2021
oder Wann ist eine Zahl die Differenz zweier Quadratzahlen?

Vorrede

Gut eine Woche ist es alt, das neue Jahr 2021. Wenn ich auf eine neue natürliche Zahl treffe und dafür Zeit habe, schaue ich mir oft ihre Primfaktoren an. Die Primfaktoren können einiges über die Zahl verraten.

Natürliche Zahlen sind jene Zahlen, mit denen wir Dinge zählen: 1, 2, 3, 4, 5 und immer so weiter. Einige dieser Zahlen nennt man Primzahlen. Primzahlen sind genau jene natürliche Zahlen, die man nur durch zwei Zahlen teilen kann, ohne dass ein Rest übrig bleibt, nämlich durch die Zahl selbst und durch 1.

Ein Beispiel für eine Primzahl ist 5: Man kann 5 durch sich selbst teilen und erhält als Ergebnis 1. Man kann 5 auch durch 1 teilen und erhält als Ergebnis 5. Es gibt aber keine andere natürliche Zahl, durch die man 5 glatt und restlos teilen kann.

Die Zahl 1 rechnet man nicht zu den Primzahlen. Man kann sie nur durch eine Zahl glatt teilen: durch sich selbst, 1.

Natürliche Zahlen, die weder Primzahl noch 1 sind, nennt man zusammengesetzte Zahlen. Klar: Man kann sie zerteilen, also kann man sie auch aus Teilern zusammensetzen. Ein Vertreter dieser zusammengesetzten Zahlen ist 12. Man kann 12 durch sich selbst und durch 1 teilen, aber man kann 12 auch beispielsweise durch 4 teilen und erhält dann 3 als Ergebnis.

12 lässt sich also als 4 ⋅ 3 zusammensetzen. Schauen wir uns diese beiden Faktoren genauer an: Die Zahl 3 ist eine Primzahl. Die Zahl 4 aber lässt sich durch 2 teilen, Ergebnis 2. Die 4 lässt sich also als 2 ⋅ 2 zusammensetzen. Die Zahl 2 ist nun wieder eine Primzahl.

Möchte man die Zahl 12 nur aus Primzahlen zusammensetzen, sieht das demnach so aus: 12 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3. Die Zahlen 2, noch einmal 2 und 3 sind die Primfaktoren von 12. Es ist unmöglich, 12 durch Malnehmen anderer Primzahlen zusammenzusetzen. Jede natürliche Zahl größer als 1 lässt sich – abgesehen von deren Reihenfolge – nur auf eine einzige Weise in Primfaktoren zerlegen.

2021 = 43 ⋅ 47

Die Jahreszahl 2021 ist ein zusammengesetzte Zahl. Ihre Primfaktoren sind 43 und 47. Knapp vorbei an einer Quadratzahl, dachte ich, als ich dies sah. 45 ⋅ 45, das wäre das Jahr 2025.^✻ Für die aktuelle Jahreszahl aber gilt:

2021 = 43 ⋅ 47 = (45 − 2) ⋅ (45 + 2)

Wer die dritte binomische Formel noch im Kopf hat, erkennt schnell, dass dann auch Folgendes zutrifft. Man kann sich durch Ausrechnen der rechten Seiten beider Gleichungen aber auch ohne binomische Formel vom Wahrheitsgehalt überzeugen.

2021 = 45² − 2²

2021 ist keine Quadratzahl, aber immerhin die Differenz zweier Quadratzahlen. Ist das etwas Besonderes? Wann ist eine Zahl die Differenz zweier Quadratzahlen?

2021 ist die Fläche eines Quadrates über einer Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen andere Kathete 2 und dessen Hypothenuse 45 misst. — Eine geometrische Interpretation der Gleichung 2021 = 45² − 2² … Die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks misst 45, eine andere 2 Längeneinheiten; dann hat das Quadrat über der verbliebenen Seite eine Fläche von 2021 Quadrateinheiten. Aber lässt sich jede Zahl als Fläche eines solches Kathetenquadrats auf einem dreieckigen Keil mit rechtem Winkel darstellen, dessen andere Seiten natürliche Zahlen sind?

