Innenwinkelsumme im einfachen Viereck

Vorbemerkungen

In der ebenen Geometrie lässt sich ein Dreieck leicht definieren. Es genügen drei Punkte, die nicht alle auf einer Geraden liegen. Die Punkte nennt man dann Ecken des Dreiecks. Jede Ecke verbindet man auf kürzestem Weg mit jeder anderen. Die Verbindungen heißen Seiten des Dreiecks.

Beim Viereck ist das im Allgemeinen komplizierter: Man hat vier Punkte, von denen keine drei auf einer Geraden liegen. Die Punkte nennt man Ecken. Um die Seiten des Vierecks zu erhalten, wird jede Ecke mit zwei der drei anderen Ecken gerade verbunden. Es gibt allerdings immer drei verschiedene Möglichkeiten, die Ecken so zu verknüpfen!

Welche der Möglichkeiten man wünscht, muss man irgendwie zusätzlich angeben. Man kann das zum Beispiel tun, indem man von zwei Punkten verrät, dass sie nicht durch eine Seite miteinander verbunden sind. Meist aber werden Unklarheiten beseitigt, indem man die Punkte in der Reihenfolge nennt, die auch ihren Verbindungen entspricht. Im Viereck ABCD ist dann A mit B, B des Weiteren mit C, C außerdem mit D verbunden und letztendlich D mit A.

Vierecke kann man in drei Klassen einteilen: überschlagene, konkave und konvexe Vierecke. Vielleicht würdest du ein überschlagenes Viereck gar nicht als Viereck identifizieren? Augenfällig an überschlagenen Vierecken ist, dass sich zwei ihrer Seiten noch an einer anderer Stelle als in einer der vier Ecken schneiden.

Abbildung 1: Ein überschlagenes Viereck ist kein einfaches Viereck.

Wenn du dir ein Viereck vorstellst, denkst du vermutlich an ein konvexes. Zu den konvexen Vierecken gehören alle Quadrate, Rechtecke, Rhomben, Parallelogramme und weitere. Konvexe Vierecke haben eines gemein: keiner ihrer Innenwinkel ist überstreckt, das heißt kein Innenwinkel ist größer als 180° beziehungsweise π rad.

Abbildung 2: ein einfaches, konvexes Viereck mit einer seiner beiden Diagonalen

Konkave Vierecke besitzen dagegen genau einen überstreckten Winkel. Dadurch erinnern sie an einen Boomerang: Ein Teil von ihnen ist „eingedellt“.

Abbildung 3: ein einfaches, konkaves Viereck mit seiner innen liegenden Diagonale

Konvexe und konkave Vierecke fasst man auch unter dem Begriff einfache Vierecke zusammen und grenzt sie so von den überschlagenen Vierecken ab. Die Existenz überschlagener Vierecke sollte hier zwar nicht unterschlagen werden, aber im weiteren Verlauf dieser Seite werden nur einfache Vierecke behandelt.

Satz

In der Ebene addieren sich die Innenwinkel jedes einfachen Vierecks zu einem Vollwinkel. Im Gradmaß sind das 360°, im Bogenmaß 2π rad.

Beweisskizze

Teilt man ein einfaches Viereck entlang einer innen liegenden Diagonale, ergibt das zwei Dreiecke, deren Innenwinkel sich zu den Innenwinkeln des Vierecks ergänzen. Die Innenwinkel jedes Dreiecks messen zusammen 180° bzw. π rad. Somit addieren sich die Innenwinkel beider Dreiecke zu 360° bzw. 2π rad. ∎

Anmerkungen zum Schluss

Im konvexen Viereck ist es für den Beweis egal, entlang welcher der beiden Diagonalen man das Viereck in zwei Dreiecke teilt. Beide liegen im Viereck. Abbildung 4 zeigt dasselbe Viereck wie Abbildung 2, aber mit der anderen Diagonale. Auch hier ergänzen sich die Innenwinkel der Dreiecke zu den Innenwinkeln des Vierecks.

Abbildung 4: Die Innenwinkel der Dreiecke ABC und ACD, jeweils 180°, ergänzen sich zu den Innenwinkeln des Vierecks ABCD.

Konkave Vierecke besitzen nur eine innen liegende Diagonale. Abbildung 5 zeigt dasselbe Viereck wie Abbildung 3, diesmal aber mit der außen liegenden Diagonale. An dieser lässt sich die Innenwinkelsumme von 360° beziehungsweise 2π rad des Vierecks ebenfalls herleiten, allerdings etwas anders als anhand der inneren Diagonale.

Abbildung 5: ein konkaves Viereck mit seiner außen liegenden Diagonale

Man erhält in Abbildung 5 die Innenwinkelsumme des Vierecks ABCD als Summe der Innenwinkel des Dreiecks ABC von 180° und dem Vollwinkel um D, definitionsgemäß 360°, abzüglich der Innenwinkel des Dreiecks ADC von 180°:

180° + 360° − 180° = 360° ∎