Quadratisch irrationale n-te Wurzeln aus quadratisch irrationalen Zahlen finden
Auf dieser Seite erläutere ich, wie man mit dem Satz über rationale Nullstellen jene $n$-ten Wurzeln einer quadratisch irrationalen Zahl finden kann, welche ebenfalls quadratisch irrational sind. Nach einer kurzen Einführung folgt eine allgemeine Herleitung meines Lösungsweges. Drei Beispiele zum Schluss zeigen die Anwendung. Vermutlich gibt es auch elegantere Methoden als die meine – schreibe mir gern eine E-Mail, wenn du eine kennst. Meine Adresse findest du ganz am Ende der Seite.
Einführung
Jede quadratische Gleichung $a_2x^2+a_1x+a_0=0$ mit rationalen Koeffizienten $a_0,a_1,a_2$ besitzt für $x$ zwei Lösungen aus der Menge der komplexen Zahlen. Dies ergibt sich aus dem Fundamentalsatz der Algebra, wobei unter Umständen eine einzige Lösung doppelt vorhanden ist.
Die Lösungen können rational sein oder nicht rational. Die Menge aller nicht rationalen Lösungen nennen wir quadratisch irrationale Zahlen. Beispiele für quadratisch irrationale Zahlen sind klassische irrationale Zahlen wie $\sqrt{2}$, das ist die Länge der Diagonale eines Einheitsquadrats und auch das Seitenverhältnis unseres gebräuchlichen DIN-A-Papierformats, und $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{5}$, bekannt als goldener Schnitt. Zu den quadratisch irrationalen Zahlen gehört aber auch die imaginäre Einheit $i$, die wir mit $\sqrt{-1}$ identifizieren.
Keine quadratisch irrationalen Zahlen sind beispielsweise die Kreiszahl π, die Kubikwurzel aus zwei $\sqrt[3]{2}$ oder auch die Summe der Quadratwurzeln $\sqrt{2}+\sqrt{3}$, obwohl beide Summanden für sich genommen quadratisch irrationale Zahlen sind.
Wir können jede quadratisch irrationale Zahl als $a+b\sqrt{c}$ schreiben, wobei $a$ und $b$ rationale Zahlen sind, der Radikand $c$ eine quadratfreie ganze Zahl und $b\neq 0$, $c\neq 0$, $c\neq 1$. Diese Darstellung einer quadratisch irrationalen Zahl ist eindeutig, wenn man $a$ und $b$ als maximal gekürzte gemeine Brüche notiert. Es gibt mit dieser Notation also keine zwei verschiedenen Schreibweisen für dieselbe Zahl.
Was ist, wenn b oder c null ist?
Wenn $b=0$ beziehungsweise $c=0$ ist, dann ist $a+b\sqrt{0}=a+0\sqrt{c}=a$ rational.
Was ist, wenn c eins ist?
Wenn $c=1$ ist, dann ist $a+b\sqrt{1}=a+b$ rational.
Was ist, wenn c rational ist?
Wenn $c$ rational ist, können wir $c$ als Bruch zweier ganzer Zahlen $\frac{v}{w}$ mit positivem $w$ darstellen. Dann ist:
Nun steht rechts unter der Wurzel eine ganze Zahl. Wir können eine Zahl mit rationalem $c$ also in eine Zahl mit ganzem $c$ umwandeln, um den Anforderungen der Notation gerecht zu werden.
Was ist, wenn c nicht quadratfrei ist?
Quadratfrei nennt man eine ganze Zahl außer null, wenn keiner ihrer Primfaktoren mehrfach vorkommt. Die Zahl $6$ beispielsweise ist quadratfrei, da ihre Primfaktoren zwei und drei in der Primfaktorzerlegung $6=2\cdot 3$ jeweils nur einmal vorkommen. Die Zahl $250$ ist nicht quadratfrei, weil ihr Primfaktor fünf in der Primfaktorzerlegung $250=2\cdot 5\cdot 5\cdot 5$ mehrfach vorkommt.
Wenn $c$ nicht quadratfrei ist, können wir $c$ als Produkt $vw^2$ mit ganzen Zahlen $v$ und $w$ darstellen, wobei $v$ quadratfrei ist. Dann ist $a+b\sqrt{vw^2}=a+bw\sqrt{v}$ und rechts steht nur noch eine quadratfreie Zahl unter der Wurzel.
