Römische Zahlen ↔ alphabetischer Zähler

Wir können Listen mit verschiedenen Zählerarten nummerieren, beispielsweise mit indisch-arabischen Ziffern und dem Dezimalsystem 1, 2, 3, …, 9, 10, 11, … oder mit dem lateinischen Alphabet A, B, C, …, Z, AA, AB, … oder mit dem römischen Zahlensystem I, II, III, IV, V, VI, ….

Wenn wir die Werte dieser Symbole für einen Moment ignorieren und uns nur die verwendeten Zeichen anschauen, sehen wir, dass die römischen Ziffern eine Teilmenge des lateinischen Alphabets sind. Ferner nutzt der alphabetische Zähler jede mögliche Kombination von Buchstaben. Daher gibt es zu jeder römischen Zahlendarstellung eine gleich aussehende Zahl im lateinisch-alphabetischen Zähler.

Beispielsweise taucht die römische Ziffer für eins, I, auch im lateinisch-alphabetischen Zähler auf und repräsentiert dort die neun, da I der neunte Buchstabe im Alphabet ist. V ist eine römische fünf und zugleich der zweiundzwanzigste Buchstabe im Alphabet. DC ist eine römische sechshundert und ebenso einhundertsieben im lateinisch-alphabetischen Zähler.

Ich habe eine Tabelle mit allen römischen Zahlen von eins (I) bis 3999 (MMMCMXCIX) und den Werten, die dieselben Darstellungen besitzen, wenn man sie als lateinisch-alphabetische Zahlen interpretiert, zusammengestellt:

Schau Dir die Tabelle an!

Wie macht man das?

Es gibt keinen universell befolgten Standard zum Schreiben römischer Zahlen. Beispielsweise steht auf Zifferblättern von Uhren oft IIII statt IV wie oben bei mir. Einigen wir uns also zunächst auf eine Konvention. Ich wählte jene für Zählerarten in Cascading Style Sheets (CSS). Dies entspricht genau dem, was ich über römische Zahlen in der Schule lernte, auch wenn die Erklärung etwas abweicht.

Schritt 1

Die CSS-Spezifikation definiert dreizehn jeweils aus ein bis zwei Buchstaben bestehende römische Symbole und ihre Werte, die ich hier als Dezimalzahl angebe. Wenn Du eine natürliche Zahl auf die römische Art schreiben möchtest, beginnst Du in der Tabelle links beim ersten Symbol M.

SymbolMCMDCDCXCLXLXIXVIVI
Wert1000900500400100905040109541
Tabelle 2: Römische Zahlensymbole und ihre Werte

Wenn Deine Zahl mindestens genauso groß wie der Wert des aktuellen Symbols ist, schreibst Du das Symbol auf und verringerst Deine Zahl um den Wert des Symbols, andernfalls hüpfst Du nach rechts zum nächsten Symbol. Wiederhole dies, bis Deine Zahl null ist.

Auf diese Weise schreibst Du Deine ursprüngliche Zahl in römischer Form auf. Ist einfach, oder? Das ist der erste Schritt. Im zweiten Schritt wird die niedergeschriebene Zeichenfolge als lateinisch-alphabetische Darstellung interpretiert und ihr Wert berechnet.

Schritt 2

Das alphabetische Zahlensystem ist wie unser Dezimalsystem ein Stellenwertsystem, jedoch ohne null. Seine Ziffern sind die Buchstaben A bis Z, die den Werten 1 bis 26 entsprechen. Um römische Zahlen umzudeuten, benötigst Du aber nur eine kleine Teilmenge von ihnen:

ZifferCDILMVX
Wert34912132224
Tabelle 3: Auswahl von Ziffern des lateinisch-alphabetischen Systems

Den Wert einer alphabetischen Zahl berechnest Du, indem Du den Wert jeder Ziffer mit ihrem Stellenwert in der Zahl multiplizierst und all diese Produkte addierst. Der Stellenwert der Stelle ganz rechts ist 260 = 1, der Wert der zweiten Stelle von rechts ist 261 = 26, der Wert der dritten Stelle von rechts 262 = 676. Im Allgemeinen ist der Wert der n-ten Stelle von rechts 26n−1.

Beispiel: 54

Verwirrt? Dann hilft ein Beispiel. