Grenzwerte zweier Folgen
In diesem Artikel werden von zwei Folgen1 α und β Grenzwerte bestimmt. Es handelt sich um dieselben Folgen, die bereits in einem früheren Artikel betrachtet wurden.
Voraussetzungen
Vorausgesetzt werden $p,q\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ und $p^2>4q$ sowie $n\in\mathbb{N}$.
$$\begin{aligned}
\alpha(n) &= q\frac{b^{n-1}-a^{n-1}}{b^n-a^n} =
\begin{cases}
0 & \mathrm{falls\quad} n=1 \\
-\frac{q}{p+\alpha(n-1)} & \mathrm{falls\quad} n>1 \\
\end{cases} \\
\beta(n) &= \frac{b^{n+1}-a^{n+1}}{b^n-a^n} =
\begin{cases}
-p & \mathrm{falls\quad} n=1 \\
-p-\frac{q}{\beta(n-1)} & \mathrm{falls\quad} n>1 \\
\end{cases}
\end{aligned}$$
Dabei sind a und b die beiden reellwertigen Lösungen der quadratischen Gleichung $0=x^2+px+q$:
$$\begin{aligned}
a &= -\frac{p}{2}-\sqrt{\frac{p^2}{4}-q} \\
b &= -\frac{p}{2}+\sqrt{\frac{p^2}{4}-q}
\end{aligned}$$
Die Gleichheit der expliziten und rekursiven Bildungsgesetze wurde in einem früheren Artikel bewiesen.
Vorbetrachtungen
Das Produkt aus a und b ist q; aus $q\neq 0$ folgen $a\neq 0$ und $b\neq 0$:
$$\begin{aligned}
ab &= \left(-\frac{p}{2}-\sqrt{\frac{p^2}{4}-q}\right)\left(-\frac{p}{2}+\sqrt{\frac{p^2}{4}-q}\right) \\
&= \left(-\frac{p}{2}\right)^2-\left(\sqrt{\frac{p^2}{4}-q}\right)^2 \\
&= \frac{p^2}{4}-\frac{p^2}{4}+q \\
&= q
\end{aligned}$$
Aus $p^2>4q$ und $p\neq 0$ folgt $|a|\neq|b|$. Indirekter Beweis:
$$\begin{aligned}
a &= b \\
\Leftrightarrow\quad 0 &= -\frac{p}{2}+\sqrt{\frac{p^2}{4}-q}+\frac{p}{2}+\sqrt{\frac{p^2}{4}-q} \\
\Leftrightarrow\quad 0 &= \sqrt{p^2-4q} \\
&{ } \\
a &= -b \\
\Leftrightarrow\quad 0 &= \frac{p}{2}-\sqrt{\frac{p^2}{4}-q}+\frac{p}{2}+\sqrt{\frac{p^2}{4}-q} \\
\Leftrightarrow\quad 0 &= p
\end{aligned}$$
α und β lassen sich auch so darstellen:
$$\begin{aligned}
\alpha(n) &= a+\frac{b-a}{1-\left(\frac{b}{a}\right)^n} = b+\frac{a-b}{1-\left(\frac{a}{b}\right)^n} \\
\beta(n) &= a+\frac{b-a}{1-\left(\frac{a}{b}\right)^n} = b+\frac{a-b}{1-\left(\frac{b}{a}\right)^n} \\
\end{aligned}$$
Im Anhang finden sich die Herleitungen dieser Formeln.
Behauptungen: Konvergenz und Grenzwerte
α und β sind konvergent und die Grenzwerte lauten:
$$\begin{aligned}
\lim_{n\rightarrow\infty}\alpha(n) &= \begin{cases}
a & \mathrm{falls\quad} |a|<|b| \\
b & \mathrm{falls\quad} |a|>|b|
\end{cases} \\
\lim_{n\rightarrow\infty}\beta(n) &= \begin{cases}
b & \mathrm{falls\quad} |a|<|b| \\
a & \mathrm{falls\quad} |a|>|b|
\end{cases} \\
\end{aligned}$$
Beweise
Fall |a| < |b|
$$\begin{aligned}
\lim_{n\rightarrow\infty}\alpha(n) &= \lim_{n\rightarrow\infty}\left(b+\frac{a-b}{1-\left(\frac{a}{b}\right)^n}\right) \\
&= b+\frac{a-b}{1-\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{a}{b}\right)^n} \\
&= b+\frac{a-b}{1-0} \\
&= a \\
&{ } \\
\lim_{n\rightarrow\infty}\beta(n) &= \lim_{n\rightarrow\infty}\left(a+\frac{b-a}{1-\left(\frac{a}{b}\right)^n}\right) \\
&= a+\frac{b-a}{1-\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{a}{b}\right)^n} \\
&= a+\frac{b-a}{1-0} \\
&= b
\end{aligned}$$
Fall |a| > |b|
$$\begin{aligned}
\lim_{n\rightarrow\infty}\alpha(n) &= \lim_{n\rightarrow\infty}\left(a+\frac{b-a}{1-\left(\frac{b}{a}\right)^n}\right) \\
&= a + \frac{b-a}{1-\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{b}{a}\right)^n} \\
&= a + \frac{b-a}{1-0} \\
&= b \\
&{ } \\
\lim_{n\rightarrow\infty}\beta(n) &= \lim_{n\rightarrow\infty}\left(b+\frac{a-b}{1-\left(\frac{b}{a}\right)^n}\right) \\
&= b+\frac{a-b}{1-\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{b}{a}\right)^n} \\
&= b+\frac{a-b}{1-0} \\
&= a
\end{aligned}$$
Zusammenhang mit Kettenbrüchen
Die Folgen α und β stehen in engem Zusammenhang mit Kettenbrüchen. Dies wird deutlich, wenn man die rekursive Bildungsvorschrift anwendet und immer wieder in sich selbst einsetzt. Ein Beispiel für $p=q=-1$:
$$\beta(0) = 1 = \dfrac{1}{1}$$
$$\beta(1) = 1+\dfrac{1}{1} = \dfrac{2}{1}$$
$$\beta(2) = 1+\dfrac{1}{1+\frac{1}{1}} = \dfrac{3}{2}$$
$$\beta(3) = 1+\dfrac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1}}} = \dfrac{5}{3}$$
$$\beta(4) = 1+\dfrac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1}}}} = \dfrac{8}{5}$$
… und so fort. In diesem Beispiel erzeugt β Quotienten aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen und konvergiert gegen den Goldenen Schnitt.