Herausforderung
Die Aufgabe ist, zu einer gegebenen quadratisch irrationalen Zahl $a+b\sqrt{c}$ herauszufinden, ob und welche $n$-te Wurzeln es gibt, die ebenfalls quadratisch irrationale Zahlen sind. Dabei ist $n>1$ eine natürliche Zahl. Anders gesagt: Wir suchen Lösungen für $x,y,z$ in der Gleichung:
Herleitung eines Lösungsweges
Radikand konstant
Nur eine Gleichung, um drei Unbekannte zu finden? Keine Bange! Von den drei Variablen $x,y,z$ lässt sich immerhin die letzte ganz einfach entschlüsseln. Satz:
Beweis: Schauen wir zuerst, was grundsätzlich geschieht, wenn man zwei ansonsten beliebige, aber mit gleichem Radikanden $z$ ausgestattete quadratisch irrationale Zahlen multipliziert:
Bedenkt man, dass $\sqrt{z}\cdot\sqrt{z}=z$ ist und fasst auf der rechten Seite zusammen, erhält man:
Demnach ist das Produkt zweier quadratisch irrationaler Zahlen mit gleichem Radikanden ebenfalls eine quadratisch irrationale Zahl mit demselben Radikanden oder, wenn $s_1t_2+s_2t_1=0$ ist, eine rationale Zahl.
Zweitens: Das Produkt einer rationalen und einer quadratisch irrationalen Zahl ist null, wenn die rationale Zahl null ist, und ansonsten eine quadratisch irrationale Zahl mit demselben Radikanden wie im quadratisch irrationalen Faktor:
Das Produkt mehrerer quadratisch irrationaler Faktoren mit demselben Radikanden ist dann auch entweder eine quadratisch irrationale Zahl mit demselben Radikanden oder rational.
Die linke Seite von Gleichung (1) ist ein Produkt quadratisch irrationaler Zahlen mit gleichem Radikanden $z$. Das Ergebnis auf der rechten Seite ist eine quadratisch irrationale Zahl mit dem Radikanden $c$. Also muss $z=c$ sein. ∎
Binomischer Lehrsatz
Der binomische Lehrsatz besagt allgemein für zwei Zahlen $v$ und $w$ und einen natürliche Exponenten $n$:
Darin ist $\binom{n}{m}$ ein Binomialkoeffizient. Dieser entspricht dem $m$-ten Eintrag in der $n$-ten Zeile des Pascal’schen Dreiecks, wobei wir mit dem Zählen bei der nullten Zeile von oben und dem nullten Eintrag in der jeweiligen Zeile beginnen:
Die Summe aus dem binomischen Lehrsatz teilen wir auf zwei Teilsummen auf. Die erste Teilsumme enthält genau die Summanden, die in Gleichung (6) durch gerade Werte der Laufvariable $m$ erzeugt werden; die zweite Teilsumme besteht aus jenen Summanden, die in Gleichung (6) durch ungerade Werte der Laufvariable $m$ erzeugt werden:
$\left\lfloor\ldots\right\rfloor$ steht in der Formel fürs Abrunden auf eine ganze Zahl. Mit den zwei folgenden Wertetabellen fällt es womöglich leichter, die Äquivalenz der Gleichungen (6) und (7) nachzuvollziehen.
| $n$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ | $8$ | $9$ | … |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor$ | $0$ | $1$ | $1$ | $2$ | $2$ | $3$ | $3$ | $4$ | $4$ | … |
| $\left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor$ | $0$ | $0$ | $1$ | $1$ | $2$ | $2$ | $3$ | $3$ | $4$ | … |
| $k$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | … |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $2k$ | $0$ | $2$ | $4$ | $6$ | $8$ | … |
| $2k+1$ | $1$ | $3$ | $5$ | $7$ | $9$ | … |
Einsatz für den Lehrsatz
In die allgemein gültige Gleichung (7) setzen wir für $v:=x$ und für $w:=y\sqrt{c}$ ein:
Die Klammern um $\left(y\sqrt{c}\right)$ rechts des Gleichheitszeichens lösen wir auf. Dabei verschwindet die Quadratwurzel in der ersten Teilsumme beim Verrechnen mit dem Exponenten $2k$:
Aus der zweiten Teilsumme rechts können wir jetzt $\sqrt{c}$ ausklammern, da dies nicht von der Laufvariable $k$ abhängig ist. Außerdem ersetzen wir die komplette linke Seite der Gleichung mit $a+b\sqrt{c}$, wie es die Gleichung (1) in Verbindung mit (2) erlaubt.
Aus dem Vergleich von linker und rechter Seite dieser Formel ergeben sich nun zwei kürzere Gleichungen – eine für $a$ und eine für $b$:
Damit stehen nun zwei Gleichungen zum Entschlüsseln der zwei Unbekannten $x$ und $y$ parat. Das ist günstig. Man mag darauf Methoden zur Lösung eines solchen algebraischen Gleichungssystems direkt anwenden können. Der im Weiteren verfolgte Ansatz zielt aber darauf ab, aus den zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten wieder eine Gleichung zu machen – mit nur einer Unbekannten.
