Ein Satz über zwei Kotangens im Dreieck

Die Abschnitte einer durch den Höhenfußpunkt geteilten Dreiecksseite verhalten sich zueinander wie die Kotangens der benachbarten Innenwinkel, wenn der Höhenfußpunkt nicht mit einem Eckpunkt des Dreiecks zusammenfällt.✻ Mit den Bezeichnungen aus Abbildung 1 lässt sich der Satz elegant in drei Formeln ausgedrückt:

$$\begin{aligned} \frac{a_B}{a_C}&=\frac{\cot\beta}{\cot\gamma}& \frac{b_A}{b_C}&=\frac{\cot\alpha}{\cot\gamma}& \frac{c_A}{c_B}&=\frac{\cot\alpha}{\cot\beta} \end{aligned}$$

Man kann die Gleichungen freilich auch umstellen, zum Beispiel so:

$$\begin{aligned} \frac{a_B}{\cot\beta}&=\frac{a_C}{\cot\gamma}& \frac{b_A}{\cot\alpha}&=\frac{b_C}{\cot\gamma}& \frac{c_A}{\cot\alpha}&=\frac{c_B}{\cot\beta} \end{aligned}$$
Abbildung 1: Die Höhenfußpunkte des Dreiecks ABC teilen dessen Seiten a, b und c in je zwei Abschnitte.

Beweisskizze

Für den Fall, dass die benachbarten Innenwinkel spitz sind, ist der Beweis schnell erbracht.

Abbildung 2: In diesem Dreieck sind die Winkeln α und β spitz.

In den rechtwinkligen Teildreiecken ALC und BCL aus Abbildung 2, wobei L den Fußpunkt der Höhe auf c bezeichnet, gelten laut Definition des Kotangens die beiden Gleichungen:

$$\begin{aligned} \frac{c_A}{h_C}&=\cot\alpha&\frac{c_B}{h_C}&=\cot\beta \end{aligned}$$

Teilt man die eine durch die andere Gleichung, kann man hC wegkürzen und es bleibt:

$$\frac{c_A}{c_B}=\frac{\cot\alpha}{\cot\beta}$$
Abbildung 3: Bei stumpfem Winkel β sind die Punkte B und L vertauscht, sodass cB ein negatives Vorzeichen erhält.

In Abbildung 3 ist β aber stumpf. Dort gilt für den Quotienten aus cB und hC zunächst:

$$\frac{-c_B}{h_C}=\cot\beta^\prime$$

Da aber $\beta^\prime=\pi-\beta$ ist und stets $\cot(\pi-x)=-\cot x$ gilt, ist

$$\frac{-c_B}{h_C}=-\cot\beta$$

Multipliziert man beide Seiten dieser Gleichung noch mit −1, gelangt man zur selben Formel wie für einen spitzen Winkel und fährt entsprechend fort.

✻ Wenn der Höhenfußpunkt mit einem Eckpunkt zusammenfällt, ist der anliegende Innenwinkel des Dreiecks ein rechter. Dann ist sowohl der Kotangens des Winkels null als auch eine „Teilstrecke“ der geteilten Seite null, während die andere „Teilstrecke“ die ganze Seite ausmacht. Die Gleichungen würden in dem Fall eine Division durch null enthalten.