Der Kosinusssatz und sein Beweis
Dem Kosinussatz zufolge gelten in jedem Dreieck mit Seiten $a, b, c$ und ihnen gegenüberliegenden Winkeln $\alpha, \beta, \gamma$ die Gleichungen:
Was ist der Kosinus eines Winkels?
Im rechtwinkligen Dreieck hat die längste Seite einen eigenen Namen, Hypothenuse
. Die beiden kürzeren Seiten heißen Katheten
. Bezogen auf einen der spitzen Winkel nennt man die benachbarte Kathete Ankathete
und die gegenüberliegende Kathete Gegenkathete
.
Der Kosinus eines spitzen Winkels wird im rechtwinkligen Dreieck als Verhältnis der Ankathete zur Hypothenuse definiert.
Kosinus des Winkels = Länge der Ankathete/Länge der Hypothenuse
In Formeln kürzt man den Kosinus $\cos$ ab. Den Kosinus des Winkels $\gamma$ schreibt man dann beispielsweise $\cos(\gamma)$ oder einfach $\cos\gamma$.
Definition im Einheitskreis
Der Einheitskreis hat seinen Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems und den Radius eins. Auch an ihm lässt sich der Kosinus definieren. Für spitze Winkel ist die Definition zu jener im rechtwinkligen Dreieck äquivalent, bietet allerdings auch eine Erklärung für größere Winkel.
Der Kosinus jenes Winkels, welcher sich gegen den Uhrzeigersinn zwischen dem positiven Teil der x-Achse und dem Radius zu einem beliebigen Punkt P auf dem Einheitskreis aufspannt, entspricht der x-Koordinate von P.
Kosinus von Supplementwinkeln
Man nennt zwei Winkel Supplementwinkel, wenn sie zusammen einen gestreckten Winkel ergeben, das heißt 180°. Für zwei Supplementwinkel gilt, dass ihre Kosinus denselben absoluten Betrag haben, aber umgekehrte Vorzeichen. In einer Formel:
Am Einheitskreis lässt sich das demonstrieren. Die folgende Grafik enthält dafür ein an der y-Achse gespiegeltes Bild der vorigen. Ergänzend zum gespiegelten Winkel $\theta$ ist außerdem der Supplementwinkel $\theta^\prime=180^\circ-\theta$ eingezeichnet.
Der Kosinus von $\theta^\prime$ ist deckungsgleich mit dem Spiegelbild des Kosinus von $\theta$. Sie haben denselben absoluten Betrag. Hier aber finden wir den Kosinus auf dem negativen Ast der x-Achse, wohingegen der Kosinus von $\theta$ vor der Spiegelung positiv war. Die Vorzeichen unterscheiden sich.
Kosinus des rechten Winkels
Der Kosinus eines rechten Winkels ist null.
Vorbemerkung zum Beweis des Kosinussatzes
Wir werden den Kosinussatz einmal in spitzwinkligen und jeweils zweimal in rechtwinkligen und stumpfwinkligen Dreiecken herleiten, um alle möglichen Konstellationen abzudecken.
Bei der Herleitung beziehen wir die Höhen der Dreiecke ein. Jede Dreieckshöhe steht senkrecht auf einer Seite des Dreiecks – oder ihrer Verlängerung – und verbindet diese mit der gegenüberliegenden Ecke. Wegen der rechten Winkel am Höhenfußpunkt ergeben sich mit den Höhen in jedem Dreieck rechtwinklige Teildreiecke. In jenen Teildreiecken können wir auf die Definition des Kosinus zurückgreifen. Das tun wir, umgestellt nach der Länge der Ankathete:
Länge der Ankathete = Länge der Hypothenuse × Kosinus des Winkels
Herleitung des Kosinussatzes im spitzwinkligen Dreieck
Betrachten wir zunächst ein spitzwinkliges Dreieck ABC.