Aus guten Verhältnissen
Wir definieren $q$ als Verhältnis der gegebenen Variablen $a$ zu $b$:
sowie $r$ als Verhältnis der gesuchten Variablen $x$ zu $y$:
Dementsprechend ersetzen wir $x=ry$ in Gleichung (11a):
Mit den Potenzgesetzen wird aus $y^{n-2k}y^{2k}=y^n$ und das können wir aus der Summe ausklammern, da es nicht von der Laufvariable $k$ abhängig ist:
Das gleiche Spiel spielen wir mit Gleichung (11b). Darin wird $x$ durch $ry$ ersetzt, sodass:
Nach Anwendung der Potenzgesetze können wir das verbleibende $y^n$ als Faktor aus der Summe ziehen:
Wiedervereinigung
Wenn wir nun jeweils die linke und rechte Seite der Gleichung (15a) durch die entsprechenden Seiten von (15b) teilen, kürzt sich $y^n$ weg:
Gemäß Definition (12) können wir $\frac{a}{b}$ als $q$ schreiben. Wir multiplizieren des Weiteren beide Seiten der Gleichung mit allem, was rechts unter dem Bruchstrich steht. Ziehen wir die resultierende linke Gleichungsseite dann noch beidseitig ab, ergibt das:
Auf der rechten Seite steht nun – wenn auch in dieser allgemeinen Darstellung etwas verworren – ein normiertes Polynom $n$-ten Grades der Variablen $r$. Auf der linken Seite steht null. Das Verhältnis $r$ unserer Unbekannten $x$ und $y$ ist also in den Nullstellen des Polynoms zu finden! Geben wir dem Polynom einen Namen, $V$ wie Verhältnispolynom:
Exemplarisch sei hier einmal gezeigt, wie das Polynom mit den konkreten Werten vier beziehungsweise fünf für $n$ aussieht – gut überschaubar eigentlich:
Dem Satz von Abel–Ruffini zufolge gibt es leider für Polynome fünften oder höheren Grades keine allgemeine, in einem gewissen Sinne einfache Formel, um die Nullstellen exakt zu berechnen.✻
Wir suchen allerdings nicht irgendwelche Nullstellen: Da für $x$ und $y$ rationale Zahlen gesucht sind, muss auch ihr Verhältnis $r$ rational sein. Wir interessieren uns daher nur für die rationalen Nullstellen des Polynoms. Beim Finden jener hilft ein anderer Satz, der …
Satz über rationale Nullstellen
Betrachten wir allgemein ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten $d_0$ bis $d_n$:
Dem Satz über rationale Nullstellen zufolge muss der Zähler einer rationalen Nullstelle des Polynoms ein Teiler des Absolutgliedes $d_0$ sein. Der Nenner der Nullstelle muss ein Teiler des Leitkoeffizienten $d_n$ sein. Das Vorzeichen der Nullstelle kann positiv oder negativ sein.†
Die Koeffizienten des Verhältnispolynoms sind Produkte aus einem ganzzahligen Binomialkoeffzienten und einer Potenz von $c$, welche ganzzahlig ist, und $q$. Die Zahl $q$ ist rational und damit oft nicht ganzzahlig. Um den Satz über rationale Nullstellen anwenden zu können, müssen wir beide Seiten der Gleichung (17) daher oft erst mit einem geeigneten Faktor multiplizieren, der die Koeffizienten des Polynoms ganzzahlig macht.
Idealerweise wählt man als Faktor den Kehrwert des größten gemeinsamen Teilers aller Koeffizienten. So fallen die ganzzahligen Koeffizienten des resultierenden Polynoms minimal aus. Dann wird das resultierende Polynom als primitiver Teil, englisch primitive part, des ursprünglichen Polynoms $V(r)$ bezeichnet und kann als $\mathrm{pp}V(r)$ notiert werden.
Für das Verhältnispolynom entspricht dieser Faktor dem Nenner von $q$ oder einem Teiler dieses Nenners. Daraus folgt:
- Der Leitkoeffizient $d_n$ von $\mathrm{pp}V(r)$ entspricht dem Nenner von $q$ oder einem Teiler dieses Nenners.
- Wenn $n$ gerade ist, ist das Absolutglied $d_0$ von $\mathrm{pp}V(r)$ das Produkt aus $c^\frac{n}{2}$ und dem Nenner von $q$ oder aber ein Teiler dieses Produkts.
- Wenn $n$ ungerade ist, ist das Absolutglied $d_0$ von $\mathrm{pp}V(r)$ das Produkt aus $c^\frac{n-1}{2}$ und dem Zähler von $q$ oder aber ein Teiler dieses Produkts.
