Nachtrag
zu: Eckkoordinaten eines Dreiecks berechnen

Im Artikel Eckkoordinaten eines Dreiecks berechnen setzte ich voraus, dass der Winkel α am Punkt A, den ich in den Ursprung des Koordinatensystems gelegt hatte, spitz sei. Das muss allerdings nicht der Fall sein. Er kann auch rechtwinklig oder stumpf sein. Die Berechnungen der Koordinaten des Punktes C im Artikel stimmen auch dann, aber es mag nicht offensichtlich sein, wieso. Betrachten wir zuerst den Fall eines stumpfen Winkels α:

ein stumpfer Winkel ~α~ am Punkt A im Ursprung mit einem Schenkel auf der positiven ~x~-Achse und dem Punkt C am Ende des anderen Schenkels oberhalb der x-Achse

In der Abbildung gelten im rechtwinkligen Dreieck ACL die beiden Gleichungen

$$\begin{aligned} \sin\alpha^\prime&=\frac{h}{b}\\ \cos\alpha^\prime&=\frac{k}{b} \end{aligned}$$

Da ein gestreckter Winkel 180° beziehungsweise im Bogenmaß π rad misst, ist $\alpha^\prime=\pi-\alpha$. Für die Sinus- und Kosinusfunktion gelten immer die Symmetrien $\sin\theta=\sin(\pi-\theta)$ und $\cos\theta=-\cos(\pi-\theta)$. Nutzt man diese Umstände, werden aus den obigen Gleichungen

$$\begin{aligned} \sin\alpha&=\frac{h}{b}\\ -\cos\alpha&=\frac{k}{b} \end{aligned}$$

Da die Koordinaten des Punktes C bei $x_C=-k$ und $y_C=h$ liegen, werden daraus wie im Artikel verwendet nun

$$\begin{aligned} \sin\alpha&=\frac{y_C}{b}\\ \cos\alpha&=\frac{x_C}{b} \end{aligned}$$

Dass diese Gleichungen auch im Fall eines rechten Winkels α gelten, erkennt man schnell, wenn man bedenkt, dass $\cos\frac{\pi}{2}=0$ und $\sin\frac{\pi}{2}=1$ sind. Es gelten für die Koordinaten des Punktes C dann $x_C=0$ und $y_C=b$.