Divergenz zweier Folgenscharen

Dieser Artikel zeigt die unbestimmte Divergenz zweier Folgenscharen, welche auf der quadratischen Gleichung mit negativer Diskriminante beruhen. Dieselben Folgenscharen wurden in vorangegangen Artikeln1 bereits bei positiver Diskriminante betrachtet.

Voraussetzungen

Für die Diskriminante $\Delta=p^2-4q$ der quadratischen Gleichung $0=x^2+px+q$ wird $\Delta<0$ vorausgesetzt. Daraus ergibt sich unmittelbar $q>0$. Die beiden komplexen Lösungen a und b der quadratischen Gleichung sind:2

$$\begin{aligned} a &= -\frac{p}{2}-\mathrm{i}\sqrt{q-\frac{p^2}{4}} = \sqrt{q}\,e^{-\mathrm{i}\phi} \\ b &= -\frac{p}{2}+\mathrm{i}\sqrt{q-\frac{p^2}{4}} = \sqrt{q}\,e^{\mathrm{i}\phi} \end{aligned}$$

wobei $\sqrt{q}=|b|$ und $\phi=\arg(b)$. Weiterhin vorausgesetzt wird $\frac{\phi}{\pi}\notin\mathbb{Q}$. Siehe dazu den Artikel „Ein Stück vom Kuchen“. Daraus folgt unter anderem $p\neq 0$. Betrachtet werden nun die beiden Folgenscharen

$$\begin{aligned} \alpha(n) &= q\frac{b^{n-1}-a^{n-1}}{b^n-a^n} = \begin{cases} 0 & \mathrm{falls\quad} n=1 \\ -\frac{q}{p+\alpha(n-1)} & \mathrm{falls\quad} n>1 \end{cases} \\ \beta(n) &= \frac{b^{n+1}-a^{n+1}}{b^n-a^n} = \begin{cases} -p & \mathrm{falls\quad} n=1 \\ -p-\frac{q}{\beta(n-1)} & \mathrm{falls\quad} n>1 \end{cases} \end{aligned}$$

Der Beweis der Gleichheit der rekursiven und expliziten Bildungsgesetze wurde für den Fall der positiven Diskriminante im Artikel „Bildungsgesetze zweier Folgen“ geführt. Er erfolgt hier analog.

Umformungen

Wie im Anhang zu „Grenzwerte zweier Folgen“ bei positiver Diskriminante werden im Folgenden die Bildungsgesetze der Folgen für den negativen Fall weiter umgeformt.

Umformungen von β

$$\begin{aligned} \beta(n) &= \frac{\left(\sqrt{q}\,e^{\mathrm{i}\phi}\right)^{n+1}-\left(\sqrt{q}\,e^{-\mathrm{i}\phi}\right)^{n+1}}{\left(\sqrt{q}\,e^{\mathrm{i}\phi}\right)^{n}-\left(\sqrt{q}\,e^{-\mathrm{i}\phi}\right)^{n}} \\ &= \sqrt{q}\,\frac{\left(e^{\mathrm{i}(n+1)\phi}-e^{-\mathrm{i}(n+1)\phi}\right)}{\left(e^{\mathrm{i}n\phi}-e^{-\mathrm{i}n\phi}\right)} \\ &= \sqrt{q}\,\frac{\sin\left((n+1)\phi\right)}{\sin\left(n\phi\right)} \\ &= \sqrt{q}\,\frac{\sin(n\phi)\cos\phi+\cos(n\phi)\sin\phi}{\sin(n\phi)} \\ &= \sqrt{q}\left(\cos\phi+\cot(n\phi)\sin\phi\right) \\ &= \sqrt{q}\left(\frac{-\frac{p}{2}}{\sqrt{q}}+\cot(n\phi)\frac{\sqrt{q-\frac{p^2}{4}}}{\sqrt{q}}\right) \\ &= -\frac{p}{2}+\cot(n\phi)\sqrt{q-\frac{p^2}{4}} \end{aligned}$$