Außer den Seiten $a, b, c$ und Winkeln $\alpha, \beta, \gamma$ sind auch die Höhen des Dreiecks mit ihren Fußpunkten $L_a, L_b, L_c$ eingezeichnet. Die Höhenfußpunkte teilen die Seiten des Dreiecks jeweils in zwei Teile. Beispielsweise unterteilt $L_a$ die Seite $a$ in die Teilstrecken $a_1$ und $a_2$.
| Seiten |
|---|
| $a=a_1+a_2$ |
| $b=b_1+b_2$ |
| $c=c_1+c_2$ |
An jede Seite des Dreiecks ABC ist ein Quadrat mit der entsprechenden Seitenlänge angehängt. Auch die Quadrate sind jeweils in zwei Teile geteilt, die verschieden eingefärbt sind.
| Quadrate |
|---|
| $a^2=aa_1+aa_2$ |
| $b^2=bb_1+bb_2$ |
| $c^2=cc_1+cc_2$ |
In der Abbildung gibt es nicht nur ein einziges Dreieck. Dank der eingezeichneten Höhen mit ihren Höhenfußpunkten findet man innerhalb des Dreieck ABC ein Dutzend kleinerer, rechtwinkliger Dreiecke. Wir benutzen einige davon, um mit der umgestellten Definition des Kosinus Formeln für alle Teilstrecken von $a, b, c$ aufzustellen.
| Ankathete | in |
|---|---|
| $a_1=c\cos\beta$ | $\triangle ABL_a$ |
| $a_2=b\cos\gamma$ | $\triangle CAL_a$ |
| $b_1=a\cos\gamma$ | $\triangle BCL_b$ |
| $b_2=c\cos\alpha$ | $\triangle ABL_b$ |
| $c_1=b\cos\alpha$ | $\triangle CAL_c$ |
| $c_2=a\cos\beta$ | $\triangle BCL_c$ |
Nach dieser Vorbetrachtung beginnen wir die Herleitung des Kosinussatzes mit einer Gleichung, die zweifellos wahr ist, da auf beiden Seiten dasselbe steht:
Auf der rechten Seite ersetzen wir die Quadrate gemäß Tabelle 2:
Darin ersetzen wir die Teilstrecken $a_1,a_2,b_1,b_2,c_1,c_2$ gemäß Tabelle 3:
Wenn wir die Klammern auflösen und uns des Kommutativgesetzes besinnen, demzufolge beispielsweise $ab=ba$ ist, addieren sich einige Terme zu null. Es bleibt nur dies:
Warum Terme verschwinden, lässt sich auch in der obigen Abbildung nachvollziehen. In dieser sind flächengleiche Rechtecke nämlich identisch eingefärbt. Zieht man vom Quadrat an einer Seite des Dreiecks die Quadrate an den anderen Seiten des Dreiecks ab, wie wir das hier tun, dann heben sich einige gleichfarbige Teilflächen gegenseitig auf.
Addieren wir nun beiderseits der Gleichung noch $a^2$ und $b^2$, erhalten wir schon den Kosinussatz:
Die Herleitung der anderen beiden Varianten des Kosinussatzes erfolgt analog dazu. ∎
Herleitung des Kosinussatzes im rechtwinkligen Dreieck
Betrachten wir nun ein Dreieck ABC mit zwei spitzen Winkel $\alpha, \beta$ und rechtem Winkel $\gamma$. Die Katheten heißen $a, b$ und die Hypothenuse $c$.
Eingezeichnet ist auch die Höhe auf $c$ mit dem Fußpunkt $L_c$, welcher die Hypothenuse in zwei Teilstrecken teilt: $c=c_1+c_2$. An jeder der Seiten $a, b, c$ ist ein Quadrat mit der entsprechenden Seitenlänge angezeichnet. Das Hypothenusenquadrat ist entlang der verlängerten Höhe in zwei Teilflächen unterteilt.