Ausblick
Demnächst werde ich in einem dritten Artikel Eigenschaften der Folgen für den Fall $p^2<4q$ beleuchten, a und b sind dann komplex.
- Eigentlich handelt es sich jeweils um Scharen unendlich vieler Folgen mit den Parametern p und q. Der Übersichtlichkeit halber schreibe ich das in diesem Artikel nicht ausdrücklich mit, sondern spreche einfach von den Folgen α und β.
Anhang
Im Folgenden werden die bekannten Bildungsgesetze so umgeformt, dass sie α und β bezüglich a, b und $-\frac{p}{2}$ darstellen.
Umformungen von β
$$\begin{aligned}
\beta(n) &= a+\frac{b^{n+1}-a^{n+1}}{b^n-a^n}-a \\
&= a+\frac{b^{n+1}-a^{n+1}-ab^{n}+a^{n+1}}{b^n-a^n} \\
&= a+\frac{b^{n}}{b^n-a^n}(b-a) \\
&= a+\frac{b-a}{1-\left(\frac{a}{b}\right)^n} \\
&{ } \\
\beta(n) &= b+\frac{b^{n+1}-a^{n+1}}{b^n-a^n}-b \\
&= b+\frac{b^{n+1}-a^{n+1}-b^{n+1}+a^nb}{b^n-a^n} \\
&= b+\frac{a^{n}}{b^n-a^n}(b-a) \\
&= b+\frac{a-b}{1-\left(\frac{b}{a}\right)^n} \\
&{ } \\
\beta(n) &= -\frac{p}{2}+\frac{b^{n+1}-a^{n+1}}{b^n-a^n}+\frac{p}{2} \\
&= -\frac{p}{2}+\frac{2(b^{n+1}-a^{n+1})+p(b^{n}-a^n)}{2(b^n-a^n)} \\
&= -\frac{p}{2}+\frac{b^n(2b+p)-a^n(2a+p)}{2(b^n-a^n)} \\
&= -\frac{p}{2}+\frac{b^n\sqrt{p^2-4q}+a^n\sqrt{p^2-4q}}{2(b^n-a^n)} \\
&= -\frac{p}{2}+\sqrt{\frac{p^2}{4}-q}\left(\frac{b^n+a^n}{b^n-a^n}\right)
\end{aligned}$$
Umformungen von α
$$\begin{aligned}
\alpha(n) &= a+q\frac{b^{n-1}-a^{n-1}}{b^n-a^n}-a \\
&= a + \frac{b^{n-1}q-a^{n-1}q-b^na+a^{n+1}}{b^n-a^n} \\
&= a + \frac{b^{n-1}\left(q-ab\right)+a^{n}\left(a-\frac{q}{a}\right)}{b^n-a^n} \\
&= a + \frac{a^{n}}{b^n-a^n}(a-b) \\
&= a + \frac{b-a}{1-\left(\frac{b}{a}\right)^n} \\
&{ } \\
\alpha(n) &= b+q\frac{b^{n-1}-a^{n-1}}{b^n-a^n}-b \\
&= b+\frac{b^{n-1}q-a^{n-1}q-b^{n+1}+a^{n}b}{b^n-a^n} \\
&= b+\frac{b^{n}\left(\frac{q}{b}-b\right)+a^{n-1}\left(ab-q\right)}{b^n-a^n} \\
&= b+\frac{b^{n}}{b^n-a^n}(a-b) \\
&= b+\frac{a-b}{1-\left(\frac{a}{b}\right)^n} \\
&{ } \\
\alpha(n) &= -p-\beta(n) \\
&= -\frac{p}{2}-\sqrt{\frac{p^2}{4}-q}\left(\frac{b^n+a^n}{b^n-a^n}\right)
\end{aligned}$$