihr Quotient. Alle reellen Einheitswurzeln, $-1$ und $1$, sind aber bereits unter den trivialen Lösungen.

Um eine Einheitswurzel zu ergeben, müssen die Beträge von Nenner und Zähler gleich groß sein, $|z_1|=|z_2|$, da der Betrag eines Quotienten gleich dem Quotienten der Beträge ist und der Betrag einer Einheitswurzel immer eins ist.

Zähler und Nenner sind in der komplexen Zahlenebene also gleich weit vom Ursprung entfernt.

Wenn $\zeta$ eine $n$-te Einheitswurzel ist, so ist ${z_1}^n={z_2}^n$, denn

Da aber Potenzen von algebraischen Zahlen zweiten Grades entweder zur selben Wurzelklasse wie ihre Basis gehören oder rational sind und sich die Wurzelklassen der Basen unterscheiden, müssen ${z_1}^n,{z_2}^n$ rational sein, um gleich sein zu können. Wenn sie rational sind, ist ihr Argument im Bogenmaß $0$ oder $\pi$, also ein rationaler Teil des Vollwinkels.

Aus dem Satz von de Moivre,¹

folgt für die Potenz einer komplexen Zahl mit Betrag $r$ und Argument $\varphi$:

Wir entnehmen der Formel, dass eine natürliche Potenz nur einen rationalen Teil des Vollwinkels als Argument haben kann, wenn die Basis das ebenso hat. Also müssen die Argumente von $z_1$ und $z_2$ sowie wieder wegen des Moivre’schen Satzes auch die Argumente von ${z_1}^2$ und ${z_2}^2$ rationale Teile des Vollwinkels sein.

Für eine algebraische Zahl zweiten Grades $z=a+b\sqrt{c}$, die nicht reell ist, also bei der $c<0$ ist, berechnet sich der Betrag als

Dann hat das Quadrat einer nicht reellen algebraischen Zahl zweiten Grades einen rationalen Betrag:

Da mindestens eine der Zahlen $z_1$ und $z_2$ nicht reell ist und ihre Beträge identisch sind, müssen die Beträge der Quadrate beider Zahlen rational sein: $\left|{z_1}^2\right|,\left|{z_2}^2\right|\in\mathbb{Q}$.

Schauen wir uns statt der gesuchten Einheitswurzeln deren Quadrate $\zeta^2$ an:

${z_2}^2,{z_1}^2$ sind algebraische Zahlen ersten oder zweiten Grades, deren Betrag rational ist. Da ihr Betrag rational ist, kann man die Zahlen durch den Betrag teilen, ohne dass sich ihr algebraischer Grad ändern würde. Auch der Wert des ganzen Bruches ändert sich dadurch nicht, denn wir erweitern ihn nur um den Kehrwert von $\left|{z_1}^2\right|=\left|{z_2}^2\right|$.

Nun sind aber $\frac{{z_2}^2}{\left|{z_2}^2\right|}$ und $\frac{{z_1}^2}{\left|{z_1}^2\right|}$ algebraische Zahlen ersten oder zweiten Grades und zugleich selbst Einheitswurzeln, da dem Betrag nach eins und mit einem rationalen Teil des Vollwinkels als Argument.

Das heißt im Umkehrschluss, dass $\zeta$ eine zweite Wurzel eines Bruches aus Einheitswurzeln ersten und zweiten algebraischen Grades sein muss! Welche Einheitswurzeln ersten und zweiten algebraischen Grades es gibt, wissen wir schon. Es sind nur acht.

Wir müssen somit die zweiten Wurzeln von maximal $8\cdot 8=64$ Brüchen untersuchen.

Lösungen: achte und zwölfte Einheitswurzeln

Unter den 64 Brüchen aus Einheitswurzeln ersten und zweiten algebraischen Grades sind auch die Einheitswurzeln ersten und zweiten algebraischen Grades selbst, denn $\frac{\zeta_v}{1}=\zeta_v$. Wir schauen uns zunächst diese acht einfachen Fälle an.

Die zweiten Wurzeln einer Einheitswurzel liegen ebenfalls auf dem Einheitskreis und halbieren die beiden Winkel zwischen ihr und der positiven reellen Achse.² In unserer Notation können wir die zweiten Wurzeln von $\zeta_v$ daher direkt angeben: $\zeta_{\frac{v}{2}}$ und $\zeta_{\frac{v+1}{2}}$.

Die zweiten Wurzeln aus einigen der Einheitswurzeln ersten und zweiten algebraischen Grades ergeben so erneut alle Einheitswurzeln ersten und zweiten algebraischen Grades – wir hatten sie schon zuvor als triviale Lösungen erfasst:

Die zweiten Wurzeln der primitiven vierten Einheitswurzeln ergeben darüber hinaus die primitiven achten Einheitswurzeln:

Die zweiten Wurzeln der primitiven sechsten Einheitswurzeln sind die primitiven zwölften Einheitswurzeln:

Die folgenden Gleichungen zeigen exemplarisch, dass sich die neu gefundenen Einheitswurzeln als Brüche algebraischer Zahlen zweiten Grades berechnen lassen. Sie sind also tatsächlich Lösungen.