Mit der Definition des Kosinus, umgestellt nach der Ankathete, notieren wir insgesamt vier Formeln im großen beziehungsweise den durch $L_c$ entstandenen rechtwinkligen Teildreiecken.
| Ankathete | in |
|---|---|
| $a=c\cos\beta$ | $\triangle ABC$ |
| $b=c\cos\alpha$ | $\triangle ABC$ |
| $c_1=b\cos\alpha$ | $\triangle CAL_c$ |
| $c_2=a\cos\beta$ | $\triangle BCL_c$ |
Nach diesen Vorbetrachtungen werden wir den Kosinussatz zunächst mit dem rechten Winkel und dann auch exemplarisch mit einem spitzen Winkel beweisen.
Rechter Winkel
Das Hypothenusenquadrat ist aus zwei Teilflächen zusammengesetzt:
Wir ersetzen auf der rechten Seiten die Teilstrecken $c_1,c_2$ gemäß der Tabelle 4:
In den Summanden umklammern wir jeweils $c$ und den Kosinus des Winkels:
Nun ersetzen wir die Klammerausdrücke gemäß Tabelle 4 und erhalten:
Wir haben den Satz des Pythagoras hergeleitet!
Der Winkel $\gamma$ ist ein rechter Winkel und der Kosinus des rechten Winkels ist null. Null mal irgendetwas ist wieder null. Daher ist auch $2ab\cos\gamma=0$. Wenn wir auf der rechten Seite des Satzes des Pythagoras nun $2ab\cos\gamma$ abziehen, ändert das also nichts am Gehalt der Gleichung. Aber es ergibt den Kosinussatz:
Spitzer Winkel im rechtwinkligen Dreieck
Wir zeigen, dass der Kosinussatz im rechtwinkligen Dreieck auch mit den spitzen Winkeln gilt, deren Kosinus nicht null ist. Dafür stellen wir den soeben bewiesenen Satz des Pythagoras nach einem Kathetenquadrat um:
Am Beginn der rechten Seite addieren wir einmal $a^2$ und ziehen es am Ende wieder ab, sodass wir nichts von Bedeutung verändern. Die Gleichung sieht nur etwas länger aus:
Im Term $2a^2=2aa$ ersetzen wir ein $a$ gemäß Tabelle 4:
Damit haben wir den Kosinussatz auch für den spitzen Winkel $\beta$ hergeleitet. ∎
Herleitung des Kosinussatzes im stumpfwinkligen Dreieck
Zu guter Letzt stellen wir uns einem stumpfwinkligen Dreieck ABC. Die spitzen Winkel nennen wir $\alpha, \beta$ und den stumpfen Winkel $\gamma$. Die dem stumpfen Winkel gegenüberliegende, längste Seite $c$ ist wieder durch den Höhenfußpunkt $L_c$ in zwei Teile geteilt.
Die Fußpunkte $L_a$ und $L_b$ der Höhen zu den kurzen Seiten $a$ und $b$ liegen beim stumpfwinkligen Dreieck außerhalb des Dreiecks. Die Strecke, welche die Seite $a$ bis zu $L_a$ verlängert, ist mit $a^\prime$ bezeichnet. Die Gesamtlänge der Seite und ihrer Verlängerung heißt $a^{\prime\prime}=a+a^\prime$. Ebenso wird die Seite $b$ bis zum Höhenfußpunkt $L_b$ durch eine Strecke $b^\prime$ verlängert. Zusammen ergeben sie $b^{\prime\prime}=b+b^\prime$.
Wir können nun alle Seiten $a, b, c$ des stumpfwinkligen Dreiecks als Differenz oder Summe anderer Strecken darstellen.
| Seiten |
|---|
| $a=a^{\prime\prime}-a^\prime$ |
| $b=b^{\prime\prime}-b^\prime$ |
| $c=c_1+c_2$ |
An die Seiten des Dreiecks und ihre Verlängerungen sind Flächen angezeichnet. Ebenso wie wir eben die Seiten des Dreiecks als Differenzen oder Summe darstellten, können wir das nun mit den Quadraten an den Seiten des Dreiecks tun.
