Der Sinussatz und sein Beweis

Der Sinussatz der ebenen Geometrie besagt, dass im Dreieck die Verhältnisse einer jeden Seite zum Sinus des ihr gegenüberliegenden Winkels immer gleich sind. In einer Formel lässt sich dieser Satz so ausdrücken:

Durch Umstellen kommt man auch auf die Gleichungen:

Das heißt, Dreiecksseiten stehen im selben Verhältnis zueinander wie die Sinus der ihnen gegenüberliegenden Winkel.

Im rechtwinkligen Dreieck nennt man die längste Seite Hypothenuse und die beiden anderen Seiten Katheten. Bezogen auf einen der spitzen Winkel heißt die gegenüberliegende Seite Gegenkathete.

Der Sinus eines spitzen Winkels wird im rechtwinkligen Dreieck als Verhältnis der Gegenkathete zur Hypothenuse definiert:

Definition im Einheitskreis

Der Einheitskreis hat seinen Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems und den Radius eins. Auch an ihm lässt sich der Sinus definieren. Für spitze Winkel ist die Definition zu jener im rechtwinkligen Dreieck äquivalent, bietet darüber hinaus aber auch eine Erklärung für größere Winkel.

Der Sinus des Winkels, welcher sich gegen den Uhrzeigersinn zwischen dem positiven Teil der x-Achse und dem Radius zu einem beliebigen Punkt P auf dem Einheitskreis aufspannt, entspricht der Höhe von P über der x-Achse.

Sinus von Supplementwinkeln

Die Sinus zweier Supplementwinkel – also zweier Winkel, die zusammen einen gestreckten Winkel ergeben – sind stets gleich. Am Einheitskreis lässt sich das gut demonstrieren. Die folgende Grafik enthält dafür ein an der y-Achse gespiegeltes Bild der vorigen. Ergänzend zum gespiegelten Winkel θ ist außerdem der Supplementwinkel θ′ eingezeichnet. Beide haben denselben Sinus.

Sinus des rechten Winkels

Der Sinus eines rechten Winkels ist eins.

Der Beweis wird für die Seiten a und b mit den Winkeln alpha und beta geführt. Für die Beziehungen zur Seite c mit dem Winkel gamma erfolgt er analog.

Fall 1: zwei spitze Winkel

Schauen wir zuerst auf den Fall zweier spitzer Winkel alpha und beta im Dreieck ABC. Wir können das Dreieck entlang der Höhe auf c in zwei rechtwinklige Teildreiecke ALC und LBC spalten. L ist dabei der Punkt, an welchem die Höhe senkrecht auf der Seite c steht.

In diesen Teildreiecken ALC und LBC gelten dann mit der Definition des Sinus:

Dividiert man einerseits die linken und andererseits die rechten Seiten jener Gleichungen, kürzt sich h_c weg und man erhält eine neue Gleichung:

Multipliziert man auf beiden Seiten mit b und teilt durch den Sinus von alpha, erhält man:

Fall 2: spitzer und rechter Winkel

Im zweiten Fall sei ohne Beschränkung der Allgemeinheit beta ein rechter Winkel.

Dann gilt für den Sinus von alpha, Gegenkathete durch Hypothenuse:

Durch eins zu teilen ändert nichts, sodass wir genauso gut

schreiben können. Da der Sinus des rechten Winkels immer eins ist, können wir anstelle von eins auch den Sinus von beta einsetzen und erhalten wie im ersten Fall:

Fall 3: spitzer und stumpfer Winkel

Zu guter Letzt betrachten wir den Fall eines stumpfen Winkels, ohne Beschränkung der Allgemeinheit beta. Dann liegt die Höhe auf c mit dem Höhenfußpunkt L außerhalb des Dreiecks ABC. Dennoch lassen sich auch hier zwei rechtwinklige Dreiecke identifizieren, ALC und BLC.

In diesen rechtwinkligen Dreiecken gelten für den Sinus, Gegenkathete durch Hypothenuse:

Die Winkel β und β′ addieren sich als Nebenwinkel zu einem gestreckten Winkel. Sie haben daher denselben Sinus. Wir können also den Sinus von β′ durch den Sinus von β ersetzen. Teilt man die linke Seite der ersten Gleichung durch jene der zweiten und tut das gleiche für die rechten Seiten, ergibt das genau wie im ersten und zweiten Fall die neue Gleichung:

Da ein Dreieck in der ebenen Geometrie aufgrund seiner Innenwinkelsumme maximal einen rechten oder stumpfen Innenwinkel besitzen kann, gibt es keine weiteren Fälle. ∎