Eckkoordinaten eines Dreiecks berechnen

Warum?

Wenn ich über Geometrie schreibe, schreibe ich oft über Dreiecke. Dreiecke sind grundlegende Figuren, denn weniger Ecken kann eine flächenhafte Figur mit geraden Kanten nicht haben. Ein „Zweieck“ hätte keine Fläche. Andererseits kann man aus Dreiecken alle möglichen n-Ecke zusammensetzen.

Wenn ich über Geometrie schreibe, illustriere ich meine Ausführungen gern mit Bildern. Ich zeichne also oft Dreiecke. Meist zeichne ich nicht mit Stift und Lineal, sondern indem ich eine SVG-Datei auf meiner Tastatur tippe. SVG steht für skalierbare Vektorgrafik. In einer SVG-Datei beschreibt man, wie das Bild aussehen soll. Im Texteditor sieht das zum Beispiel so aus:

<?xml version='1.0' ?>
<svg width='480px' height='240px' viewBox='-1 -25 52 26' xmlns='http://www.w3.org/2000/svg'>
<polygon points='0,0 50,0 18,-24' />
</svg>

Von Interesse ist hier nur die dritte Zeile, <polygon points='0,0 50,0 32,-24' />. Sie besagt, dass ein Polygon gezeichnet werden soll. Polygon kommt aus dem Griechischen und bedeutet Vieleck. Mit points werden die Eckpunkte des Polygons angegeben, immer ein Koordinatenpaar aus x- und y-Koordinate. In diesem Fall sind es drei Koordinatenpaare,[1] das Ergebnis ist folglich ein Dreieck:

Abbildung 1: Dreiecksfläche

Wenn ich über Dreiecke schreibe, sind allerdings selten Koordinaten der Ecken ein Thema. Meist spielen die Längen der Seiten des Dreiecks oder die Größe der Winkel im Dreieck die entscheidende Rolle. Wenn Seitenlängen oder Winkel daher bekannt sind, muss ich zum Tippen eines passenden SVG-Bildes erst geeignete Eckkoordinaten dazu ermitteln.

Namen

Nennen wir die Seiten a, b, c und die ihnen gegenüberliegenden Winkel α, β, γ an den Eckpunkten A, B, C. Ich halte mich gern und auf dieser Seite immer an die Konvention, gegen den Uhrzeigersinn zu beschriften, um die Wahrscheinlichkeit von Missverständnissen gering zu halten. Außerdem bezeichne ich hier mit L den Fußpunkt, wenn man vom Punkt C ein Lot auf die Seite c fällt.

Dreieck ABC mit Punkt A im Koordinatenursprung und B sowie L ebenfalls auf der x-Achse, L als Höhenfußpunkt
Abbildung 2: Ein Dreieck im kartesischen Koordinatensystem

SSS: Falls alle Seiten gegeben sind

Der Einfachheit halber lege ich zunächst den Punkt A auf den Ursprung des Koordinatensystems:

$$\begin{aligned} x_A&=0\\ y_A&=0 \end{aligned}$$

B lege ich ebenfalls auf die x-Achse. Damit die Kante zwischen A und B die gegebene Länge c aufweist, muss die x-Koordinate von B dann entweder c oder −c sein. Ich wähle Ersteres.

$$\begin{aligned} x_B&=c\\ y_B&=0 \end{aligned}$$

Die noch fehlenden Koordinaten des Punktes C sind dann:

$$\begin{aligned} x_C&=\frac{b^2+c^2-a^2}{2c}\\ y_C&=\sqrt{b^2-{x_C}^2} \end{aligned}$$

Fertig. Wieso sind das die Koordinaten von C? Zunächst einmal besagt der Kosinussatz für jedes Dreieck:

$$\cos\alpha=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$$

Das Dreieck ALC ist außerdem immer rechtwinklig. Das ergibt sich aus der Wahl von L als Lotfußpunkt. Im rechtwinkligen Dreieck gleicht der Kosinus eines spitzen Winkels[3] dem Verhältnis der Ankathete (der dem Winkel benachbarten kurzen Seite) zur Hypotenuse (der langen Seite), in diesem Fall:

$$\cos\alpha=\frac{x_C}{b}$$

Man kann die rechten Seiten der letzten beiden Gleichungen gleichsetzen, denn ihre linken Seiten sind ja identisch. Multipliziert man dann noch auf beiden Seiten mit b, erhält man die Formel für die x-Koordinate von C. Im Dreieck ALC gilt außerdem wie in jedem rechtwinkligen Dreieck der Satz des Pythagoras. Aus ihm ergibt sich die Formel für die y-Koordinate von C.