| Quadrate |
|---|
| $a^2=aa^{\prime\prime}-aa^\prime$ |
| $b^2=bb^{\prime\prime}-bb^\prime$ |
| $c^2=cc_1+cc_2$ |
Mit der nach der Ankathete umgestellten Definition des Kosinus finden wir in den mit Höhenfußpunkten gebildeten rechtwinkligen Dreiecken wieder eine Reihe von Formeln.
| Ankathete | in |
|---|---|
| $a^{\prime\prime}=c\cos\beta$ | $\triangle ABL_a$ |
| $b^{\prime\prime}=c\cos\alpha$ | $\triangle ABL_b$ |
| $c_1=b\cos\alpha$ | $\triangle CAL_c$ |
| $c_2=a\cos\beta$ | $\triangle BCL_c$ |
| $\begin{aligned}a^\prime&=b\cos(180^\circ-\gamma)\\a^\prime&=-b\cos\gamma\end{aligned}$ | $\triangle ACL_a$ |
| $\begin{aligned}b^\prime&=a\cos(180^\circ-\gamma)\\b^\prime&=-a\cos\gamma\end{aligned}$ | $\triangle CBL_b$ |
Die beiden zuletzt genannten Dreiecke in Tabelle 7 enthalten keinen der Winkel $\alpha, \beta, \gamma$, aber sie enthalten am Punkt C den Supplementwinkel zu $\gamma$, also $180^\circ-\gamma$. Die zweite für diese Dreiecke aufgeführte Formelvariante ergibt sich jeweils, wenn man in der ersten $\cos(180^\circ-\gamma)$ durch $-\cos\gamma$ ersetzt, wie es die Gleichung zu den Kosinus von Supplementwinkeln gestattet.
Nach diesen Vorbetrachtungen werden wir den Kosinussatz erst mit dem stumpfen Winkel, dann mit einem spitzen Winkel beweisen.
Stumpfer Winkel
Wir starten mit einer offensichtlich wahren Gleichung, denn ihre linke und rechte Seite sind identisch:
Auf der rechten Seite ersetzen wir die Quadrate, wie es in Tabelle 6 vorgesehen ist:
Darin ersetzen wir $a^\prime, a^{\prime\prime}, b^\prime, b^{\prime\prime}, c_1, c_2$ gemäß Tabelle 7, wobei wir für $a^\prime$ und $b^\prime$ auf die in der Tabelle zweitgenannten Formelvarianten zurückgreifen. Beachte beim Einsetzen: Minus mal Minus ergibt Plus. Das Resultat:
Wenn wir die Klammern auflösen, stellen wir fest, dass sich einige Terme zu null addieren. Übrig bleibt:
Addieren wir beiderseits der Gleichung $a^2$ und $b^2$, erhalten wir den Kosinussatz:
Spitzer Winkel im stumpfwinkligen Dreieck
Zum Schluss zeigen wir am Beispiel von $\alpha$, dass der Kosinussatz im stumpfwinkligen Dreieck auch für spitze Winkel gilt. Wir gehen dabei ganz ähnlich wie oben vor und starten mit einer fraglos wahren Gleichung:
Rechts ersetzen wir die Quadrate gemäß Tabelle 6:
Dann ersetzen wir $a^\prime, a^{\prime\prime}, b^\prime, b^{\prime\prime}, c_1, c_2$ gemäß Tabelle 7:
Wir lösen die Klammern auf, addieren die Terme und es bleibt nur:
Wir addieren beiderseits des Gleichheitszeichens $b^2$ und $c^2$ und erhalten:
Das ist der Kosinussatz für den spitzen Winkel $\alpha$. ∎
Fazit
Wir haben den Kosinussatz für spitze Winkel im spitzwinkligen, rechtwinkligen und stumpfwinkligen Dreieck hergleitet. Wir haben ebenfalls gezeigt, dass er für den rechten Winkel im rechtwinkligen und für den stumpfen Winkel im stumpfwinkligen Dreieck gilt. Der Kosinussatz gilt damit ausnahmslos für jeden Innenwinkel in jedem Dreieck der ebenen Geometrie.