Nach dem Studieren: Probieren
Der Satz über rationale Nullstellen schränkt die Möglichkeiten für eine Nullstelle auf endlich viele Kandidaten ein. Gegebenenfalls kann man die Kandidaten mit anderen Methoden weiter ausdünnen. Auf jeden Fall aber kann man sie testen, indem man sie in $\mathrm{pp}V(r)$ oder – je nach Belieben – in $V(r)$ einsetzt und prüft, ob das Polynom dann null ergibt.
Zwar muss $r$ eine rationale Nullstelle des Verhältnispolynoms sein, um zu einer Lösung der Aufgabe zu führen, aber nicht jede Nullstelle des Verhältnispolynoms bringt auch garantiert eine Lösung der Aufgabe hervor. Ob sie das tut, sehen wir gleich. Dazu stellen wir Gleichung (15b) um:
In diese Gleichung setzen wir für $r$ die gefundenen Nullstellen ein. Falls die rechte Seite rational bleibt, wenn wir die $n$-te Wurzel ziehen, haben wir eine Lösung für $y$ gefunden – beziehungsweise bei geradem $n$ zwei Lösungen: $\pm\sqrt[n]{\phantom{R}}$. Das zugehörige $x$ können wir gemäß Definition (13) zu guter Letzt als $x=ry$ berechnen. Tada!
Beispiele
Erstes Beispiel
Gesucht sind vierte Wurzeln von $28+16\sqrt{3}$, die quadratisch irrational sind, also der Form $x+y\sqrt{z}$ mit rationalen Zahlen $x,y$ und einer quadratfreien ganzen Zahl $z$ entsprechen.
Auf zur Lösung … In der Aufgabenstellung sind schon gegeben:
Dank Gleichung (2) wissen wir sofort:
Ferner können wir per Definition (12) festhalten:
Damit haben wir alles, was wir brauchen, um das Verhältnispolynom nach Formel (18) zu bilden. Erst einmal explizit nach Vorschrift und darunter dann hübsch zusammengefasst:
Wir haben Glück! Die Koeffizienten $1$, $−7$, $18$, $−21$ und $9$ des Verhältnispolynoms sind bereits allesamt ganzzahlig. Wir dürfen den Satz über rationale Nullstellen daher sofort anwenden.
Laut dem Satz über rationale Nullstellen muss der Zähler von $r$ ein Teiler des Absolutgliedes des Polynoms, also ein Teiler von $9$ sein. Die Zahl neun hat die positiven Teiler $9$, $3$ und $1$. Der Nenner von $r$ muss ein Teiler des Leitkoeffizienten sein, der hier $1$ ist. Die Zahl eins hat nur sich selbst als Teiler.
Damit ergeben sich als Nullstellen-Kandidaten $\frac{9}{1}$, $\frac{3}{1}$, $\frac{1}{1}$ beziehungsweise einfach $9$, $3$, $1$ sowie die negativen Gegenstücke $-9$, $-3$ und $-1$. Probieren wir die Zahlen aus! Eine Wertetabelle zeigt, was sie in $V$ eingesetzt ergeben:
| $r$ | $-9$ | $-3$ | $-1$ | $1$ | $3$ | $9$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $V(r)$ | $13320$ | $504$ | $56$ | $0$ | $0$ | $2736$ |
Wir haben zwei Nullstellen gefunden, $1$ und $3$. Schauen wir, ob wir mit ihnen und der Formel (20) eine rationale Lösung für $y$ erhalten. Zuerst für den Fall $r=1$:
Wir haben zwei Lösungen für $y$ gefunden, $1$ und $-1$. Das jeweils zugehörige $x$ lässt sich über Definition (13) als $x=ry$ errechnen:
Die zweite Nullstelle, der Fall $r=3$, bringt in Formel (20) eingesetzt hingegen keine rationale Zahl für $y$ hervor:
Damit bleibt es bei den zwei Lösungen $x_{1,2}=y_{1,2}=\pm 1$ mit $z=3$, also der Lösungsmenge
Zweites Beispiel
Gesucht sind quadratisch irrationale Kubikwurzeln aus $-\frac{35}{8}-\frac{193}{18}\sqrt{-6}$. Das heißt, gesucht sind Zahlen der Form $x+y\sqrt{z}$ mit rationalen Zahlen $x,y$ und einer quadratfreien ganzen Zahl $z$, welche die Gleichung
erfüllen. Durch die Aufgabenstellung gegeben sind:
Lösung: Dank Gleichung (2) wissen wir:
Per Definition (12) können wir notieren:
Damit bilden wir das Verhältnispolynom nach Formel (18):
Die Koeffizienten sind $1$, $-\frac{945}{772}$, $-18$ und $\frac{945}{386}$. Deren größter gemeinsamer Teiler ist $\frac{1}{772}$. Multiplizieren wir das Verhältnispolynom mit dem Kehrwert des größten gemeinsamen Teilers, erhalten wir ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten:
Nun können wir den Satz über rationale Nullstellen anwenden. Ihm zufolge muss der Zähler einer rationalen Nullstelle ein Teiler des Absolutgliedes $1890$ sein, während der Nenner der Nullstelle ein Teiler des Leitkoeffizienten $772$ ist.
