Fünf aus Nenrots Herde

Nenrot muss kürzertreten. Um seine Knie zu schonen, hatte ihm Doktor Bonzola empfohlen, sich das Hüten mit einem Schäferhund zu teilen und Fußmärsche durch Radfahrten zu ersetzen.

Weil die Krankenkasse weder für Hund noch Mountainbike zahlt, wird Nenrot fünf seiner Wiederkäuer verkaufen. Welche, das soll das Los entscheiden – nur Nenrots Lieblingskuh Nana nicht.

Ohne Nana zählt Nenrots Herde zwanzig Büffel und ebenso viele Hausrinder: fünfzehn Kühe und fünf Stiere. All ihre Namen finden sich zum Ziehen auf Zettelchen in Nenrots Hut in seinem Schoß.

🐃 🐃 🐃 🐃 🐄 🐄 🐄 🐂
🐃 🐃 🐃 🐃 🐄 🐄 🐄 🐂
🐃 🐃 🐃 🐃 🐄 🐄 🐄 🐂
🐃 🐃 🐃 🐃 🐄 🐄 🐄 🐂
🐃 🐃 🐃 🐃 🐄 🐄 🐄 🐂

Taugst du zum Stochastiker oder Rinder-Lotterie-Orakel? Dann kannst du vielleicht diese Fragen beantworten:

Antworten findest du unter der Glaskugel.

🔮

Wie viele Losergebnisse sind möglich?

Wenn Nenrot den ersten Zettel zieht, wählt er zwischen 40 Tieren, beim zweiten zwischen 39, beim dritten zwischen 38, beim vierten zwischen 37 und beim fünften zwischen 36. Das gibt

40 ⋅ 39 ⋅ 38 ⋅ 37 ⋅ 36 = 78960960 Variationen.

Bei dieser Rechnung wird die Reihenfolge berücksichtigt. Das heißt, wenn Mongkut vor Romeo gezogen wird, ist das eine andere Variation, als wenn Romeo vor Mongkut gezogen wird.

Das sind zwei Reihenfolgen bei zwei Rindern. Eine drittes Tier kann vor, zwischen oder nach den anderen beiden gezogen werden: das verdreifacht die Anordnungen. Bei fünf Tieren sind es

1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 120 Permutationen.

Für Nenrots Verkauf ist die Reihenfolge unerheblich. Um Mehrfachzählungen zu vermeiden, teilen wir die Variationen durch die Zahl der Permutationen von fünf Rindern und erhalten

78960960/120 = 658008 Kombinationen.

Vorherzusagen, welche fünf Tiere aus einer Herde von 40 gelost werden, ist demnach genauso schwierig wie die Auswahl eines Rindes aus einer Herde von 658008 Tieren zu prognostizieren.

Wie lassen sich Tierarten kombinieren?

Schaut man nur auf die Tiergruppen, kann es bei jeder der fünf Ziehungen drei verschiedene Ergebnisse geben: Büffel, Hausrindkuh oder -stier. Dies ergibt bei Beachtung der Reihenfolge

3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 243 Variationen.

Doch die Reihenfolge spielt für Nenrots Verkauf keine Rolle. Leider lassen sich die Mehrfachzählungen hier nicht so leicht rausrechnen wie bei den Einzeltieren. Doch ein anderer Weg führt zum Ziel …

Man nehme in einer Tabelle die Zahl gezogener Büffel als Zeilen- und jene gezogener Hausrindkühe als Spaltenüberschriften. Die Zahl gezogener Hausrindstiere ergibt sich dann von selbst:

0 🐄1 🐄2 🐄3 🐄4 🐄5 🐄
0 🐃5 🐂4 🐂3 🐂2 🐂1 🐂0 🐂
1 🐃4 🐂3 🐂2 🐂1 🐂0 🐂
2 🐃3 🐂2 🐂1 🐂0 🐂
3 🐃2 🐂1 🐂0 🐂
4 🐃1 🐂0 🐂
5 🐃0 🐂

In der Tabelle kann man leicht die 21 Kombinationen zählen, um aus Büffeln sowie den Kühen und Stieren unter den Hausrindern fünf Tiere zusammenzustellen.

Übrigens: Wie sich die 243 Variationen auf die 21 Kombinationen verteilen, zeigt die folgende Tabelle. In den Tabellenzellen steht die Anzahl der Permutationen je Kombination.

