Wie verwandelt man einen Dezimalbruch in einen gemeinen Bruch?

Wie man den gemeinen Bruch in einen Dezimalbruch umwandelt, lernt jeder in der Schule. Um beispielsweise den gemeinen Bruch 27⁄5 in einen Dezimalbruch zu verwandeln, dividiert man 27 ÷ 5 schriftlich – oder gibt es rasch in den Taschenrechner ein – und erhält 5.4 als Ergebnis.

Wie funktioniert der umgekehrte Weg? Am Beispiel von vier rationalen Zahlen in Dezimalbruchdarstellung wird die Umwandlung in gemeine Brüche in vier Schritten gezeigt.

Die Beispiele:

Beispiel A
24.3572727272…
Beispiel B
33.3333333333…
Beispiel C
0.0479479479…
Beispiel D
8.6

Schritt 1: Abtrennen der Periode hinter dem Dezimalpunkt

Den Teil am Ende eines Dezimalbruchs, der sich bis in die Unendlichkeit wiederholt, nennt man Periode. Im ersten Schritt werden die Beispiele in zwei Summanden geteilt. Der erste Summand enthält alles vor dem Dezimalpunkt sowie all das hinter dem Dezimalpunkt, was noch vor der Periode kommt. Der zweite Summand enthält, was nach dem Dezimalpunkt periodisch ist.

Beispiel A
24.3572727272… = 24.35 + 0.0072727272…
Beispiel B
33.3333333333… = 33 + 0.3333333333…
Beispiel C
0.0479479479… = 0.0 + 0.0479479479…
Beispiel D
8.6 = 8.6 + 0

Schritt 2: Umwandeln des nichtperiodischen Teils

Der nichtperiodische Teil wird in einen gemeinen Bruch umgewandelt, indem all seine Ziffern in den Zähler geschrieben werden und in den Nenner eine Eins mit so vielen Nullen geschrieben wird, wie der nichtperiodische Teil Ziffern nach dem Dezimalpunkt hat.

Beispiel A₁
24.35 = 2435⁄100
Beispiel B₁
33 = 33⁄1
Beispiel D₁
8.6 = 86⁄10

Wenn der nichtperiodische Teil wie in Beispiel C nullwertig ist, kann der Schritt übersprungen werden.

Schritt 3: Umwandeln des periodischen Teils

Der periodische Teil wird wie folgt in einen gemeinen Bruch umgewandelt: In den Zähler kommt einmal die Periode. In den Nenner kommen genauso viele Neunen, wie der Zähler Ziffern hat, und dahinter so viele Nullen, wie zwischen Dezimalpunkt und Periode liegen.

Beispiel A₂
0.0072727272… = 72⁄9900
Beispiel B₂
0.3333333333… = 3⁄9
Beispiel C₂
0.0479479479… = 479⁄9990

Bei einem Dezimalbruch ohne Periode wie in Beispiel D kann dieser Schritt freilich übersprungen werden.

Schritt 4: Zusammensetzen der Teilbrüche

Wurde entweder Schritt 2 oder Schritt 3 übersprungen, entfällt auch Schritt 4, und man ist schon fertig:

Beispiel C
0.0479479479… = 479⁄9990
Beispiel D
8.6 = 86⁄10

Ansonsten wird aus der Addition zweier gemeiner Brüche so ein einziger: Der neue Zähler ist die Summe der über Kreuz multiplizierten alten Zähler und Nenner. Der neue Nenner ist das Produkt beider alter Nenner. Farblich hervorgehoben wird die Sache schnell klar:

Beispiel A
24.3572727272… = 2435⁄100 + 72⁄9900 = (2435×9900 + 72×100)⁄(100×9900) = 24113700⁄990000
Beispiel B
33.3333333333… = 33⁄1 + 3⁄9 = (33×9 + 3×1)⁄(1×9) = 300⁄9

Aufgabe erfüllt – was nun?

Eine Probe kann nicht schaden: Zähler durch Nenner schriftlich oder mit dem Taschenrechner teilen und schauen, ob wieder der ursprüngliche Dezimalbruch erscheint.

Ansonsten kann erwünscht sein, den gemeinen Bruch noch so weit wie möglich zu kürzen. Dafür teilt man Zähler und Nenner durch ihren größten gemeinsamen Teiler (ggT). Der Euklidische Algorithmus beschreibt eine Methode, wie man den ggT ohne viel Herumprobieren ermittelt.