Die Teiler der Zahlen findet man als alle mögliche Produkte ihrer Primfaktoren sowie $1$ als leerem Produkt. Die Primfaktorzerlegungen sind $1890=2\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 5\cdot 7$ und $772=2\cdot 2\cdot 193$.
Die Teiler von $1890$ sind dann $1$, $2$, $3$, $5$, $6$, $7$, $9$, $10$, $14$, $15$, $18$, $21$, $27$, $30$, $35$, $42$, $45$, $54$, $63$, $70$, $90$, $105$, $126$, $135$, $189$, $210$, $270$, $315$, $378$, $630$, $945$, $1890$. Die Teiler von $772$ sind $1$, $2$, $4$, $193$, $386$, $772$.
Die folgende Tabelle listet für alle möglichen Kombinationen aus einem Teiler von $1890$ beliebigen Vorzeichens im Zähler und einem Teiler von $772$ im Nenner auf, welchen Wert das Polynom $\mathrm{pp}V(r)$ an jener Stelle hat.
| $\mathrm{pp}V\left(\frac{\mathrm{Zeile}}{\mathrm{Spalte}}\right)$ | $1$ | $2$ | $4$ | $193$ | $386$ | $772$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $-1890$ | $-5215329037170$ | $-652328233515$ | $-\frac{326566366875}{4}$ | $-\frac{25241465970}{37249}$ | $-\frac{1614720555}{37249}$ | $\frac{2818720485}{148996}$ |
| $-945$ | $-652328233515$ | $-\frac{326566366875}{4}$ | $-\frac{81832858065}{8}$ | $-\frac{1614720555}{37249}$ | $\frac{2818720485}{148996}$ | $\frac{4788140175}{297992}$ |
| $-630$ | $-193402598130$ | $-24218923995$ | $-\frac{12149773335}{4}$ | $\frac{384756750}{37249}$ | $\frac{696416805}{37249}$ | $\frac{1814937705}{148996}$ |
| $-378$ | $-41825608146$ | $-5243107779$ | $-\frac{2634485931}{4}$ | $\frac{733103406}{37249}$ | $\frac{516523581}{37249}$ | $\frac{1248112341}{148996}$ |
| $-315$ | $-24218923995$ | $-\frac{12149773335}{4}$ | $-\frac{1527153075}{4}$ | $\frac{696416805}{37249}$ | $\frac{1814937705}{148996}$ | $\frac{1095153885}{148996}$ |
| $-270$ | $-15260412690$ | $-1914754275$ | $-\frac{963167895}{4}$ | $\frac{646898670}{37249}$ | $\frac{405396765}{37249}$ | $\frac{983579625}{148996}$ |
| $-210$ | $-7188246450$ | $-902644155$ | $-\frac{454336155}{4}$ | $\frac{554886990}{37249}$ | $\frac{336953925}{37249}$ | $\frac{832073445}{148996}$ |
| $-189$ | $-5243107779$ | $-\frac{2634485931}{4}$ | $-\frac{663107823}{8}$ | $\frac{516523581}{37249}$ | $\frac{1248112341}{148996}$ | $\frac{1556719857}{297992}$ |
| $-135$ | $-1914754275$ | $-\frac{963167895}{4}$ | $-\frac{60567615}{2}$ | $\frac{405396765}{37249}$ | $\frac{983579625}{148996}$ | $\frac{319370985}{74498}$ |
| $-126$ | $-1557540306$ | $-195909651$ | $-\frac{98510391}{4}$ | $\frac{385319214}{37249}$ | $\frac{234611181}{37249}$ | $\frac{615274569}{148996}$ |
| $-105$ | $-902644155$ | $-\frac{454336155}{4}$ | $-\frac{113986845}{8}$ | $\frac{336953925}{37249}$ | $\frac{832073445}{148996}$ | $\frac{1120621635}{297992}$ |
| $-90$ | $-569189970$ | $-71634915$ | $-\frac{35829675}{4}$ | $\frac{301203630}{37249}$ | $\frac{188809245}{37249}$ | $\frac{520880085}{148996}$ |
| $-70$ | $-268451890$ | $-33768875$ | $-\frac{16727095}{4}$ | $\frac{252133070}{37249}$ | $\frac{162938965}{37249}$ | $\frac{468094025}{148996}$ |
| $-63$ | $-195909651$ | $-\frac{98510391}{4}$ | $-3029859$ | $\frac{234611181}{37249}$ | $\frac{615274569}{148996}$ | $\frac{112390929}{37249}$ |
