Der schmale Grat

In diesem Dokument werden für zwei Folgenscharen mit den Parametern p und q die Gleichheit ihrer rekursiven und expliziten Bildungsgesetze bewiesen. Daraufhin werden Ihre Grenzwerte bestimmt. Dieselben Folgenscharen wurden in vorangegangen Artikeln1 bei negativer und positiver Diskriminante $\Delta$ einer zugehörigen quadratischen Gleichung betrachtet. Dieser Artikel beschäftigt sich mit dem schmalen Grat dazwischen, dem Fall $\Delta=0$.

Voraussetzungen

Vorausgesetzt werden $p,q\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ und $p^2=4q$ sowie $n\in\mathbb{N}$. $q>0$ folgt. Die rekursiven Definitionen sind

$$\begin{aligned} \alpha(n) &= \begin{cases} 0 & \mathrm{falls\quad} n=1 \\ -\frac{q}{p+\alpha(n-1)} & \mathrm{falls\quad} n>1 \end{cases} \\ \beta(n) &= \begin{cases} -p & \mathrm{falls\quad} n=1 \\ -p-\frac{q}{\beta(n-1)} & \mathrm{falls\quad} n>1 \end{cases} \end{aligned}$$

Behauptungen

Für alle natürlichen n sind

$$\begin{aligned} \alpha(n) &= -\frac{p}{2}\cdot\frac{n-1}{n} = -\frac{n-1}{n}\sqrt{q} \\ \beta(n) &= -\frac{p}{2}\cdot\frac{n+1}{n} = -\frac{n+1}{n}\sqrt{q} \end{aligned}$$

Beweise

Die Gleichheit der expliziten Bildungsgesetze ergibt sich aus der Voraussetzung $p^2=4q$. Die Gleichheit von expliziten und rekursiven Bildungsgesetzen wird im Folgenden gezeigt.

Beweis für die Folge α

Zuerst wird bewiesen, dass die Behauptung für das konkrete $n=1$ gilt:

$$\begin{aligned} -\frac{p}{2}\cdot\frac{n-1}{n} &\stackrel{n=1}{=} -\frac{p}{2}\cdot\frac{1-1}{1} \\ &= 0 \\ &= \alpha(1) \end{aligned}$$

So weit, so gut. Nun nehmen wir an, dass die Behauptung für ein konkretes n bewiesen wurde, und zeigen, dass sie dann auch für $n+1$ gilt:

$$\begin{aligned} \alpha(n+1) &= -\frac{q}{p+\alpha(n)} \\ &= -\frac{\left(\frac{p^2}{4}\right)}{p+\left(-\frac{p}{2}\cdot\frac{n-1}{n}\right)} \\ &= -\frac{\frac{p^2}{4}}{\frac{2np-np+p}{2n}} \\ &= -\frac{p^2}{4}\cdot\frac{2n}{p(n+1)} \\ &= -\frac{p}{2}\cdot\frac{n}{n+1} \end{aligned}$$

Folglich gilt die Behauptung für alle n.

Beweis für die Folge β

Zuerst wird bewiesen, dass die Behauptung für das konkrete $n=1$ gilt:

$$\begin{aligned} -\frac{p}{2}\cdot\frac{n+1}{n} &\stackrel{n=1}{=} -\frac{p}{2}\cdot\frac{1+1}{1} \\ &= -p \\ &= \beta(1) \end{aligned}$$

So weit, so gut. Nun nehmen wir an, dass die Behauptung für ein konkretes n bewiesen wurde, und zeigen, dass sie dann auch für $n+1$ gilt:

$$\begin{aligned} \beta(n+1) &= -p-\frac{q}{\beta(n)} \\ &= -p-\frac{\left(\frac{p^2}{4}\right)}{\left(-\frac{p}{2}\cdot\frac{n+1}{n}\right)} \\ &= -p+\frac{\left(\frac{p}{2}\right)}{\left(\frac{n+1}{n}\right)} \\ &= -p+\frac{p}{2}\cdot\frac{n}{n+1} \\ &= -\frac{p}{2}\left(2-\frac{n}{n+1}\right) \\ &= -\frac{p}{2}\cdot\frac{2(n+1)-n}{n+1} \\ &= -\frac{p}{2}\cdot\frac{n+2}{n+1} \end{aligned}$$

Folglich gilt die Behauptung für alle n.

Konvergenz und Grenzwert

Beide Folgen konvergieren gegen die Lösung $-\frac{p}{2}$ der quadratischen Gleichung $0=x^2+px+q$, wenn n gegen unendlich läuft.

  1. Betrachtet wurden Bildungsgesetze und Grenzwerte zweier Folgenscharen α und β unter der Bedingung $\Delta>0$, das heißt bei positiver Diskriminante, und Divergenz bei negativer Diskriminante $\Delta<0$.