Mersenne-Zahlen und die Erdős-Straus-Vermutung

Mersenne-Zahlen sind Zahlen der Form $2^{k}-1$, wobei k eine natürliche Zahl ist. Noch nicht bekannt ist, ob es unendlich viele Mersenne-Primzahlen gibt.1 Interessant ist der Zusammenhang zwischen Mersenne-Zahlen und perfekten Zahlen.2 Eine Zahl ist genau dann eine gerade perfekte Zahl, wenn sie der Form $2^{k-1}(2^{k}-1)$ entspricht und die Mersenne-Zahl $2^{k}-1$ prim ist (Satz von Euklid und Euler).

Die Erdős-Straus-Vermutung besagt, dass sich $\frac{4}{n}$ immer als Summe dreier Stammbrüche darstellen lässt, wenn n natürlich und größer 1 ist. Anders ausgedrückt, dass die Gleichung $\frac{4}{n}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ für alle natürlichen $n > 1$ Lösungen mit natürlichen a, b und c besitzt. Die Vermutung ist im Allgemeinen seit rund 60 Jahren unbewiesen.1

Behauptung

Die Erdős-Straus-Vermutung ist wahr für Mersenne-Zahlen, das heißt die Gleichung $\frac{4}{2^{k}-1}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ besitzt für alle natürlichen $k > 1$ Lösungen mit natürlichen a, b und c.

Beweis

$$\begin{aligned} \frac{4}{2^{k}-1} &= \frac{2^{k}}{2^{k-2}} \cdot \frac{1}{2^{k}-1} \\ &= \left(\frac{2^{k}-1}{2^{k-2}}+\frac{1}{2^{k-2}}\right) \frac{1}{2^{k}-1} \\ &= \frac{1}{2^{k-2}}+\frac{1}{2^{k-2}\left(2^{k}-1\right)} \\ &= \frac{1}{2^{k-2}}+\frac{2}{2^{k-1}\left(2^{k}-1\right)} \\ &= \frac{1}{2^{k-2}}+\frac{1}{2^{k-1}\left(2^{k}-1\right)}+\frac{1}{2^{k-1}\left(2^{k}-1\right)} \end{aligned}$$

… was zu beweisen war.

  1. Stand: 12. September 2009 – ist das nicht eine schöne Herausforderung?
  2. Eine perfekte oder vollkommene Zahl ist eine natürliche Zahl, die Summe all ihrer Teiler außer sich selbst ist.