| $-54$ | $-123565554$ | $-15507099$ | $-\frac{7528599}{4}$ | $\frac{211839246}{37249}$ | $\frac{142045029}{37249}$ | $\frac{425698281}{148996}$ |
| $-45$ | $-71634915$ | $-\frac{35829675}{4}$ | $-\frac{8484615}{8}$ | $\frac{188809245}{37249}$ | $\frac{520880085}{148996}$ | $\frac{803576025}{297992}$ |
| $-42$ | $-58277394$ | $-7272531$ | $-\frac{3400299}{4}$ | $\frac{181078254}{37249}$ | $\frac{126267309}{37249}$ | $\frac{393808149}{148996}$ |
| $-35$ | $-33768875$ | $-\frac{16727095}{4}$ | $-\frac{1864205}{4}$ | $\frac{162938965}{37249}$ | $\frac{468094025}{148996}$ | $\frac{375169795}{148996}$ |
| $-30$ | $-21275730$ | $-2607795$ | $-\frac{1090935}{4}$ | $\frac{149899950}{37249}$ | $\frac{110403405}{37249}$ | $\frac{361840905}{148996}$ |
| $-27$ | $-15507099$ | $-\frac{7528599}{4}$ | $-\frac{739179}{4}$ | $\frac{142045029}{37249}$ | $\frac{425698281}{148996}$ | $\frac{353837349}{148996}$ |
| $-21$ | $-7272531$ | $-\frac{3400299}{4}$ | $-\frac{503307}{8}$ | $\frac{126267309}{37249}$ | $\frac{393808149}{148996}$ | $\frac{675632853}{297992}$ |
| $-18$ | $-4556466$ | $-512379$ | $-\frac{100251}{4}$ | $\frac{118345806}{37249}$ | $\frac{94458501}{37249}$ | $\frac{329799141}{148996}$ |
| $-15$ | $-2607795$ | $-\frac{1090935}{4}$ | $0$ | $\frac{110403405}{37249}$ | $\frac{361840905}{148996}$ | $\frac{80444340}{37249}$ |
| $-14$ | $-2107154$ | $-211939$ | $\frac{23401}{4}$ | $\frac{107751406}{37249}$ | $\frac{89126429}{37249}$ | $\frac{319102441}{148996}$ |
| $-10$ | $-725650$ | $-48755$ | $\frac{74645}{4}$ | $\frac{97121390}{37249}$ | $\frac{434125}{193}$ | $\frac{308397845}{148996}$ |
| $-9$ | $-512379$ | $-\frac{100251}{4}$ | $\frac{156627}{8}$ | $\frac{94458501}{37249}$ | $\frac{329799141}{148996}$ | $\frac{611440947}{297992}$ |
| $-7$ | $-211939$ | $\frac{23401}{4}$ | $\frac{38353}{2}$ | $\frac{89126429}{37249}$ | $\frac{319102441}{148996}$ | $\frac{150182137}{74498}$ |
| $-6$ | $-115506$ | $14229$ | $\frac{72009}{4}$ | $\frac{86457294}{37249}$ | $\frac{78437781}{37249}$ | $\frac{297685449}{148996}$ |
| $-5$ | $-48755$ | $\frac{74645}{4}$ | $\frac{130205}{8}$ | $\frac{434125}{193}$ | $\frac{308397845}{148996}$ | $\frac{590012285}{297992}$ |
| $-3$ | $14229$ | $\frac{72009}{4}$ | $\frac{45819}{4}$ | $\frac{78437781}{37249}$ | $\frac{297685449}{148996}$ | $\frac{289646091}{148996}$ |
| $-2$ | $19726$ | $14069$ | $\frac{34021}{4}$ | $\frac{75760654}{37249}$ | $\frac{73081589}{37249}$ | $\frac{286965349}{148996}$ |
| $-1$ | $14069$ | $\frac{34021}{4}$ | $\frac{42343}{8}$ | $\frac{73081589}{37249}$ | $\frac{286965349}{148996}$ | $\frac{568568263}{297992}$ |
| $1$ | $-12179$ | $-\frac{20791}{4}$ | $-1631$ | $\frac{67717741}{37249}$ | $\frac{276237641}{148996}$ | $\frac{69730069}{37249}$ |
| $2$ | $-23506$ | $-12179$ | $-\frac{20791}{4}$ | $\frac{65033006}{37249}$ | $\frac{67717741}{37249}$ | $\frac{276237641}{148996}$ |
| $3$ | $-27459$ | $-\frac{73899}{4}$ | $-\frac{69903}{8}$ | $\frac{62346429}{37249}$ | $\frac{265502421}{148996}$ | $\frac{547109073}{297992}$ |
| $5$ | $5285$ | $-\frac{106775}{4}$ | $-\frac{61795}{4}$ | $\frac{56967845}{37249}$ | $\frac{254759785}{148996}$ | $\frac{268186925}{148996}$ |
| $6$ | $51246$ | $-27459$ | $-\frac{73899}{4}$ | $\frac{54275886}{37249}$ | $\frac{62346429}{37249}$ | $\frac{265502421}{148996}$ |