SWS: Wenn 2 Seiten und der Winkel dazwischen bekannt sind

Nehmen wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit an,[2] dass der Winkel α und die ihn einschließenden Seiten b und c gegeben sind. Wie in Abbildung 2 illustriert, lege ich auch in diesem Fall A einfach auf den Koordinatenursprung:

$$\begin{aligned} x_A&=0\\ y_A&=0 \end{aligned}$$

B lege ich ebenfalls auf die x-Achse. Damit die Strecke zwischen A und B die gegebene Länge c hat, muss die x-Koordinate von B entweder c oder −c sein. Ich wähle Ersteres.

$$\begin{aligned} x_B&=c\\ y_B&=0 \end{aligned}$$

Dann kann man die noch fehlenden Koordinaten des Punktes C berechnen:

$$\begin{aligned} x_C=b\cos\alpha\\ y_C=b\sin\alpha \end{aligned}$$

Fertig. Warum das stimmt, ist nachvollziehbar, wenn man sich vor Augen führt, was aus der Lage des Punktes A im Koordinatenursprung und der Seite c auf der x-Achse folgt:

Nun muss man sich nur daran erinnern, dass im rechtwinkligen Dreieck der Kosinus eines spitzen Winkels[3] der Länge der Ankathete geteilt durch die Länge der Hypotenuse entspricht und der Sinus des Winkels der Länge der Gegenkathete durch die der Hypotenuse.

SWW/WSW/WWS: Falls eine Seite und zwei Winkel gegeben sind

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei angenommen,[2] dass die Seite c bekannt ist. Ferner kann man dank der immer gleichen Innenwinkelsumme im Dreieck von 180° bzw. π rad den gegebenenfalls noch fehlenden Winkel ins Arsenal bekannter Daten holen:

$$\begin{aligned} \alpha&=\pi-\beta-\gamma\\ \beta&=\pi-\alpha-\gamma\\ \gamma&=\pi-\alpha-\beta \end{aligned}$$

Spätestens jetzt kann man die Länge der Seite b mit dem Sinussatz ausrechnen:

$$b=c\,\frac{\sin\beta}{\sin\gamma}$$

Mit diesen Informationen kann man wie im Fall SWS fortfahren.

WW/WWW: Wenn nur Winkel bekannt sind

Dieser Fall kann eintreten, wenn bei der Diskussion eines Themas die Seitenlängen des Dreiecks egal sind und nur seine Form interessiert. Um das Dreieck zu zeichnen, brauchen wir aber Längen. Die Lösung ist einfach: Lege die Länge einer Seite – sagen wir c – nach Belieben fest und siehe oben, wie es dann weitergeht.

SSW/WSS: Zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel

Zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel definieren ein Dreieck nur dann eindeutig, wenn eine der folgenden zwei Bedingungen erfüllt ist. Nehmen wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit aber zunächst an,[2] dass die Seiten b und c gegeben sind.

Wenn die dem bekannten Winkel gegenüberliegende Seite mindestens so lang wie die benachbarte gegebene Seite ist, können wir den noch fehlenden der Winkel β und γ ausrechnen:

$$\beta=\arcsin\left(\frac{b\sin\gamma}{c}\right)$$

oder

$$\gamma=\arcsin\left(\frac{c\sin\beta}{b}\right)$$

Das ist eine Anwendung des Sinussatzes. Damit können wir wie im Fall SWW fortfahren.

Wenn hingegen der Sinus des gegebenen Winkels dem Bruch aus der kurzen geteilt durch die lange gegebene Seite gleicht, ist der eben noch unbekannte der beiden Winkel β und γ ein rechter Winkel. Wir können mit dieser Information wie im Fall SWW weitermachen oder mit dem Satz des Pythagoras auch a ausrechnen:

$$a=\sqrt{\left|c^2-b^2\right|}$$

um dann mit dem Fall SSS die Aufgabe zu lösen.


[1]
Im Matheunterricht wird in der Regel das kartesische Koordinatensystem so angelegt, dass auf der Schultafel x von links nach rechts größer wird und y von unten nach oben. In SVG wächst x ebenfalls von links nach rechts, y aber auf dem Bildschirm von oben nach unten. Daher hat in Abbildung 1 die obere Ecke des Dreiecks die kleinste y-Koordinate – in diesem Fall einen negativen Wert.
[2]
Ist die Annahme nicht erfüllt, können wir Eckpunkte, Seiten und Winkel des gegebenen Dreiecks leicht so neu beschriften, dass die Annahme zutrifft, ohne dass wir dadurch das Dreieck geändert hätten. Die errechneten Koordinaten können wir am Ende wieder der ursprünglichen Beschriftung zuordnen.
[3]
Dass die Ergebnisse ebenfalls stimmen, wenn α kein spitzer Winkel ist, zeige ich in einem Nachtrag.