Ungerade Zahlen als Differenz zweier Quadratzahlen

Eine ungerade Zahl u größer als 1 können wir allgemein als 2n + 1 darstellen, denn setzt man in

u = 2n + 1

für n alle natürlichen Zahlen ein, bekommt man für u alle ungeraden Zahlen jenseits von 1 heraus:

n	1	2	3	4	5	…
u = 2n + 1	3	5	7	9	11	…

Jede Zahl kann man mit 1 malnehmen, ohne dass sich dadurch etwas ändert. So ist auch:

u = (2n + 1) ⋅ 1

Wieso einfach, wenn es komplizierter geht? Das Gleiche kann man auch so schreiben:

u = ((n + 1) + n) ⋅ ((n + 1) − n)

Freilich habe ich diese Darstellung nicht nur aus Jux gewählt. Man kann jetzt die dritte binomische Formel anwenden und erhält:

u = (n + 1)² − n ²

Das heißt, jede ungerade Zahl über 1 ist Differenz zweier Quadratzahlen. Beispielsweise kann man die Jahreszahl 2019 als 1010² − 1009² berechnen. Die Zahl 1 lässt sich ebenfalls als Differenz zweier Quadratzahlen darstellen, wenn man außer den natürlichen Zahlen auch 0 zulässt: 1 = 1² − 0².

Die dritte binomische Formel besagt:

(a + b) ⋅ (a − b) = a ² − b ²

Überprüfen kann man die Formel, indem man die Klammern ausmultipliziert:

a ⋅ a + a ⋅ (− b) + b ⋅ a + b ⋅ (− b) = a ² − b ²

Zusammengefasst:

aa − bb = a ² − b ²

und das ist offensichtlich wahr.

Durch 4 teilbare Zahlen als Differenz zweier Quadratzahlen

Eine durch vier teilbare Zahl v können wir allgemein auch als 4n darstellen, denn setzt man in

v = 4n

für n alle natürlichen Zahlen ein, erhält man für v alle Vielfachen von 4:

n	1	2	3	4	5	…
v = 4n	4	8	12	16	20	…

Wie schon in der Vorrede erwähnt ist 4 = 2 ⋅ 2, sodass wir genauso gut dies schreiben können:

v = 2 ⋅ 2n

Kann man das Gleiche auch komplizierter ausdrücken? Na klar:

v = ((n + 1) − (n − 1)) ⋅ ((n + 1) + (n − 1))

Wieder kommt die dritte binomische Formel zur Hilfe und daraus wird:

v = (n + 1)² − (n − 1)²

Demnach ist jede durch vier teilbare natürliche Zahl Differenz zweier Quadratzahlen. Die Jahreszahl 2020 kann man beispielsweise als 506² − 504² berechnen.

Gerade Zahlen, die nicht durch 4 teilbar sind?

Schauen wir uns noch einmal die dritte binomische Formel an:

a ² − b ² = (a + b) ⋅ (a − b)

Die Differenz zweier Quadratzahlen a ² und b ² ist demnach das Gleiche wie das Produkt aus der Summe der Zahlen a und b und ihrer Differenz. Die folgende Tabelle listet auf, was mit der Summe und der Differenz von a und b passiert, je nachdem ob a und b gerade oder ungerade Werte annehmen, also je nachdem ob sie durch 2 teilbar sind oder nicht.

	b ist gerade	b ist ungerade
a ist gerade	(a + b) ist gerade, (a − b) ist gerade	(a + b) ist ungerade, (a − b) ist ungerade
a ist ungerade	(a + b) ist ungerade, (a − b) ist ungerade	(a + b) ist gerade, (a − b) ist gerade

(a + b) und (a − b) können beide ungerade oder beide gerade sein, aber sich in dieser Beziehung nicht unterscheiden. Die Differenz zweier Quadratzahlen a ² − b ² ist demnach entweder das Produkt zweier Zahlen ohne den Primfaktor 2 oder aber das Produkt zweier Zahlen, die jeweils den Primfaktor 2 einbringen. Sie ist somit entweder ungerade oder hat den Primfaktor 2 mindestens doppelt und ist dann durch 2 ⋅ 2 = 4 teilbar.

Gerade, aber nicht durch 4 teilbar zu sein, ist folglich unmöglich für die Differenz zweier Quadratzahlen. Die nächste Jahreszahl 2022 ist beispielsweise keine Differenz zweier Quadratzahlen, denn sie ist gerade, aber nicht durch 4 teilbar.

✻ Die Zahl 45 ist freilich zusammengesetzt: 45 = 3 ⋅ 3 ⋅ 5. Die Jahreszahl 2025 lässt sich also zwar auch als 45 ⋅ 45 darstellen, aber ihre eindeutige Primfaktorzerlegung ist 2025 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5.