| $7$ | $123109$ | $-\frac{100891}{4}$ | $-\frac{169477}{8}$ | $\frac{51582181}{37249}$ | $\frac{244009829}{148996}$ | $\frac{525634907}{297992}$ |
| $9$ | $363069$ | $-\frac{37719}{4}$ | $-\frac{50733}{2}$ | $\frac{46189629}{37249}$ | $\frac{233252649}{148996}$ | $\frac{128723067}{74498}$ |
| $10$ | $540430$ | $5285$ | $-\frac{106775}{4}$ | $\frac{43490830}{37249}$ | $\frac{56967845}{37249}$ | $\frac{254759785}{148996}$ |
| $14$ | $1740494$ | $123109$ | $-\frac{100891}{4}$ | $\frac{32679374}{37249}$ | $\frac{51582181}{37249}$ | $\frac{244009829}{148996}$ |
| $15$ | $2186325$ | $\frac{680805}{4}$ | $-\frac{182385}{8}$ | $\frac{29972565}{37249}$ | $\frac{200938725}{148996}$ | $\frac{482642415}{297992}$ |
| $18$ | $3947886$ | $363069$ | $-\frac{37719}{4}$ | $\frac{21843054}{37249}$ | $\frac{46189629}{37249}$ | $\frac{233252649}{148996}$ |
| $21$ | $6442821$ | $\frac{2581929}{4}$ | $\frac{58401}{4}$ | $\frac{13700421}{37249}$ | $\frac{168563241}{148996}$ | $\frac{225180081}{148996}$ |
| $27$ | $14133069$ | $\frac{6165909}{4}$ | $\frac{819693}{8}$ | $-\frac{2621619}{37249}$ | $\frac{136128789}{148996}$ | $\frac{418046157}{297992}$ |
| $30$ | $19578510$ | $2186325$ | $\frac{680805}{4}$ | $-\frac{10799730}{37249}$ | $\frac{29972565}{37249}$ | $\frac{200938725}{148996}$ |
| $35$ | $31457405$ | $\frac{14426965}{4}$ | $\frac{2601025}{8}$ | $-\frac{24452995}{37249}$ | $\frac{92795605}{148996}$ | $\frac{374912545}{297992}$ |
| $42$ | $54947214$ | $6442821$ | $\frac{2581929}{4}$ | $-\frac{43610994}{37249}$ | $\frac{13700421}{37249}$ | $\frac{168563241}{148996}$ |
| $45$ | $67811445$ | $\frac{32017545}{4}$ | $\frac{3300615}{4}$ | $-\frac{51835275}{37249}$ | $\frac{38497545}{148996}$ | $\frac{160460055}{148996}$ |
| $54$ | $118058094$ | $14133069$ | $\frac{6165909}{4}$ | $-\frac{76549266}{37249}$ | $-\frac{2621619}{37249}$ | $\frac{136128789}{148996}$ |
| $63$ | $188412021$ | $\frac{91024101}{4}$ | $\frac{20518407}{8}$ | $-\frac{101311371}{37249}$ | $-\frac{59571099}{148996}$ | $\frac{223531623}{297992}$ |
| $70$ | $259194670$ | $31457405$ | $\frac{14426965}{4}$ | $-\frac{120592850}{37249}$ | $-\frac{24452995}{37249}$ | $\frac{92795605}{148996}$ |
| $90$ | $553884750$ | $67811445$ | $\frac{32017545}{4}$ | $-\frac{175711410}{37249}$ | $-\frac{51835275}{37249}$ | $\frac{38497545}{148996}$ |
| $105$ | $881810685$ | $\frac{433514025}{4}$ | $\frac{25899615}{2}$ | $-\frac{216989955}{37249}$ | $-\frac{289705815}{148996}$ | $-\frac{1157625}{74498}$ |
| $126$ | $1527538446$ | $188412021$ | $\frac{91024101}{4}$ | $-\frac{274523634}{37249}$ | $-\frac{101311371}{37249}$ | $-\frac{59571099}{148996}$ |
| $135$ | $1880312805$ | $\frac{928737765}{4}$ | $\frac{225078075}{8}$ | $-\frac{299040795}{37249}$ | $-\frac{454819995}{148996}$ | $-\frac{168296805}{297992}$ |
| $189$ | $5175598869$ | $\frac{2566988361}{4}$ | $\frac{314690859}{4}$ | $-\frac{443235051}{37249}$ | $-\frac{752420151}{148996}$ | $-\frac{232033221}{148996}$ |
| $210$ | $7104901230$ | $881810685$ | $\frac{433514025}{4}$ | $-\frac{497434770}{37249}$ | $-\frac{216989955}{37249}$ | $-\frac{289705815}{148996}$ |