Umformungen von α

$$\begin{aligned} \alpha(n) &= q\,\frac{\left(\sqrt{q}\, e^{\mathrm{i}\phi}\right)^{n-1}-\left(\sqrt{q}\,e^{-\mathrm{i}\phi}\right)^{n-1}}{\left(\sqrt{q}\,e^{\mathrm{i}\phi}\right)^{n}-\left(\sqrt{q}\,e^{-\mathrm{i}\phi}\right)^{n}} \\ &= \sqrt{q}\,\frac{\left(e^{\mathrm{i}(n-1)\phi}-e^{-\mathrm{i}(n-1)\phi}\right)}{\left(e^{\mathrm{i}n\phi}-e^{-\mathrm{i}n\phi}\right)} \\ &= \sqrt{q}\,\frac{\sin\left((n-1)\phi\right)}{\sin\left(n\phi\right)} \\ &= \sqrt{q}\,\frac{\sin(n\phi)\cos\phi-\cos(n\phi)\sin\phi}{\sin(n\phi)} \\ &= \sqrt{q}\left(\cos\phi-\cot(n\phi)\sin\phi\right) \\ &= \sqrt{q}\left(\frac{-\frac{p}{2}}{\sqrt{q}}-\cot(n\phi)\frac{\sqrt{q-\frac{p^2}{4}}}{\sqrt{q}}\right) \\ &= -\frac{p}{2}-\cot(n\phi)\sqrt{q-\frac{p^2}{4}} \end{aligned}$$

Eigenschaften

Die Eigenschaften der Folgen sind wesentlich durch die Eigenschaften der Kotangens-Funktion bestimmt. An der Stelle 0 besitzt die Kotangens-Funktion eine Polstelle. Auf dem Intervall $(0,\pi)$ ist die Funktion stetig und streng monoton fallend. Sie ist unbeschränkt. Die Kotangens-Funktion ist periodisch mit der kleinsten Periode π.

Unbestimmt divergent und nicht periodisch

Wären die Folgen konvergent, müssten alle Glieder ab einem bestimmten N in einer beliebig klein gegebenen Umgebung um den Grenzwert liegen. Jeder vermeintliche Grenzwert c samt hinreichend kleiner Umgebung $(c-\varepsilon,c+\varepsilon)$ findet sich beim Kotangens nur mit einer Periode von $k\pi$ mit beliebigem $k\in\mathbb{Z}$ wieder. Das heißt, ab einem bestimmten N müssten alle $n\phi$ mit $n\geq N$ für β in die Umgebungen

$$U_{\beta,k} = \left(\mathrm{arccot}\left(\frac{c_\beta+\varepsilon+\frac{p}{2}}{\sqrt{q-\frac{p^2}{4}}}\right)+k\pi,\mathrm{arccot}\left(\frac{c_\beta-\varepsilon+\frac{p}{2}}{\sqrt{q-\frac{p^2}{4}}}\right)+k\pi\right)$$

und für α in die Umgebungen

$$U_{\alpha,k} = \left(\mathrm{arccot}\left(-\frac{c_\alpha-\varepsilon+\frac{p}{2}}{\sqrt{q-\frac{p^2}{4}}}\right)+k\pi,\mathrm{arccot}\left(-\frac{c_\alpha+\varepsilon+\frac{p}{2}}{\sqrt{q-\frac{p^2}{4}}}\right)+k\pi\right)$$

fallen, wobei als Zielmenge des Arkuskotangens $(0,\pi)$ gewählt wird. Allerdings sind φ und π per Voraussetzung inkommensurabel, sodass

$$\forall m\in\mathbb{N},j\in\mathbb{Z}: m\phi\neq j\pi$$

Damit kommt kein Folgenglied zweimal vor und $(N+m)\phi$ verlässt jede hinreichend kleine Umgebungsschar $U_k$ wieder. Die Folgen sind demnach weder periodisch noch konvergent.

Da auch die Polstelle mit den ins unendlich Negative bzw. Positive strebenden Funktionswerten $k\pi$-periodisch auftritt, wird ebenfalls jede hinreichend kleine Umgebung um die Polstellen wieder verlassen. Die Folgen sind demnach unbestimmt divergent.

Illustration

Darstellung der ersten 512 Folgenglieder bei 20 unterschiedlichen Parametern p und q. Um die Punkte besser zu erkennen, wurden aufeinander folgende mittels Geraden verbunden. Die Graphen sind auf das Format 512×512 Pixel gestreckt beziehungsweise gestaucht.
  1. Betrachtet wurden Bildungsgesetze und Grenzwerte zweier Folgenscharen α und β mit den Parametern p und q unter der Bedingung $p^2>4q$, das heißt bei positiver Diskriminante.
  2. Zur Gleichheit von algebraischer und Exponentialform siehe Wikipedia: Komplexe Zahl.