Im gleichseitigen Dreieck ein Kreis

Im Mai stellte ich dieses geometrische Knobelei auf: „Es war einmal ein Kreis, der alle Seiten eines gleichseitigen Dreiecks mittig berührte. Der Umfang des Kreises maß das Doppelte der Kreiszahl π. Wie groß war der Umfang des Dreiecks?“ Jenes kleine Knobelei wird hier geknackt.

Er sucht Ihn

Gesucht ist der Umfang eines gleichseitigen Dreiecks $U_\mathrm{Dreieck}$. Geboten wird der Umfang des sogenannten Inkreises, in diesem Fall $U_\mathrm{Kreis}=2\pi$.

Abbildung eines gleichseitigen Dreiecks mit Seitenlänge a, mit Inkreis und Inkreisradius r.

Der Umfang des gleichseitigen Dreiecks entspricht offensichtlich der dreifachen Seitenlänge:

$$U_\mathrm{Dreieck}=3a$$ (1)

Das hilft zunächst wenig, denn auch die Seitenlänge ist unbekannt. Wenden wir uns daher dem Kreis zu, über den wir Informationen haben. Ein Kreis ist die Menge aller Punkte in der Ebene, die denselben Abstand von einem bestimmten Punkt – dem Mittelpunkt – besitzen. Jenen Abstand nennt man Radius $r$.

Viele Leser werden die Formel kennen, die Kreisumfang und Radius miteinander verknüpft: $U_\mathrm{Kreis}=2\pi r$. In der Aufgabenstellung ist der Umfang des Kreises gegeben. Den Radius kennen wir nicht, können ihn aber ausrechnen, wenn wir die Gleichung nach $r$ umstellen:

$$r=\frac{U_\mathrm{Kreis}}{2\pi}$$ (2)

Was uns zur Lösung der Aufgabe jetzt fehlt, ist eine Bindeglied zwischen den Gleichungen (1) und (2), eine Formel, welche die unbekannte Seitenlänge $a$ mit dem errechneten Radius $r$ verknüpft. Beispielhaft möchte ich zwei von vielen Wegen, diese Lücke zu füllen, zeigen.

Bindeglied1

In der Abbildung ist der Inkreismittelpunkt eines gleichseitigen Dreiecks mit einem Berührungspunkt von Inkreis und Dreieck sowie mit einer zum Berührungspunkt benachbarten Ecke verbunden.

Ich habe die Skizze erweitert: Der grüne Inkreisradius steht im rechten Winkel auf einer Seite des gleichseitigen Dreiecks und halbiert diese. Ein Eckpunkt ist nun mit dem Inkreismittelpunkt verbunden (blau) und schließt einen Winkel von $\frac{\pi}{6}$ im Bogenmaß beziehungsweise 30° ein.

Woher wissen wir, dass der Radius im rechten Winkel auf der Seite des gleichseitigen Dreiecks steht?
Dass der Kreis die Seite berührt, heißt umgekehrt, dass die Seite eine Tangente des Kreises ist. Eine Tangente eines Kreises steht immer im rechten Winkel zur Geraden durch Mittel- und Berührungspunkt.
Woher wissen wir, dass der Berührungspunkt die Seite halbiert
Dass der Kreis die Dreiecksseite mittig berührt, steht schon in der Aufgabe.
Woher wissen wir, dass ein Winkel $\frac{\pi}{6}$ misst?
Die Innenwinkelsumme in jedem Dreieck beträgt im Gradmaß 180 beziehungsweise im Bogenmaß $\pi$. Im gleichseitigen Dreieck sind alle drei Innenwinkel gleich groß, also 60° bzw. $\frac{\pi}{3}$. Die Strecke vom Eckpunkt zum Mittelpunkt des Inkreises halbiert in jedem Dreieck den Innenwinkel immer exakt.

Das resultierende kleine Dreieck ist rechtwinklig und im rechtwinkligen Dreieck gilt: Der Tangens eines spitzen Winkels entspricht der Länge der Gegenkathete geteilt durch die Länge der Ankathete, in diesem Fall:

$$\tan\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{r}{\frac{1}{2}a}$$

Wir können diese Gleichung nach $a$ umstellen und erhalten unser Bindeglied, eine Formel für die Seitenlänge des gleichseitigen Dreiecks, welche nur vom Radius des Inkreises und Konstanten abhängt:

$$a=\frac{2r}{\tan\left(\frac{\pi}{6}\right)}$$ (3)

Bindeglied2

Die Abbildung zeigt ein gleichseitiges Dreieck mit Inkreis und Radius r zwischen Inkreismittelpunkt und Berührungspunkt von Kreis und Dreieck sowie einer Winkelhalbierenden der Länge 3r.

In dieser Grafik habe ich die blaue Winkelhalbierende von der Ecke über den Inkreismittelpunkt hinaus gestrichelt bis zur gegenüberliegenden Seite verlängert. Der durchgezogene Abschnitt der Winkelhalbierenden misst $r+r=2r$.

Woher wissen wir, dass die durchgezogen blaue Strecke $2r$ misst?
Wie die Winkelhalbierenden eines Dreiecks sich im Inkreismittelpunkt schneiden, so schneiden sich die Seitenhalbierenden im Schwerpunkt. Der Schwerpunkt teilt die Seitenhalbierenden stets im Verhältnis 2:1.
Im gleichseitigen Dreieck sind Winkelhalbierende und Seitenhalbierende identisch. So muss die blau durchgezogene Strecke doppelt so lang wie die gestrichelte sein. Letztere misst $r$, da sie den Inkreismittelpunkt mit einem Seitenmittelpunkt verbindet, der auch Berührungspunkt des Inkreises ist.

Im kleinen durchgezogenen Dreieck können wir jetzt den Satz des Pythagoras anwenden:

$$(2r)^2=\left(\frac{a}{2}\right)^2+r^2$$

Wir lösen die Klammern auf und versammeln die verschiedenen Variablen auf je einer Seite:

$$\frac{a^2}{4}=3r^2$$

Mit 4 multipliziert bleibt nach dem Wurzelziehen als einfaches Bindeglied zwischen Inkreisradius und Seitenlänge des Dreiecks:

$$a=r\sqrt{12}$$ (4)

Lösung

Welches Bindeglied wir nehmen, ist egal. Ich wähle das zweite, sodass wir Gleichung (2) in Gleichung (4) und beide zusammen in Gleichung (1) einsetzen können, um eine neue Formel zu erhalten, welche Gegebenes mit Gesuchtem verknüpft:

$$U_\mathrm{Dreieck}=3\left(\left(\frac{U_\mathrm{Kreis}}{2\pi}\right)\sqrt{12}\right)$$

Für $U_\mathrm{Kreis}$ ist im hiesigen Fall $2\pi$ gegeben, sodass der Bruch sich wegkürzen lässt und als Lösung bleibt:

$$U_\mathrm{Dreieck}=3\sqrt{12}=\sqrt{108}$$