Zum Färben der Blume des Lebens

Blume des Lebens

Mein Vater Christoph machte mich auf ein Ornament aus Kreisbögen aufmerksam, welches man Blume des Lebens nennt. Frage: Wie viele Farben benötigt man mindestens, um die Blume des Lebens so auszumalen, dass gleichfarbige Flächen einander höchstens in einzelnen Punkten berühren, aber ansonsten keine gemeinsame Grenze aufweisen?

Antwort

Man benötigt mindestens zwei Farben, um die Blume des Lebens so auszumalen, dass nie zwei gleichfarbige Flächen eine gemeinsame Kante aufweisen. Hier der Beweis in frischem Steingrau und Schneehasenweiß:

Blume des Lebens mit zwei Farben gefärbt

Dass zwei Farben genügen, ist nicht selbstverständlich. So benötigt man für die gleiche Herausforderung bei der folgenden einfachen Figur vier Farben:

In drei Sektoren geteilter Ring um einen Kreis

Christoph wandte sich allerdings mit einer anderen Herausforderung an mich. Er wollte die schmalen, konvexen Blütenblätter der Blume so ausmalen, dass in jeder sechsblättrigen Blüte jede der Farben Rot, Orange, Gelb, Grün, Blau und Violett einmal vorkommt. Dabei sollten die Paare Rot/Grün, Orange/Blau und Gelb/Violett sich in den Blüten jeweils gegenüberliegen:

Sechs Blütenblätter ergeben eine Blüte.

Lässt sich das für die ganze Blume realisieren? Ja – ein Beispiel von mir:

Blume des Lebens, koloriert

Meinem Vater gelang jedoch nicht, die Blume mit der zusätzlichen Bedingung zu kolorieren, dass die Blätter jeder Blüte in der Reihenfolge des Farbkreises Rot → Orange → Gelb → Grün → Blau → Violett oder umgekehrt Rot → Violett → Blau → Grün → Gelb → Orange angeordnet sind. So vermutete er, dass dies nicht möglich sei. Frage: Hat Christoph Recht?

Antwort

Christoph vermutete richtig. Ein Beweis ist gar nicht schwierig. Schauen wir uns dafür zwei einander überlappende Blüten an, wie sie zahlreich in der Blume des Lebens vorkommen, und färben wir sie so, dass sie beide im Uhrzeigersinn dem Farbkreis entsprechen:

Drei üperlappende Blüten, davon in gleicher Richtung zwei koloriert

Die zwei ausgemalten Blüten erfüllen alle Bedingungen. Wir sehen aber auch, dass dadurch automatisch zwei benachbarte Blütenblätter einer weiteren Blüte unten rechts festgelegt werden, hier rot und gelb. Ihre Farben sind im Farbkreis nicht benachbart, sodass die dritte Blüte – egal wie wir sie weiter ausmalen – die Vorgabe nicht mehr erfüllen kann.

Wenn zwei im Farbkreis gleicher Drehrichtung kolorierte, überlappende Blüten Probleme machen, könnte es dann mit entgegengesetzter Drehrichtung klappen? Schauen wir mal:

Drei üperlappende Blüten, davon zwei in entgegengesetzter Richtung eingefärbt

Durch die zwei überlappenden Blüten mit Färbung in entgegengesetzter Drehrichtung werden in der benachbarten Blüte rechts unten zwei Blütenblätter mit derselben Farbe belegt. So kann es mit dem Farbkreis gar nicht mehr gelingen.

Wie man es auch dreht und wendet – drei einander gegenseitig überlappende, sechsblättrige Blüten lassen sich nicht mit dem Farbkreis färben und somit auch nicht die Blume des Lebens. ∎