Tada!

Kandidaten: primitive 24-te Einheitswurzeln

Nachdem wir die zweiten Wurzeln von acht von 64 Brüchen untersucht haben, bleiben noch 56. Wir müssen aber gar nicht alle ansehen. Teilt man eine Zahl durch eine Einheitswurzel $\zeta_{\frac{m}{n}}$, dreht man damit den Dividenden schlicht eine $\frac{m}{n}$-tel Umdrehung im Uhrzeigersinn um den Ursprung. Teilt man eine $n$-te Einheitswurzel durch eine $n$-te Einheitswurzel, erhält man daher wieder eine $n$-te Einheitswurzel.

Die Einheitswurzeln ersten und zweiten algebraischen Grades umfassen alle vierten und alle sechsten Einheitswurzeln – und diese haben wir oben schon untersucht.

Unter den Brüchen können wir nur etwas neues finden, wenn wir eine sechste Einheitswurzel, die nicht zugleich vierte Einheitswurzel ist, durch eine vierte Einheitswurzel teilen, die nicht zugleich sechste ist, und umgekehrt. Von den 56 Paarungen bleiben so nur sechzehn, die für $\zeta^2$ vier verschiedene Möglichkeiten ergeben:

Es handelt sich um die primitiven zwölften Einheitswurzeln, die uns schon oben begegneten. Jetzt müssen wir aber noch die zweiten Wurzeln aus ihnen ziehen. Wir erhalten dadurch die primitiven 24-ten Einheitswurzeln:

Sie entsprechen den schwarzen Punkten in Abbildung 3.

Doch zweite Wurzel eines Bruches aus Einheitswurzeln ersten oder zweiten algebraischen Grades zu sein, ist nur ein notwendiges und kein hinreichendes Kriterium für Lösungen unseres eigentlichen Problems. Tatsächlich lassen sich die primitiven 24-ten Einheitswurzeln nicht als Quotienten von Zahlen zweiten algebraischen Grades berechnen. Um das zu beweisen, entwickeln wir zunächst ein …

Zweites notwendiges Kriterium für nicht triviale Lösungen

Welche Form nimmt der Quotient zweier algebraischer Zahlen zweiten Grades allgemein an? Mal sehen:

Wir erweitern den Bruch mit $a_1-b_1\sqrt{c_1}$:

Unter dem Bruchstrich können wir die dritte binomische Formel anwenden, wenn wir alles ausmultiplizieren:

Der Übersichtlichkeit halber definieren wir einige Abkürzungen, die allesamt rational sind:

Sodass:

Nun betrachten wir, wie sich die Formel in Abhängigkeit des Vorzeichens von $c_1$ und $c_2$ verhält.

Demnach ist der Realteil des Quotienten von Zahlen zweiten algebraischen Grades, von denen mindestens eine aufgrund einer negativen Zahl unter der Quadratwurzel nicht reell ist, stets eine algebraische Zahl ersten oder zweiten Grades.

Primitive 24-te Einheitswurzeln sind keine Lösungen

Für die Quadratwurzel einer Zahl $z\neq -1$ auf dem Einheitskreis, also mit $|z|=1$, gilt allgemein:²

Fürs obige Prüfkriterium brauchen wir nur eine Formel für den Realteil, also:

Damit finden wir die Realteile der primitiven 24-ten Einheitswurzeln:

Die Realteile sind demnach zweite Wurzeln algebraischer Zahlen zweiten Grades. Aber sind sie auch selbst algebraische Zahlen ersten oder zweiten Grades, wie es das Prüfkriterium verlangt? Rational sind sie schon einmal nicht …

Wie man alle $n$-ten Wurzeln einer algebraischen Zahl zweiten Grades $a+b\sqrt{c}$ findet, die selbst algebraische Zahlen zweiten Grades sind, beschrieb ich im Artikel Quadratisch irrationale n-te Wurzeln aus quadratisch irrationalen Zahlen finden. Das geht so:

Zunächst wird ein Verhältnispolynom aufgestellt, das man für die Suche nach zweiten Wurzeln immer so notieren kann:

Entscheidend sind dessen rationalen Nullstellen. Sie zu finden ist hier nicht schwer. Wir können das Polynom auf null setzen, mit der p-q-Formel beide Nullstellen berechnen und prüfen, ob sie rational sind:

Wenn es rationale Werte für $r$ gibt, berechnen wir einen Wert $y$. Für die Suche nach zweiten Wurzeln ist das stets:

Auch $y$ muss rational sein, damit wir am Ende eine algebraische Zahl zweiten Grades erhalten. Diese würde zu guter Letzt als $yr+y\sqrt{c}$ berechnet. Auf die Realteile der primitiven 24-ten Einheitswurzeln angewandt ergibt das:

Wie man sieht, ist $y$ aber irrational. Daher ist der Realteil primitiver 24-ter Einheitswurzeln keine Zahl zweiten algebraischen Grades, das notwendige Kriterium verletzt und schlussendlich die ganze Einheitswurzel kein Quotient zweier algebraischer Zahlen zweiten Grades.