Konvergenz ausgewählter Kettenbrüche

Auf dieser Seite findet sich eine Beweisskizze zu der Vermutung, dass unter den Voraussetzungen $x_0\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$, $n\in\mathbb{N}$ und $x_n=\left[0;\overline{x_{n-1}}\right]$

$$\lim_{n\rightarrow\infty}x_n = \frac{\mathrm{sgn}(x_0)}{\sqrt{2}}$$

gilt, wobei sgn die Vorzeichenfunktion ist und

$$\left[0;\overline{x_{n-1}}\right] = 0+\dfrac{1}{x_{n-1}+\dfrac{1}{x_{n-1}+\dfrac{1}{x_{n-1}+\ddots}}}$$

Vorbetrachtung

In einem früheren Artikel untersuchte ich Grenzwerte zweier Folgen α und β. Die hier betrachte Größe $x_n=\left[0;\overline{x_{n-1}}\right]$ ist nichts anderes als der in jenem Artikel behandelte Grenzwert der Folge α mit den Parametern $q=-1$ und $p=x_{n-1}$. So lässt sich aus dem früheren Artikel ermitteln:

$$x_n = \begin{cases} \frac{-x_{n-1}-\sqrt{x_{n-1}^2+4}}{2} &\mathrm{falls}\quad x_{n-1}<0\\ \frac{-x_{n-1}+\sqrt{x_{n-1}^2+4}}{2} &\mathrm{falls}\quad x_{n-1}>0 \end{cases}$$

Dieser Darstellung kann man entnehmen, dass $x_n$ das Vorzeichen von $x_0$ beibehält. Zudem lässt sich mit ihr für die Fälle $x_0:=\frac{1}{\sqrt{2}}$ und $x_0:=-\frac{1}{\sqrt{2}}$ schnell feststellen, dass die Vermutung zutrifft. So brauchen diese beiden Fälle in den weiteren Betrachtungen nicht mehr berücksichtigt werden.

Beweisidee

Im Folgenden soll der Quotient q aus der Differenz von $x_n$ und dem vermuteten Grenzwert sowie der Differenz aus dem nächsten Folgenglied $x_{n+1}$ und dem vermuteten Grenzwert untersucht werden.

$$q=\frac{x_n-\frac{\mathrm{sgn}(x_0)}{\sqrt{2}}}{x_{n+1}-\frac{\mathrm{sgn}(x_0)}{\sqrt{2}}}$$

Ich möchte zeigen, dass dieser Quotient dem Betrag nach größer als zwei ist, der Abstand zum vermuteten Grenzwert also mit jedem Schritt mindestens halbiert wird. Das Vorzeichen des Quotienten soll darüber hinaus zeigen, ob sich $x_n$ dem Grenzwert einseitig (positives Vorzeichen) oder um ihn alternierend (negatives Vorzeichen) nähert. Ich behaupte, dass das Vorzeichen negativ ist.

Behauptung

$$q<-2$$

Der Fall x₀ > 0

Zunächst wird q konkretisiert:

$$\begin{aligned} q &= \frac{x_n-\frac{1}{\sqrt{2}}}{x_{n+1}-\frac{1}{\sqrt{2}}} \\ &= \frac{x_n-\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{-x_n+\sqrt{x_n^2+4}}{2}-\frac{1}{\sqrt{2}}} \\ &= \frac{2x_n-\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt{x_n^2+4}-(x_n+\sqrt{2})} \\ &= \frac{2x_n-\sqrt{2}}{\sqrt{x_n^2+4}-x_n-\sqrt{2}} \end{aligned}$$

Für die weitere Bearbeitung ist hilfreich zu wissen, ob der Nenner positiv oder negativ ist. Betrachtet man den Nenner genauer:

$$\sqrt{x_n^2+4}-(x_n+\sqrt{2})=\sqrt{x_n^2+4}-\sqrt{x_n^2+2x_n\sqrt{2}+2}$$

stellt man fest, dass er für $x_n>\frac{1}{\sqrt{2}}$ negativ, für $\frac{1}{\sqrt{2}}>x_n>0$ hingegen positiv ist. Für den Fall des negativen Nenners gehe ich nun von der Behauptung $q<-2$ aus und schaue, ob sie sich bestätigt:

