Seitenquadrate am spitzwinkligen Dreieck

Man teile die Quadrate an den Seiten eines spitzwinkligen Dreiecks entlang der verlängerten Höhen des Dreiecks. Diejenigen Teilflächen, die den gleichen Eckpunkt des Dreiecks berühren, sind gleich groß.

spitzwinkliges Dreieck mit entlang der verlängerten Höhen geteilten Seitenquadraten — **Abbildung 1**: Rechtecke gleicher Farbe sind gleich groß.

Mit den Bezeichnungen aus Abbildung 1 lässt sich dies in Gleichungen so ausdrücken:

$$\begin{aligned} bb_A&=cc_A\\ cc_B&=aa_B\\ aa_C&=bb_C \end{aligned}$$

Der Beweis ist unkompliziert: In den rechtwinkligen Dreiecken, welche aus je einer Höhe und Seiten des spitzwinkligen Dreiecks gebildet werden, gelten nach der trigonometrischen Regel Kosinus des Winkels ist gleich Ankathete geteilt durch Hypotenuse, beziehungsweise umgestellt Ankathete ist gleich Hypotenuse mal Kosinus des Winkels, folgende Beziehungen:

$$\begin{aligned} b_A&=c\cos\alpha\\ c_A&=b\cos\alpha\\ c_B&=a\cos\beta\\ a_B&=c\cos\beta\\ a_C&=b\cos\gamma\\ b_C&=a\cos\gamma \end{aligned}$$

Ersetzt man in den obigen Gleichungen die Teilseiten entsprechend den unteren Gleichungen, ist der Beweis erbracht. So wird aus $bb_A=cc_A$ beispielsweise $bc\cos\alpha=cb\cos\alpha$.

Muss die Teilung entlang der verlängerten Höhen erfolgen?

Wir haben gesehen, dass eine Teilung der Seitenquadrate eines spitzwinkligen Dreiecks entlang der verlängerten Höhen stets Teilflächen produziert, von denen jeweils jene zwei, die denselben Eckpunkt des Dreiecks berühren, gleich groß sind. Aber muss man entlang der Höhen teilen, um jene Eigenschaft zu erhalten, oder kann man auch anders teilen?

spitzwinkliges Dreieck mit wild geteilten Seitenquadraten — **Abbildung 2**: Flächen gleicher Farbe sind gleich groß. Zum Vergleich sind die Grenzen aus Abbildung 1 gestrichelt eingezeichnet.

Man kann auch anders teilen und trotzdem gleichgroße Teilflächen bekommen. In Abbildung 2 haben die farbigen Figuren andere Grenzen als in Abbildung 1, dennoch sind ihre Flächeninhalte dieselben und gleichfarbige Figuren damit weiterhin gleich groß. Was den Figuren weggenommen wurde, wurde ihnen nämlich an anderer Stelle wieder hinzugefügt.

Wir führen die Schere anders, orientieren uns aber noch immer an den Höhen des Dreiecks, indem wir darauf achten, die Größen der Teilflächen wie bei Teilung entlang der verlängerten Höhen zu belassen. Muss das so sein? Oder lassen sich zum Beispiel beide blauen Teilflächen synchron verkleinern und andere dafür vergrößern, sodass weiterhin gleichfarbige Teilflächen gleich groß sind?

Beweisskizze — **Abbildung 3**: Versucht man die Größen der Teilflächen zu ändern, gerät man in einen Widerspruch.

Wir versuchen es mit anderen Flächengrößen:

In Schritt ① verkleinern wir eine blaue Teilfläche gegenüber jener in Abbildung 1.
Damit gleichfarbige Teilflächen – also Teilflächen, die denselben Eckpunkt des Dreiecks berühren – weiterhin gleich groß sind, müssen wir in Schritt ② auch die andere blaue Teilfläche verkleinern, wodurch sich die benachbarte rote Teilfläche vergrößert.
Damit gleichfarbige Teilflächen gleich groß sind, müssen wir in Schritt ③ auch die andere rote Teilfläche vergrößern, wodurch sich die benachbarte grüne Teilfläche verkleinert.
Damit gleichfarbige Teilflächen gleich groß sind, müssen wir in Schritt ④ auch die andere grüne Teilfläche verkleinern, wodurch sich die benachbarte blaue Teilfläche vergrößert. Das aber steht im Widerspruch zu Schritt ①.

Das funktioniert nicht. Man muss also die Flächengrößen wie bei der Teilung entlang der Höhen belassen.