Der Durchschnitt liegt nicht in der Mitte

Mittelwerte sind wichtige Kennzahlen in der Statistik und der angewandten Mathematik im Allgemeinen. Bewusst schreibe ich „Mittelwerte“ in der Mehrzahl. Es gibt nämlich eine ganze Reihe verschiedener Mittelwerte, die alle ihre Berechtigung haben. Um sich von statistischen Angaben wie in den Nachrichten nicht in die Irre leiten zu lassen, braucht man ein grundlegendes Verständnis für die wichtigsten Mittelwerte.

Am Ende dieser Seite zeige ich einen typischen Fall aus dem praktischen Leben, bei dem die Mittelwerte voneinander abweichen, was häufig zu Missverständnissen führt. Zunächst aber erläutere ich drei einfache, aber wichtige Mittelwerte: den Modus, den Median und das häufig auch Durchschnitt genannte arithmetische Mittel. Das soll an einem Beispiel geschehen – ich habe neunmal gewürfelt mit folgendem Ergebnis:

⚀ ⚀ ⚄ ⚀ ⚃ ⚅ ⚁ ⚀ ⚅

Modus

Der Modus bezeichnet die am häufigsten vorkommende Ausprägung. Wenn ich meine Würfelergebnisse entsprechend ihrer Ausprägungen zusammenfasse, sehe ich schnell, dass die Augenzahl 1 am häufigsten vorkommt:

⚀ ⚀ ⚀ ⚀
⚄
⚃
⚅ ⚅
⚁

Demnach ist ⚀ der Modus. Den Modus können wir bei endlichen Mengen immer bilden, selbst wenn die Ausprägungen wie verschiedene Bonbonsorten nichts mit Zahlen zu tun haben und keine natürliche Ordnung besitzen. Wenn wir ein Kästchen mit Bonbons verschiedener Sorten untersuchen, ist der Modus die am häufigsten vertretene Sorte. Falls mehrere Bonbonsorten gleichauf vorne liegen, gibt es mehrere Modi.

Median

Den Median erhält man, wenn man alle Werte der Größe nach aufsteigend sortiert und dann den zentralen Wert herausgreift:

⚀ ⚀ ⚀ ⚀ ⚁ ⚃ ⚄ ⚅ ⚅

In unserem Beispiel ist also ⚁ der Median. Den Median kann man nur bilden, wenn unter den Ausprägungen eine natürliche Ordnung besteht, nach der man sortieren kann. Diese muss sich aber nicht in Zahlen wie den Augen der Seiten eines Würfels ausdrücken, sondern kann beispielsweise auch ein Dienstgrad bei der Polizei sein.

Bei einer geraden Anzahl von Werten gibt es nicht den einen zentralen Wert, sondern zwei gleich zentrale. Für den Fall, dass jene sich unterscheiden, gibt es verschiedene Definitionen des Medians. Teils wird der kleinere Wert gewählt (Untermedian), teils der größere (Obermedian). Manch einer wählt auch das arithmetische Mittel aus Unter- und Obermedian, was aber die Anwendbarkeit einschränkt.

Arithmetisches Mittel

Das arithmetische Mittel wird häufig auch Durchschnitt genannt und ist vermutlich der bekannteste Mittelwert. Man erhält ihn, wenn man alle Werte summiert und durch die Anzahl der Werte teilt. In unserem Beispiel ist der Durchschnitt der Augenzahlen 3:

$$\frac{1+1+5+1+4+6+2+1+6}{9}=3$$

Um das arithmetische Mittel bilden zu können, muss man es mit Zahlen zu tun haben – aus zwei Kriminalkommissaren und einem Kriminaloberrat kann man keinen Durchschnitt bilden. Übrigens bedeutet das griechische Wort αριθμός (arithmos) auch Zahl.

In unserem Würfelbeispiel ist das arithmetische Mittel der größte der drei betrachteten Mittelwerte. Das ist in der Praxis zwar nicht fürs Würfeln, aber für viele Verteilungen typisch. Prinzipiell ist allerdings jede Reihenfolge von Modus, Median und arithmetischem Mittel möglich. Die Mittelwerte können auch zusammenfallen.

