Summe zweier Kotangens im Dreieck

Im Dreieck gleicht die Summe der Kotangens zweier Innenwinkel dem Längenverhältnis der eingeschlossenen Seite zur Höhe auf ihr. In Formeln lässt sich dieser Satz mit den Bezeichnungen aus Abbildung 0 so ausdrücken:

$$\cot\alpha+\cot\beta=\frac{c}{h_C}$$

$$\cot\alpha+\cot\gamma=\frac{b}{h_B}$$

$$\cot\beta+\cot\gamma=\frac{a}{h_A}$$

**Abbildung 0**: Im Dreieck $ABC$ stehen die Höhen $h_A$, $h_B$, $h_C$ auf den Seiten $a$, $b$ und $c$.

Hier eine Beweisskizze beispielhaft für die erste Formel …

Fall 1: zwei spitze Winkel

Schauen wir zuerst auf den Fall zweier spitzer Winkel – ohne Beschränkung der Allgemeinheit $\alpha$ und $\beta$.

**Abbildung 1**: Die Seite $c$ eines Dreiecks mit spitzen Winkeln $\alpha$ und $\beta$ wird durch den Höhenfußpunkt $L$ in zwei Teilstrecken $c_A$ und $c_B$ geteilt.

Der Kotangens eines spitzen Winkels entspricht im rechtwinkligen Dreieck dem Verhältnis der beiden kürzeren Seiten zueinander, wobei die am Winkel liegende kurze Seite durch die dem Winkel gegenüberliegende Seite geteilt wird.

Zwei rechtwinklige Teildreiecke erhalten wir, wenn wir ein Dreieck entlang der Höhe auf der längsten Seite spalten, denn die Höhe steht per Definition im rechten Winkel auf der Dreiecksseite. In diesen Teildreiecken sind mit den Bezeichnungen aus Abbildung 1 also:

$$\begin{aligned} \cot\alpha&=\frac{c_A}{h_C}&\cot\beta&=\frac{c_B}{h_C} \end{aligned}$$

Addiert man einerseits die linken und andererseits die rechten Seiten jener Gleichungen, erhält man eine neue Gleichung:

$$\cot\alpha+\cot\beta=\frac{c_A}{h_C}+\frac{c_B}{h_C}$$

Die Brüche auf der rechten Seiten haben bereits einen gemeinsamen Nenner. Die Zähler können daher direkt addiert werden. Die beiden Teilstrecken $c_A$ und $c_B$ vereinen sich dadurch zur Seite $c$.

$$\cot\alpha+\cot\beta=\frac{c}{h_C}$$

Fall 2: spitzer und rechter Winkel

Nehmen wir an, dass $\beta$ ein rechter Winkel ist, wie es in Abbildung 2 dargestellt ist:

**Abbildung 2**: Bei rechtem Winkel $\beta$ ist die Höhe auf der Seite $c$ identisch mit der Seite $a$.

Dann gilt für den Kotangens, Ankathete durch Gegenkathete:

$$\cot\alpha=\frac{c}{h_C}$$

Da der Kotangens eines rechten Winkels immer 0 ist und 0 zu addieren nichts an der Gleichung ändert, können wir auch hier $\cot\beta$ ergänzen:

$$\cot\alpha+\cot\beta=\frac{c}{h_C}$$

Fall 3: spitzer und stumpfer Winkel

Zu guter Letzt betrachten wir den Fall eines stumpfen Winkels, ohne Beschränkung der Allgemeinheit $\beta$:

**Abbildung 3**: Bei stumpfem Winkel $\beta$ liegt die Höhe $h_C$ mit dem Höhenfußpunkt $L$ außerhalb des Dreiecks. Dennoch können wir die Seite $c$ am Höhenfußpunkt in $c_A$ und $c_B$ teilen lassen, wobei $c_A$ dann länger als $c$ ist und $c_B$ dafür ein negatives Vorzeichen erhält, sodass $c=c_A+c_B$ gilt.

Mit den Bezeichnungen aus Abbildung 3 ist im rechtwinkligen Dreieck $BLC$ der Kotangens von $\beta^\prime$ zunächst, Ankathete durch Gegenkathete:

$$\cot\beta^\prime=\frac{-c_B}{h_C}$$

Da aber $\beta^\prime=180^\circ-\beta$ ist und stets $\cot(180^\circ-x)=-\cot x$ gilt,^✻ ist

$$-\cot\beta=\frac{-c_B}{h_C}$$

Nimmt man beide Seiten dieser Gleichung mit −1 mal, erhält man:

$$\cot\beta=\frac{c_B}{h_C}$$

Im rechtwinkligen Dreieck $ALC$ gilt für den Kotangens von $\alpha$ außerdem:

$$\cot\alpha=\frac{c_A}{h_C}$$

Addiert man die linken und rechten Seiten beider Gleichungen, ergibt das genau wie in Fall 1:

$$\cot\alpha+\cot\beta=\frac{c}{h_C}$$

✻ Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. 6. Auflage, Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main, 2005. Seite 79, Tabelle 2.4. (http://d-nb.info/975715038)