Winkel im Dreieck in geometrischer Folge

Nach dem Artikel zu Dreieckseiten in geometrischer Folge liegt es nahe, auch alle Dreiecke zu betrachten, deren Innenwinkel eine geometrische Folge bilden. So erstelle ich auf dieser Seite die Fingerabdrücke eben jener Eigenschaft von Dreiecken, wobei der Winkel γ ohne Beschränkung der Allgemeinheit als größter der Winkel angenommen wird.

π/7 2π/7 4π/7
Abbildung 1: Ein Dreieck mit Innenwinkeln in geometrischer Folge – in diesem Beispiel misst der große Winkel das Doppelte des mittleren und der mittlere das Doppelte des kleinen Winkels.

Wenn wir über Innenwinkel von Dreiecken in der Geometrie der Ebene sprechen, ist ein bestimmter Satz über die Summe der Innenwinkelsumme fast immer von großer Bedeutung: Die drei Innenwinkel ergeben zusammen in jedem Dreieck immer einen Halbwinkel, das heißt 180° beziehungsweise im Bogenmaß π.

$$\alpha+\beta+\gamma=\pi$$
(1)

Eine geometrische Folge bilden die Innenwinkel α, β, γ, wenn das Verhältnis von γ zu β jenem von β zu α gleicht, also

$$\frac{\gamma}{\beta}=\frac{\beta}{\alpha}$$
(2)

α-β-Diagramm

Multipliziert man Gleichung (2) beidseitig mit β, erhält man $\gamma=\frac{\beta^2}{\alpha}$ und kann γ im Innenwinkelsatz (1) entsprechend ersetzen:

$$\alpha+\beta+\frac{\beta^2}{\alpha}=\pi$$
(3)

Zieht man auf beiden Seiten π ab und nimmt mit α mal, wird daraus:

$$\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2-\pi\alpha=0$$
(4)

Diese Gleichung beschreibt eine Ellipse in einem kartesischen Koordinatensystem mit α- und β-Achsen. Aus der Gleichung lassen sich Eigenschaften der Ellipse berechnen:

EigenschaftWert
große Halbachse$\frac{\pi\sqrt{6}}{3}$
kleine Halbachse$\frac{\pi\sqrt{2}}{3}$
Koordinaten des Mittelpunktes$\left(\frac{2\pi}{3};-\frac{\pi}{3}\right)$
Drehwinkel der Hauptachse bezüglich der Abszisse$-\frac{\pi}{4}$

Die Formeln dafür können in der englischen Wikipedia nachgelesen werden. Mit diesen Daten und einem geeigneten Programm kann man alle Dreiecke mit Winkeln in geometrischer Folge als Ellipsenbögen ins α-β-Diagramm schon einzeichnen lassen.

Abbildung 2: Der obere bläuliche Ellipsenbogen repräsentiert alle Dreiecke mit Innenwinkeln α, β, γ in geometrischer Folge. Der untere Ellipsenbogen tut dasselbe für Dreiecke mit einer geometrischen Folge der Winkel β, α, γ – das sind die Spiegelbilder der erstgenannten. Zum Vergleich sind alle rechtwinkligen Dreiecke orange eingezeichnet.

Ich möchte aber auch zwei Ansätze vorstellen, um Punktpaare auf dem Ellipsenbogen zu errechnen. Einerseits lässt sich β in Abhängigkeit von α ermitteln. Dafür löst man Gleichung (4) mittels der p-q-Formel nach β auf:

$$\beta_{1,2}=-\frac{\alpha}{2}\pm\sqrt{\frac{\alpha^2}{4}-\alpha^2+\pi\alpha}$$
(5)

Aus dem Plusminus wird hier ein einfaches Plus, da im Dreieck β nicht negativ sein kann. Zusammengefasst:

$$\beta=-\frac{\alpha}{2}+\sqrt{\pi\alpha-\frac{3}{4}\alpha^2}$$
(6)