| $270$ | $15122635470$ | $1880312805$ | $\frac{928737765}{4}$ | $-\frac{643878450}{37249}$ | $-\frac{299040795}{37249}$ | $-\frac{454819995}{148996}$ |
| $315$ | $24031392525$ | $\frac{11962253205}{4}$ | $\frac{2960568765}{8}$ | $-\frac{743150835}{37249}$ | $-\frac{1439268075}{148996}$ | $-\frac{1157665635}{297992}$ |
| $378$ | $41555561166$ | $5175598869$ | $\frac{2566988361}{4}$ | $-\frac{862352946}{37249}$ | $-\frac{443235051}{37249}$ | $-\frac{752420151}{148996}$ |
| $630$ | $192652460910$ | $24031392525$ | $\frac{11962253205}{4}$ | $-\frac{994096530}{37249}$ | $-\frac{743150835}{37249}$ | $-\frac{1439268075}{148996}$ |
| $945$ | $650640420045$ | $\frac{324878564745}{4}$ | $10123622460$ | $\frac{67704525}{37249}$ | $-\frac{3943332855}{148996}$ | $-15120$ |
| $1890$ | $5208577771950$ | $650640420045$ | $\frac{324878564745}{4}$ | $\frac{18630998190}{37249}$ | $\frac{67704525}{37249}$ | $-\frac{3943332855}{148996}$ |
An nur einer Stelle in der Tabelle nimmt das Polynom den Wert null an, nämlich in Zeile $-15$, Spalte $4$, das heißt für $r=-\frac{15}{4}$. Wir prüfen, ob wir mit diesem Kandidaten und Formel (20) eine rationale Lösung für $y$ finden:
Tatsächlich! Per Definition (13) können wir dazu passend $x$ als $x=ry$ errechnen:
Somit ist die Lösungsmenge
Drittes Beispiel
Gesucht sind quadratisch irrationale Quadratwurzeln aus $-3+6\sqrt{2}$. Gesucht sind also Zahlen der Form $x+y\sqrt{z}$, wobei $z$ ganzzahlig quadratfrei ist und $x$ sowie $y$ rational sind, welche die Gleichung
erfüllen. In der Aufgabenstellung gegeben sind:
Lösung: Wegen (2) gilt:
Per Definition (12) können wir notieren:
Damit bilden wir das Verhältnispolynom nach Formel (18):
Die Koeffizienten des Verhältnispolynoms $1,1,2$ sind schon alle ganzzahlig, sodass wir sofort den Satz über rationale Nullstellen anwenden können. Ihm zufolge muss der Zähler einer rationalen Nullstelle ein Teiler des Absolutgliedes $2$ sein, also entweder $2$ oder $1$. Der Nenner einer rationalen Nullstelle muss ein Teiler des Leitkoeffizienten $1$ sein, also $1$.
Die Kandidaten für die Nullstelle sind also $\frac{1}{1},\frac{2}{1}$ beziehungsweise einfacher ausgedrückt $1,2$ sowie die negativen Gegenstücke $-1,-2$. Erstellen wir eine Wertetabelle für diese Kandidaten:
| $r$ | $-2$ | $-1$ | $1$ | $2$ |
|---|---|---|---|---|
| $V(r)$ | $4$ | $2$ | $4$ | $8$ |
Keiner unserer Kandidaten ist tatsächlich eine Nullstelle des Verhältnispolynoms! Demnach gibt es kein Verhältnis rationaler Zahlen $x$ und $y$, welches die Aufgabe löst! Die Lösungsmenge ist leer:
Addendum
Das Verhältnispolynom kann auch kurz
geschrieben werden. Darin ist $\left\lfloor\frac{m}{2}\right\rfloor$ schlicht der Quotient und $(m\textrm{ mod }2)$ der Rest bei der ganzzahligen Divison von $m$ durch zwei.
| $m$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $\left\lfloor\frac{m}{2}\right\rfloor$ | 0 | 0 | 1 | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 | 4 | 4 |
| $m\textrm{ mod }2$ | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
✻ Siehe auch Heinz Klaus Strick: Paolo Ruffini (1765–1822)
in Der Mathematische Monatskalender
auf www.spektrum.de.
† Weisstein, Eric W.: Rational Zero Theorem
auf MathWorld – A Wolfram Web Resource. Abgerufen am 28. Mai 2023.