Verbunden: Eckpunkte eines Rechtecks

Kürzlich regte ich als Denksport an, die Eckpunkte eines Quadrats auf möglichst kurzem Weg zu verbinden – in einem, zwei oder beliebig vielen Zügen. Dass die Ergebnisse nicht in jedem Fall auf andere Rechtecke übertragbar sind, möchte ich am Beispiel eines Rechtecks zeigen, dessen lange Seiten doppelt so lang wie die kurzen Seiten sind:

In einem Zug kann man alle vier Eckpunkte am besten entlang dreier Kanten des Rechtecks verbinden. Dabei zeichnet man natürlich beide kurze und nur eine lange Kante nach:

Wenn die kurzen Seiten je 1 Längeneinheit lang sind und die langen Seiten jeweils 2, dann kommt diese U-förmige Verbindung auf die Länge 4.

Im Fall der Eckpunkte eines Quadrats konnte man mit zwei Zügen eine kürzere Verbindung in X-Form entlang der Diagonalen zeichnen. Was bringt es, wenn man im langgestreckten Viereck das Gleiche versucht?

Mit dem Satz des Pythagoras kommt man auf eine Länge von $2\sqrt{1^2+2^2}$ beziehungsweise $2\sqrt{5}$, was rund 4.472 und damit merklich mehr als bei der U-förmigen Lösung in einem Zug ist. Es gibt allerdings auch hier Verbindungen aller Eckpunkte in zwei Zügen, die einen echten Vorteil bieten:

Diese Verbindung hat eine Länge von circa 3.909, genau $1+\sqrt{5+2\sqrt{3}}$. Ich vermute, dass dies das Minimum für zwei Züge in jenem Rechteck ist. An der Stelle, wo sich die Verbindung verzweigt, liegen 120°-Winkel zwischen den Ästen. 120°-Winkel finden sich auch in der minimalen Verbindung mit drei Zügen:

Genau $2+\sqrt{3}$ oder rund 3.732 misst diese Verbindung. Den Stift öfter abzusetzen und mehr Züge zu machen, bringt keine weitere Einsparung.