Grenzwerte zweier Folgen

In diesem Artikel werden von zwei Folgen[1] α und β Grenzwerte bestimmt. Es handelt sich um dieselben Folgen, die bereits in einem früheren Artikel betrachtet wurden.

Voraussetzungen

Vorausgesetzt werden $p,q\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ und $p^2>4q$ sowie $n\in\mathbb{N}$.

$$\begin{aligned} \alpha(n) &= q\frac{b^{n-1}-a^{n-1}}{b^n-a^n} = \begin{cases} 0 & \mathrm{falls\quad} n=1 \\ -\frac{q}{p+\alpha(n-1)} & \mathrm{falls\quad} n>1 \\ \end{cases} \\ \beta(n) &= \frac{b^{n+1}-a^{n+1}}{b^n-a^n} = \begin{cases} -p & \mathrm{falls\quad} n=1 \\ -p-\frac{q}{\beta(n-1)} & \mathrm{falls\quad} n>1 \\ \end{cases} \end{aligned}$$

Dabei sind a und b die beiden reellwertigen Lösungen der quadratischen Gleichung $0=x^2+px+q$:

$$\begin{aligned} a &= -\frac{p}{2}-\sqrt{\frac{p^2}{4}-q} \\ b &= -\frac{p}{2}+\sqrt{\frac{p^2}{4}-q} \end{aligned}$$

Die Gleichheit der expliziten und rekursiven Bildungsgesetze wurde in einem früheren Artikel bewiesen.

Vorbetrachtungen

Das Produkt aus a und b ist q; aus $q\neq 0$ folgen $a\neq 0$ und $b\neq 0$:

$$\begin{aligned} ab &= \left(-\frac{p}{2}-\sqrt{\frac{p^2}{4}-q}\right)\left(-\frac{p}{2}+\sqrt{\frac{p^2}{4}-q}\right) \\ &= \left(-\frac{p}{2}\right)^2-\left(\sqrt{\frac{p^2}{4}-q}\right)^2 \\ &= \frac{p^2}{4}-\frac{p^2}{4}+q \\ &= q \end{aligned}$$

Aus $p^2>4q$ und $p\neq 0$ folgt $|a|\neq|b|$. Indirekter Beweis:

$$\begin{aligned} a &= b \\ \Leftrightarrow\quad 0 &= -\frac{p}{2}+\sqrt{\frac{p^2}{4}-q}+\frac{p}{2}+\sqrt{\frac{p^2}{4}-q} \\ \Leftrightarrow\quad 0 &= \sqrt{p^2-4q} \\ &{ } \\ a &= -b \\ \Leftrightarrow\quad 0 &= \frac{p}{2}-\sqrt{\frac{p^2}{4}-q}+\frac{p}{2}+\sqrt{\frac{p^2}{4}-q} \\ \Leftrightarrow\quad 0 &= p \end{aligned}$$

α und β lassen sich auch so darstellen:

$$\begin{aligned} \alpha(n) &= a+\frac{b-a}{1-\left(\frac{b}{a}\right)^n} = b+\frac{a-b}{1-\left(\frac{a}{b}\right)^n} \\ \beta(n) &= a+\frac{b-a}{1-\left(\frac{a}{b}\right)^n} = b+\frac{a-b}{1-\left(\frac{b}{a}\right)^n} \\ \end{aligned}$$

Im Anhang finden sich die Herleitungen dieser Formeln.

Behauptungen: Konvergenz und Grenzwerte

α und β sind konvergent und die Grenzwerte lauten:

$$\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty}\alpha(n) &= \begin{cases} a & \mathrm{falls\quad} |a|<|b| \\ b & \mathrm{falls\quad} |a|>|b| \end{cases} \\ \lim_{n\rightarrow\infty}\beta(n) &= \begin{cases} b & \mathrm{falls\quad} |a|<|b| \\ a & \mathrm{falls\quad} |a|>|b| \end{cases} \\ \end{aligned}$$

Beweise

Fall |a| < |b|

$$\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty}\alpha(n) &= \lim_{n\rightarrow\infty}\left(b+\frac{a-b}{1-\left(\frac{a}{b}\right)^n}\right) \\ &= b+\frac{a-b}{1-\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{a}{b}\right)^n} \\ &= b+\frac{a-b}{1-0} \\ &= a \\ &{ } \\ \lim_{n\rightarrow\infty}\beta(n) &= \lim_{n\rightarrow\infty}\left(a+\frac{b-a}{1-\left(\frac{a}{b}\right)^n}\right) \\ &= a+\frac{b-a}{1-\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{a}{b}\right)^n} \\ &= a+\frac{b-a}{1-0} \\ &= b \end{aligned}$$

Fall |a| > |b|

$$\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty}\alpha(n) &= \lim_{n\rightarrow\infty}\left(a+\frac{b-a}{1-\left(\frac{b}{a}\right)^n}\right) \\ &= a + \frac{b-a}{1-\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{b}{a}\right)^n} \\ &= a + \frac{b-a}{1-0} \\ &= b \\ &{ } \\ \lim_{n\rightarrow\infty}\beta(n) &= \lim_{n\rightarrow\infty}\left(b+\frac{a-b}{1-\left(\frac{b}{a}\right)^n}\right) \\ &= b+\frac{a-b}{1-\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{b}{a}\right)^n} \\ &= b+\frac{a-b}{1-0} \\ &= a \end{aligned}$$

