Wann sind Summe, Differenz und Produkt gerade oder ungerade?
Eine ganze Zahl nennt man gerade, wenn sie ohne Rest durch zwei teilbar ist. Man nennt eine ganze Zahl ungerade, wenn sie nicht restlos durch zwei teilbar ist. Diese Seite listet für die Addition, Subtraktion und Multiplikation zweier Zahlen auf, wann das Ergebnis gerade beziehungsweise ungerade ist. Ein kurzer Beweis ist jeweils beigefügt.
Vorbemerkungen
Repräsentiert eine Variable k allgemein eine ganze Zahl, dann steht 2k für eine gerade Zahl und 2k + 1 für eine ungerade Zahl. Die folgende Tabelle stellt beispielhaft einige Werte gegenüber.
| k | 2k | 2k + 1 |
|---|---|---|
| −3 | −6 | −5 |
| −2 | −4 | −3 |
| −1 | −2 | −1 |
| 0 | 0 | 1 |
| 1 | 2 | 3 |
| 2 | 4 | 5 |
| 3 | 6 | 7 |
In den folgenden kurzen Beweisen stehen jeweils a und b für beliebige ganze Zahlen.
Die Beweise greifen insbesondere auf das Distributivgesetz z ⋅ x + z ⋅ y = z ⋅ (x + y) zurück. Verwendet werden auch die Assoziativgesetze für die Addition (x + y) + z = x + (y + z) und Multiplikation sowie der Umstand, dass x − y = x + (−y) ist.
Addition
Summand + Summand = Summe
- gerade plus gerade ist gerade:
2a + 2b = 2(a + b) - gerade plus ungerade ist ungerade:
2a + (2b + 1) = 2(a + b) + 1 - ungerade plus gerade ist ungerade:
(2a + 1) + 2b = 2(a + b) + 1 - ungerade plus ungerade ist gerade:
(2a + 1) + (2b + 1) = 2(a + b + 1)
Subtraktion
Minuend − Subtrahend = Differenz
- gerade minus gerade ist gerade:
2a − 2b = 2(a − b) - gerade minus ungerade ist ungerade:
2a − (2b + 1) = 2(a − b − 1) + 1 - ungerade minus gerade ist ungerade:
(2a + 1) − 2b = 2(a − b) + 1 - ungerade minus ungerade ist gerade:
(2a + 1) − (2b + 1) = 2(a − b)
Multiplikation
Faktor ⋅ Faktor = Produkt
- gerade mal gerade ist gerade:
2a ⋅ 2b = 2(2ab) - gerade mal ungerade ist gerade:
2a ⋅ (2b + 1) = 2(2ab + a) - ungerade mal gerade ist gerade:
(2a + 1) ⋅ 2b = 2(2ab + b) - ungerade mal ungerade ist ungerade:
(2a + 1) ⋅ (2b + 1) = 2(2ab + a + b) + 1