Herleitung der p-q-Formel
Die Normalform quadratischer Gleichungen sieht wiefolgt aus:
Darin stehen $p$ und $q$ für beliebige bekannte Zahlen und $x$ für eine Unbekannte. Quadratisch
nennt man die Gleichung, weil der größte Exponent der Unbekannten zwei ist, die Unbekannte also quadriert wird. Man kann jede quadratische Gleichung mit einer Unbekannten durch Addition und Multiplikation geeigneter Terme in diese Normalform verwandeln.
Fragt man nach den Lösungen einer quadratischen Gleichung, dann sind Zahlen gesucht, welche für die Unbekannte $x$ eingesetzt die Gleichung erfüllen, also die Gleichung zu einer wahren Aussage machen. Zur Lösung von quadratischen Gleichungen in Normalform wird oft die sogenannte p-q-Formel gelehrt:
Das Plus-Minus-Zeichen ± deutet darauf hin, dass es im Allgemeinen zwei Lösungen gibt: eine Lösung mit einem Plus an seiner Stelle und eine Lösung mit einem Minus an seiner Stelle:
Falls der Ausdruck unter der Quadratwurzel negativ ist, gibt es zwar keine reelle Lösung. Es gibt aber zwei Lösungen aus der Menge der komplexen Zahlen. Falls der Ausdruck unter der Quadratwurzel null ist, ist ausnahmsweise $x_1=x_2$. Diese Lösung zählt man doppelt, um allgemein sagen zu können: Eine quadratische Gleichung mit einer Unbekannten hat immer zwei Lösungen.
Auf dieser Seite zeige ich einen Beweis der p-q-Formel in Gestalt einer Herleitung aus der Normalform.
Erste binomische Formel
Bevor wir zum Beweis der p-q-Formel kommen, soll aber die erste binomische Formel bewiesen werden. Wir werden sie später als Hilfssatz nutzen. Einen Hilfssatz nennt man auch Lemma
.
Lemma:
Beweis … Einen Ausdruck zu quadrieren heißt ihn mit sich selbst zu multiplizieren. So ist
Auf der rechten Seite dieser Gleichung lösen wir die zweite Klammer gemäß dem Distributivgesetz $x\cdot(y+z) = x\cdot y+x\cdot z$ auf:
Die Multiplikation reeller wie auch komplexer Zahlen ist kommutativ. Das heißt, man kann Faktoren vertauschen, ohne etwas am Ergebnis zu ändern: $u\cdot v=v\cdot u$. Somit kann man das Distributivgesetz genauso gut als $(y+z)\cdot x = y\cdot x+z\cdot x$ schreiben. Genau dieser Form entsprechend lösen wir nun die auf der rechten Seite verbliebenen Klammern auf:
Wenn wir die rechte Seite mit nochmaligem Rückgriff aufs Kommutativgesetz zusammenfassen, bleibt
und genau das war zu zeigen. ∎
Herleitung der p-q-Formel
Wir starten mit der Normalform quadratischer Gleichungen
und ziehen auf beiden Seiten der Gleichung $q$ ab, sodass:
Nun addieren wir beiderseits des Gleichheitszeichen $\left(\frac{p}{2}\right)^2$. Warum gerade das? Das wird im nächsten Schritt klar werden. Erst einmal erhalten wir:
Die Addition von eben nennt man auch quadratische Ergänzung
. Dank ihr können wir nun auf der linken Seite unser Lemma anwenden, die erste binomische Formel, sodass die ganze linke Seite sich als quadrierter Klammerausdruck darstellt:
Nun lösen wir nach dem Ausdruck in der Klammer auf der linken Seite auf, indem wir die Quadratwurzeln ziehen.✻
Wenn wir zu guter Letzt noch $\frac{p}{2}$ beiderseits des Gleichheitszeichens abziehen, erhalten wir die p-q-Formel,
und eben diese war herzuleiten. ∎
Anmerkung: allgemeine Form der quadratischen Gleichung
In allgemeinerer Form wird eine quadratische Gleichung auch als
mit $a_2\neq 0$ oder
mit $a\neq 0$ dargestellt und dazu die sogenannte Mitternachtsformel zur Lösung gelehrt. Die Mitternachtsformel lässt sich analog zur p-q-Formel herleiten. Man kann eine solche quadratische Gleichung aber auch rasch in die Normalform bringen, indem man die Gleichung durch den Leitkoeffizienten vor $x^2$ teilt. Dann wird aus der eben genannten Gleichung
und man kann zur Lösung die p-q-Formel mit $p=\frac{b}{a}$ und $q=\frac{c}{a}$ anwenden.
✻ Dabei wird das Plus-Minus-Zeichen in die Gleichung eingeführt, denn es gibt im Allgemeinen zwei zweite Wurzeln. Sucht man beispielsweise nach Lösungen $y$ für die Gleichung $y^2=16$, so ist die Antwort $y=\pm\sqrt{16}=\pm 4$, weil sowohl $4$ als auch $-4$ die Gleichung erfüllen: $(4)^2=16$ und $(-4)^2=16$.