Andererseits kann man die oben ermittelten Eigenschaften der Ellipse nutzen, um eine Parametergleichung für die Ellipse aufzustellen:

$$\begin{bmatrix} \alpha\\ \beta \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{2\pi}{3}+\frac{\pi}{\sqrt{3}}\cdot\cos t +\frac{\pi}{3}\cdot\sin t\\ -\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{\sqrt{3}}\cdot\cos t +\frac{\pi}{3}\cdot\sin t \end{bmatrix}$$
(7)

mit $t\in [0,2\pi)$ für die ganze Ellipse, während wir für unsere Berechnung im Diagramm nur $t\in\left[\frac{5\pi}{6},\frac{7\pi}{6}\right)$ benötigen. Mithilfe einer Perle der Formelsammlung zur Trigonometrie kann man dies hierzu verkürzen:

$$\begin{bmatrix} \alpha\\ \beta \end{bmatrix}=\frac{2\pi}{3}\begin{bmatrix} \sin\left(t+\frac{\pi}{3}\right)+1\\ \sin\left(t-\frac{\pi}{3}\right)-\frac{1}{2} \end{bmatrix}$$
(8)

x-y-Diagramm

Im x-y-Diagramm wird ein jedes Dreieck durch einen Punkt repräsentiert, dessen Koordinaten x und y den Verhältnissen der Seitenlängen a zu c und b zu c entsprechen. Wie im Artikel zu den Fingerabdrücken von Dreieckseigenschaften dargelegt ist, kann man x und y stets aus α und β errechnen:

$$\begin{aligned} x&=\frac{\sin\alpha}{\sin(\alpha+\beta)}\\ y&=\frac{\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)} \end{aligned}$$
(9)

Daraus ergibt sich einerseits die Parametergleichung

$$\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \dfrac{\sin(\alpha)}{\sin\left(\frac{\alpha}{2}+\sqrt{\pi\alpha-\frac{3}{4}\alpha^2}\right)}\\ \dfrac{\sin\left(-\frac{\alpha}{2}+\sqrt{\pi\alpha-\frac{3}{4}\alpha^2}\right)}{\sin\left(\frac{\alpha}{2}+\sqrt{\pi\alpha-\frac{3}{4}\alpha^2}\right)} \end{bmatrix}\;\textrm{ mit }\;\alpha\in\left(0,\frac{\pi}{3}\right]$$
(10)

und andererseits:

$$\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \dfrac{\sin\left(\frac{2\pi}{3}\left(\sin\left(t+\frac{\pi}{3}\right)+1\right)\right)}{\sin\left(\frac{2\pi}{3}\left(\sin t+\frac{1}{2}\right)\right)}\\ \dfrac{\sin\left(\frac{2\pi}{3}\left(\sin\left(t-\frac{\pi}{3}\right)-\frac{1}{2}\right)\right)}{\sin\left(\frac{2\pi}{3}\left(\sin t+\frac{1}{2}\right)\right)} \end{bmatrix}\;\textrm{ mit }\;t\in\left[\frac{5\pi}{6},\frac{7\pi}{6}\right)$$
(11)

Beide führen zum gleichen Ergebnis:

Abbildung 3: Der obere Ast des bläulichen Graphen repräsentiert alle Dreiecke mit Innenwinkeln α, β, γ in geometrischer Folge. Der untere Ast leistet dasselbe für Dreiecke mit einer geometrischen Folge β, α, γ. Alle rechtwinkligen Dreiecke sind zum Vergleich orange eingezeichnet.

Rechtwinklig und in geometrischer Folge

Die beiden Schnittpunkte der blauen und orangen Graphen in der zweiten und dritten Abbildung symbolisieren Dreiecke, deren Innenwinkel eine geometrische Folge bilden und einen rechten Winkel unter sich haben. Das folgende Bild vergleicht ein solches Dreieck (blau) mit einem Kepler-Dreieck (rot).

c / b = b / a = √ϕ γ / β = β / α = ϕ
Abbildung 4: Im rechtwinkligen roten Dreieck bilden die Seiten eine geometrische Folge (Kepler-Dreieck), im rechtwinkligen blauen Dreieck bilden die Innenwinkel eine geometrische Folge.

Der Quotient einer geometrischen Folge der Innenwinkel in einem rechtwinkligen Dreieck ist der goldene Schnitt ϕ, also:

$$\frac{\gamma}{\beta}=\frac{\beta}{\alpha}=\phi$$
(12)

Beweis

In einem rechtwinkligen Dreieck misst der größte Winkel per Definition $\frac{\pi}{2}$ im Bogenmaß beziehungsweise 90°. Das ist genau die Hälfte der Innenwinkelsumme. Also sind die beiden kleineren Winkel zusammen genauso groß wie der große: $\alpha+\beta=\gamma$. Ersetzt man γ dementsprechend in Gleichung (2), der Definition der geometrischen Folge der Winkel, erhält man

$$\frac{\alpha+\beta}{\beta}=\frac{\beta}{\alpha}$$
(13)

was wiederum der Definition des goldenen Schnitts entspricht. ∎


Das Vektrografikformat SVG bietet dafür Kommandos.