Mittelwerte in der Praxis

Nachrichtensendungen informieren uns regelmäßig über Kennzahlen der Volkswirtschaft. Aber auch andere Quellen versorgen uns mit statistischen Daten. Mein Stromanbieter zum Beispiel ergänzt die Jahresabschlussrechnung um einen Vergleich meiner Verbrauchsdaten mit allgemein üblichen.

Bei vielen der statistischen Angaben handelt es sich um arithmetische Mittel, zum Beispiel die durchschnittliche Temperatur des Monats, der jährliche CO₂-Ausstoß pro Person, die Lebenserwartung, Asylbewerber pro Tag, Bevölkerungsdichte, Pro-Kopf-Verschuldung, die durchschnittlich vor dem Fernseher verbrachte Zeit …

Einkommensverteilung

Im Jahr 2003 betrug das durchschnittliche Netto­monats­einkommen eines Haushalts in Deutschland 2833 Euro. Fünf Jahre später lag der Durchschnitt bei 2914 Euro. Ein leichtes Wachstum also; das Einkommen hatte sich anscheinend gemehrt. Doch wie sah so ein Durchschnittshaushalt eigentlich aus? Tatsächlich fand man ihn bei den moderat Besserverdienenden. Das arithmetische Mittel lag nicht in der Mitte der Gesellschaft!

Wie es um das Einkommen in der Mitte der Gesellschaft stand, verrät uns der Median der Netto­monats­einkommen der Haushalte. 2003 lag dieser bei 2394 Euro, knapp 440 Euro unter dem Durchschnitt. Spannend ist der Blick auf die Entwicklung: Der Median verringerte sich bis zum Jahr 2008 auf 2369 Euro. Median und Durchschnitt drifteten demnach in unterschiedliche Richtungen; die Lücke vergrößerte sich auf über 540 Euro.1

Abbildung: Verteilung der monatlichen Haushaltsnettoeinkommen in Deutschland im Jahr 2008 im Bereich 0–6000 €, Klassenbreite 500 €2

Die Abbildung illustriert, welche Einkommensverteilung hinter den unterschiedlichen Mittelwerten steckt: Ein großer Anteil der Haushalte konzentriert sich auf wenige niedrige Einkommensklassen mit dem Modus bei 1500–2000 Euro und einer fast gleich starken Klasse bei 1000–1500 Euro. So erklärt sich der Median von 2369 Euro, also dass das Einkommen der Hälfte der Haushalte unter oder bei diesem Betrag lag.

Höhere Einkommen verteilen sich auf viele Einkommensklassen, auch solche, die weit oberhalb der Mitte der Gesellschaft liegen. Die Grafik ist bei 6000 Euro abgeschnitten, tatsächlich erstreckten sich die Einkommen in abnehmender Anzahl jedoch auf noch weit höhere Beträge. Diese hohen Einkommen trugen auch in geringer Zahl wesentlich zur Summe aller Einkommen bei und zogen so den Durchschnitt nach oben.

Einschätzung

Volkswirtschaftliche Kennzahlen, die über die Bevölkerung arithmetisch gemittelt sind, sagen mehr über die Gesamtheit der Volkswirtschaft aus als über einen Bürger in ihrer Mitte. Wer wissen will, wo er im Vergleich zur Mitte der Gesellschaft steht, sollte vom Durchschnitt absehen und sich nach dem Median erkundigen.

Doch auch für das arithmetische Mittel gibt es volkswirtschaftlich sinnvolle Anwendungen. So kann man anhand von Pro-Kopf-Werten die Leistungsfähigkeit der Volkswirtschaften mehrerer Staaten mit unterschiedlich großer Bevölkerung vergleichen.

  1. Datenquelle: Statistisches Bundesamt, Fachserie 15 Heft 6, EVS 2008, S. 31
    Das Statistische Bundesamt bezog in seine Berechnung ausschließlich Haushalte ein, deren monatliches Nettoeinkommen 18 000 Euro nicht überschritt, da für die Hochrechnung zu wenige Haushalte darüber an der Einkommens- und Verbraucherstichprobe beteiligt waren. So ist davon auszugehen, dass arithmetisches Mittel und Median in der Wirklichkeit noch weiter auseinander lagen.
  2. Datenquelle: Statistisches Bundesamt, Fachserie 15 Heft 6, EVS 2008, S. 41