Zusammenhang mit Kettenbrüchen

Die Folgen α und β stehen in engem Zusammenhang mit Kettenbrüchen. Dies wird deutlich, wenn man die rekursive Bildungsvorschrift anwendet und immer wieder in sich selbst einsetzt. Ein Beispiel für $p=q=-1$:

$$\begin{array}{rcl} \beta(0) =& 1 &= \dfrac{1}{1} \\ \beta(1) =& 1+\dfrac{1}{1} &= \dfrac{2}{1} \\ \beta(2) =& 1+\dfrac{1}{1+\frac{1}{1}} &= \dfrac{3}{2} \\ \beta(3) =& 1+\dfrac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1}}} &= \dfrac{5}{3} \\ \beta(4) =& 1+\dfrac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1}}}} &= \dfrac{8}{5} \end{array}$$

… und so fort. In diesem Beispiel erzeugt β Quotienten aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen und konvergiert gegen den Goldenen Schnitt.

Ausblick

Demnächst werde ich in einem dritten Artikel Eigenschaften der Folgen für den Fall $p^2<4q$ beleuchten, a und b sind dann komplex.


[1]
Eigentlich handelt es sich jeweils um Scharen unendlich vieler Folgen mit den Parametern p und q. Der Übersichtlichkeit halber schreibe ich das in diesem Artikel nicht ausdrücklich mit, sondern spreche einfach von den Folgen α und β.

Anhang

Im Folgenden werden die bekannten Bildungsgesetze so umgeformt, dass sie α und β bezüglich a, b und $-\frac{p}{2}$ darstellen.

Umformungen von β

$$\begin{aligned} \beta(n) &= a+\frac{b^{n+1}-a^{n+1}}{b^n-a^n}-a \\ &= a+\frac{b^{n+1}-a^{n+1}-ab^{n}+a^{n+1}}{b^n-a^n} \\ &= a+\frac{b^{n}}{b^n-a^n}(b-a) \\ &= a+\frac{b-a}{1-\left(\frac{a}{b}\right)^n} \\ &{ } \\ \beta(n) &= b+\frac{b^{n+1}-a^{n+1}}{b^n-a^n}-b \\ &= b+\frac{b^{n+1}-a^{n+1}-b^{n+1}+a^nb}{b^n-a^n} \\ &= b+\frac{a^{n}}{b^n-a^n}(b-a) \\ &= b+\frac{a-b}{1-\left(\frac{b}{a}\right)^n} \\ &{ } \\ \beta(n) &= -\frac{p}{2}+\frac{b^{n+1}-a^{n+1}}{b^n-a^n}+\frac{p}{2} \\ &= -\frac{p}{2}+\frac{2(b^{n+1}-a^{n+1})+p(b^{n}-a^n)}{2(b^n-a^n)} \\ &= -\frac{p}{2}+\frac{b^n(2b+p)-a^n(2a+p)}{2(b^n-a^n)} \\ &= -\frac{p}{2}+\frac{b^n\sqrt{p^2-4q}+a^n\sqrt{p^2-4q}}{2(b^n-a^n)} \\ &= -\frac{p}{2}+\sqrt{\frac{p^2}{4}-q}\left(\frac{b^n+a^n}{b^n-a^n}\right) \end{aligned}$$

Umformungen von α

$$\begin{aligned} \alpha(n) &= a+q\frac{b^{n-1}-a^{n-1}}{b^n-a^n}-a \\ &= a + \frac{b^{n-1}q-a^{n-1}q-b^na+a^{n+1}}{b^n-a^n} \\ &= a + \frac{b^{n-1}\left(q-ab\right)+a^{n}\left(a-\frac{q}{a}\right)}{b^n-a^n} \\ &= a + \frac{a^{n}}{b^n-a^n}(a-b) \\ &= a + \frac{b-a}{1-\left(\frac{b}{a}\right)^n} \\ &{ } \\ \alpha(n) &= b+q\frac{b^{n-1}-a^{n-1}}{b^n-a^n}-b \\ &= b+\frac{b^{n-1}q-a^{n-1}q-b^{n+1}+a^{n}b}{b^n-a^n} \\ &= b+\frac{b^{n}\left(\frac{q}{b}-b\right)+a^{n-1}\left(ab-q\right)}{b^n-a^n} \\ &= b+\frac{b^{n}}{b^n-a^n}(a-b) \\ &= b+\frac{a-b}{1-\left(\frac{a}{b}\right)^n} \\ &{ } \\ \alpha(n) &= -p-\beta(n) \\ &= -\frac{p}{2}-\sqrt{\frac{p^2}{4}-q}\left(\frac{b^n+a^n}{b^n-a^n}\right) \end{aligned}$$