Quadratwurzeln approximieren

Mit Hilfe der im November 2009 veröffentlichten Beweise zu den rekursiv gebrochenen Folgen lässt sich eine Möglichkeit zur Approximation1 von Quadratwurzeln herleiten.

Behauptung

Für alle reellen $z>0$ gilt für alle reellen $k>0$:

$$\sqrt{z} = k+\dfrac{z-k^2}{2k+\dfrac{z-k^2}{2k+\dfrac{z-k^2}{2k+\dfrac{z-k^2}{2k+\ddots}}}}$$

Beweis

Für $k^2=z$ nimmt der Bruch den trivialen Wert 0 an und es bleibt k als Lösung der Wurzel von z übrig. Im Folgenden wird der Fall $k^2\neq z$ betrachtet.

Nimm die Gleichung (1)

$$\begin{aligned} 0 &= 0 \\ \Leftrightarrow\quad 0 &= k^2+2k\sqrt{z}+z-2k^2-2k\sqrt{z}+k^2-z \\ \Leftrightarrow\quad 0 &= \left(k+\sqrt{z}\right)^2-2k\left(k+\sqrt{z}\right)+k^2-z \end{aligned}$$

und ersetze darin

$$\begin{aligned} x &:= k+\sqrt{z} \\ p &:= -2k \\ q &:= k^2-z \end{aligned}$$

um folgende Gleichung (2) zu erhalten

$$0=x^2+px+q$$

Unter den mit den vorgenommenen Ersetzungen erfüllten Voraussetzungen $pq\neq 0$ und $p^2>4q$ sowie $|a|<|b|$, wobei a und b Lösungen der Gleichung (2) sind:

$$\begin{aligned} a &= -\frac{p}{2}-\sqrt{\frac{p^2}{4}-q} \\ b &= -\frac{p}{2}+\sqrt{\frac{p^2}{4}-q} \end{aligned}$$

gilt gemäß dem Artikel „Grenzwerte zweier Folgen“:

$$\begin{aligned} \beta(n) &= \begin{cases} -p & \mathrm{falls\quad} n=1 \\ -p-\frac{q}{\beta(n-1)} & \mathrm{falls\quad} n>1 \\ \end{cases} \\ \lim_{n\rightarrow\infty}\beta(n) &= b \end{aligned}$$

Dann gilt auch mit den oben vorgenommenen Ersetzungen

$$\begin{aligned} \beta(n) &= \begin{cases} 2k & \mathrm{falls\quad} n=1 \\ 2k+\frac{z-k^2}{\beta(n-1)} & \mathrm{falls\quad} n>1 \\ \end{cases} \\ \lim_{n\rightarrow\infty}\beta(n) &= k+\sqrt{z} \end{aligned}$$

oder anders ausgedrückt

$$\sqrt{z} = k+\dfrac{z-k^2}{2k+\dfrac{z-k^2}{2k+\dfrac{z-k^2}{2k+\dfrac{z-k^2}{2k+\ddots}}}}$$

Schon fertig. :-)

Anmerkung

Um mit dieser Formel die Quadratwurzel einer Zahl z anzunähern, kann man der Einfachheit halber $k:=1$ setzen, dann gilt $k=k^2$. Für eine rasche Konvergenz empfiehlt sich allerdings, mit $z-k^2$ der 1 möglichst nahe zu kommen. Dafür kann für $k^2$ die z am nächsten liegende bekannte Quadratzahl gewählt werden. Beispielsweise wäre zur Approximation der Quadratwurzel von 122 die Wahl $k:=11$, also $k^2=121$, optimal.

  1. Approximieren bezeichnet das Annähern.
    Ein anderes Fachwort in diesem Zusammenhang ist „Radizieren“ fürs Wurzelziehen. Klingt sehr nach Radieschen, oder? Das ist kein Zufall – die Wurzel beider Worte liegt im lateinischen Wort radix: Wurzel.

Die präsentierte Formel ist als „Formel von Bombelli“ bekannt, siehe Splitter vom 19. Januar.