Perm.0 🐄1 🐄2 🐄3 🐄4 🐄5 🐄
0 🐃15101051
1 🐃52030205
2 🐃10303010
3 🐃102010
4 🐃55
5 🐃1

Die Zahl der Stiere ist in dieser Tabelle nicht noch einmal notiert, aber muss für jede Kombination mitgedacht werden, um die Handvoll Wiederkäuer vollzumachen.

Beispiel: alle Permutationen von 🐃 🐃 🐃 🐄 🐂

Die folgende Liste zeigt alle Reihenfolgen, in denen drei Büffel sowie je eine Hausrindkuh und ein -stier gezogen werden können. Für den Verkauf macht die Reihenfolge aber keinen Unterschied.

  1. 🐃 🐃 🐃 🐄 🐂
  2. 🐃 🐃 🐄 🐃 🐂
  3. 🐃 🐄 🐃 🐃 🐂
  4. 🐄 🐃 🐃 🐃 🐂
  5. 🐃 🐃 🐃 🐂 🐄
  6. 🐃 🐃 🐄 🐂 🐃
  7. 🐃 🐄 🐃 🐂 🐃
  8. 🐄 🐃 🐃 🐂 🐃
  9. 🐃 🐃 🐂 🐃 🐄
  10. 🐃 🐃 🐂 🐄 🐃
  11. 🐃 🐄 🐂 🐃 🐃
  12. 🐄 🐃 🐂 🐃 🐃
  13. 🐃 🐂 🐃 🐃 🐄
  14. 🐃 🐂 🐃 🐄 🐃
  15. 🐃 🐂 🐄 🐃 🐃
  16. 🐄 🐂 🐃 🐃 🐃
  17. 🐂 🐃 🐃 🐃 🐄
  18. 🐂 🐃 🐃 🐄 🐃
  19. 🐂 🐃 🐄 🐃 🐃
  20. 🐂 🐄 🐃 🐃 🐃

Wie wahrscheinlich sind die Optionen?

Schaut man auf die Individuen, haben alle 658008 möglichen Losergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit 1658008. Anders sieht es aus, wenn man die Kombinationen der Tiergruppen betrachtet.

Das liegt einerseits an den unterschiedlich großen Tiergruppen, andererseits an den unterschiedlich vielen Variationen, die zum gleichen Verkaufsergebnis führen.

Die folgende Tabelle zeigt die Wahrscheinlichkeiten aller Kombinationen in 658008stel. Die Tabelle darunter gibt dieselben Wahrscheinlichkeiten in Hundertstel (Prozent) an.

658008stel0 🐄1 🐄2 🐄3 🐄4 🐄5 🐄
0 🐃1751050455068253003
1 🐃1003000210004550027300
2 🐃1900285009975086450
3 🐃1140085500119700
4 🐃2422572675
5 🐃15504

=

100stel0 🐄1 🐄2 🐄3 🐄4 🐄5 🐄
0 🐃0.00020.01140.15960.69151.03720.4564
1 🐃0.01520.45593.19156.91484.1489
2 🐃0.28884.331315.159413.1381
3 🐃1.732512.993818.1913
4 🐃3.681611.0447
5 🐃2.3562

Beispielrechnung für 🐃 🐃 🐃 🐄 🐂

Beispielhaft soll die Wahrscheinlichkeit berechnet werden, dass drei Büffel und von den Hausrindern je eine Kuh und ein Stier gewählt werden – zunächst in genau dieser Reihenfolge.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass all dies eintritt, ist das Produkt der einzelnen Wahrscheinlichkeiten:

20/40 ⋅ 19/39 ⋅ 18/38 ⋅ 15/37 ⋅ 5/36 = 513000/78960960 = 4275/658008

Um die Wahrscheinlichkeit für diese Kombination von Tieren unabhängig von ihrer Reihenfolge zu ermitteln, multiplizieren wir das mit der Zahl der – in diesem Fall 20 – Permutationen:

4275/658008 ⋅ 20 = 85500/658008 ≈ 12.9938 %

Nenrots Tiere nach Planerfüllung

Wenn Nenrots Plan umgesetzt ist, wird er mindestens 37 Tiere haben: seine Lieblingskuh Nana, 35 weitere Rinder und einen Schäferhund.