Hergeleitet: Zerlegung einer Funktion in eine gerade und eine ungerade Komponente

Eine Funktion heißt gerade, wenn ihr Graph im kartesischen Koordinatensystem bezüglich der Ordinatenachse achsensymmetrisch ist. Mit einer Formel ausgedrückt ist eine Funktion $g$ eine gerade Funktion, wenn für alle $x$ aus dem Definitionsbereich

$$g(x)=g(-x)$$

(1)

erfüllt ist. Beispiele für gerade Funktionen sind die konstanten Funktionen wie $x\mapsto 1$, die Betragsfunktion $x\mapsto |x|$, die einfache quadratische Funktion $x\mapsto x^2$ und die Kosinusfunktion $x\mapsto \cos(x)$ mit den reellen Zahlen als Definitions- und Wertebereich.

Eine Funktion $u$ heißt ungerade, wenn für alle $x$ in ihrem Definitionsbereich die Gleichung

$$u(x)=-u(-x)$$

(2)

erfüllt ist. Geometrisch interpretiert ist eine Funktion ungerade, wenn sie bezogen auf den Koordinatenursprung punktsymmetrisch ist. Beispiele mit den reellen Zahlen als Definitions- und Wertebereich sind die identische Abbildung $x\mapsto x$, die Vorzeichenfunktion $x\mapsto \mathrm{sgn}(x)$, die einfache kubische Funktion $x\mapsto x^3$ und die Sinusfunktion $x\mapsto \sin(x)$.

**Abbildung**: Der rote Graph $y=x^2-2$ ist achsensymmetrisch bezüglich der y-Achse; er gehört zu einer geraden Funktion. Der grüne Graph $y=\frac{x}{2}$ ist punktsymmetrisch bezogen auf den Ursprung des Koordinatensystems; er gehört zu einer ungeraden Funktion. Der blaue Graph gehört zu einer weder geraden noch ungeraden Funktion.

Als ich erstmals davon hörte, fand ich den Umstand überraschend und spannend, dass sich jede Funktion $f$ (mit einem bezüglich der Ordinate symmetrischen Definitionsbereich) als Summe einer geraden und einer ungeraden Funktion darstellen lässt:

$$f(x)=g(x)+u(x)$$

(3)

Im Folgenden leite ich die Formeln für die gerade Komponente $g$ und die ungerade Komponente $u$ einer beliebigen Funktion $f$ her. Zunächst sei statt $x$ nun $-x$ als Argument der Funktionen in der obigen Gleichung eingesetzt:

$$f(-x)=g(-x)+u(-x)$$

(4)

Nun werden die linken Seiten der Gleichungen (3) und (4) miteinander addiert, um die linke Seite einer neuen Gleichung zu produzieren; ebenso werden die rechten Seiten der Gleichung (3) und (4) addiert, um die rechte Seite einer neuen Gleichung zu produzieren. Das gibt:

$$f(x)+f(-x)=g(x)+u(x)+g(-x)+u(-x)$$

(3) + (4)

Mithilfe der Gleichungen (1) und (2) lässt sich die rechte Seite dieser neuen Gleichung zusammenfassen. Übrig bleibt:

$$f(x)+f(-x)=2g(x)$$

(5)

Nach $g(x)$ umgestellt ist das schon die Formel für die gerade Komponente der Funktion $f$:

$$g(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}$$

(6)

Man setze dieses Resultat in Gleichung (3) ein:

$$f(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}+u(x)$$

(6) in (3)

Umgestellt nach $u(x)$ ist das:

$$u(x)=f(x)-\frac{f(x)+f(-x)}{2}$$

(7)

Zwecks Kürze sei die rechte Seite noch auf einen Nenner gebracht. Schon ist sie da, die Formel für die ungerade Komponente von $f$:

$$u(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}$$

(8)

Um sich der Formeln (6) und (8) zu vergewissern, empfehle ich, sie zur Probe in die Gleichungen (1) bis (3) einzusetzen und auf Korrektheit zu überprüfen.