Wann sind Summe, Differenz und Produkt gerade oder ungerade?

Eine ganze Zahl nennt man gerade, wenn sie ohne Rest durch zwei teilbar ist. Man nennt eine ganze Zahl ungerade, wenn sie nicht restlos durch zwei teilbar ist. Diese Seite listet für die Addition, Subtraktion und Multiplikation zweier Zahlen auf, wann das Ergebnis gerade beziehungsweise ungerade ist. Ein kurzer Beweis ist jeweils beigefügt.

Vorbemerkungen

Repräsentiert eine Variable k allgemein eine ganze Zahl, dann steht 2k für eine gerade Zahl und 2k + 1 für eine ungerade Zahl. Die folgende Tabelle stellt beispielhaft einige Werte gegenüber.

k2k2k + 1
−3−6−5
−2−4−3
−1−2−1
001
123
245
367

In den folgenden kurzen Beweisen stehen jeweils a und b für beliebige ganze Zahlen.

Die Beweise greifen insbesondere auf das Distributivgesetz z ⋅ x + z ⋅ y = z ⋅ (x + y) zurück. Verwendet werden auch die Assoziativgesetze für die Addition (x + y) + z = x + (y + z) und Multiplikation sowie der Umstand, dass x − y = x + (−y) ist.

Addition

Summand + Summand = Summe

Subtraktion

Minuend − Subtrahend = Differenz

Multiplikation

Faktor ⋅ Faktor = Produkt