$$\begin{aligned} && q &< -2 \\ \Leftrightarrow && \frac{2x_n-\sqrt{2}}{\sqrt{x_n^2+4}-x_n-\sqrt{2}} &< -2 \\ \Leftrightarrow && x_n-\frac{1}{\sqrt{2}} &> x_n+\sqrt{2}-\sqrt{x_n^2+4} \\ \Leftrightarrow && \sqrt{x_n^2+4} &> \frac{3}{\sqrt{2}} \\ \Leftrightarrow && x_n^2 &> \frac{1}{2} \\ \Leftrightarrow && x_n &> \frac{1}{\sqrt{2}} \end{aligned}$$

Das passt genau zur vorherigen Feststellung bezüglich des Falles des negativen Nenners. Nun derselbe Test für den Fall des positiven Nenners:

$$\begin{aligned} && q &< -2 \\ \Leftrightarrow && \frac{2x_n-\sqrt{2}}{\sqrt{x_n^2+4}-x_n-\sqrt{2}} &< -2 \\ \Leftrightarrow && x_n-\frac{1}{\sqrt{2}} &< x_n+\sqrt{2}-\sqrt{x_n^2+4} \\ \Leftrightarrow && \sqrt{x_n^2+4} &< \frac{3}{\sqrt{2}} \\ \Leftrightarrow && x_n^2 &< \frac{1}{2} \\ \Leftrightarrow && x_n &< \frac{1}{\sqrt{2}} \end{aligned}$$

Ist in Ordnung.

Der Fall x₀ < 0

Für negative Startwerte wird als Grenzwert $-\frac{1}{\sqrt{2}}$ erwartet. Um dies zu überprüfen, wird wieder der Quotient q konkretisiert:

$$\begin{aligned} q &= \frac{x_n-\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}{x_{n+1}-\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)} \\ &= \frac{x_n+\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{-x_n-\sqrt{x_n^2+4}}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}} \\ &= \frac{2x_n+\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt{2}-x_n-\sqrt{x_n^2+4}} \\ &= \frac{2x_n+\sqrt{2}}{\sqrt{2}-x_n-\sqrt{x_n^2+4}} \end{aligned}$$

Wieder interessiert, wann der Nenner positiv beziehungsweise negativ ist:

$$\sqrt{2}-x_n-\sqrt{x_n^2+4}=\sqrt{2-2x_n\sqrt{2}+x_n^2}-\sqrt{x_n^2+4}$$

Man stellt fest, dass der Nenner für $x_n<-\frac{1}{\sqrt{2}}$ positiv und für $-\frac{1}{\sqrt{2}}<x_n<0$ negativ ist. Nun überprüfe ich die Behauptung $q<-2$ für den Fall des positiven Nenners:

$$\begin{aligned} && q &< -2 \\ \Leftrightarrow && \frac{2x_n+\sqrt{2}}{\sqrt{2}-x_n-\sqrt{x_n^2+4}} &< -2 \\ \Leftrightarrow && x_n+\frac{1}{\sqrt{2}} &< x_n+\sqrt{x_n^2+4}-\sqrt{2} \\ \Leftrightarrow && \frac{3}{\sqrt{2}} &< \sqrt{x_n^2+4} \\ \Leftrightarrow && \frac{1}{2} &< x_n^2 \end{aligned}$$

Passt. Und im Fall des negativen Nenners?

$$\begin{aligned} && q &< -2 \\ \Leftrightarrow && \frac{2x_n+\sqrt{2}}{\sqrt{2}-x_n-\sqrt{x_n^2+4}} &< -2 \\ \Leftrightarrow && x_n+\frac{1}{\sqrt{2}} &> x_n+\sqrt{x_n^2+4}-\sqrt{2} \\ \Leftrightarrow && \frac{3}{\sqrt{2}} &> \sqrt{x_n^2+4} \\ \Leftrightarrow && \frac{1}{2} &> x_n^2 \end{aligned}$$

Das stimmt ebenfalls mit der Erwartung überein.

Fazit

Dieser Beweisansatz, der das Problem in mehrere einzeln zu betrachtende Fälle zerlegt, mag nicht besonders elegant sein, doch am Ende sind alle Fälle behandelt und die Vermutung belegt.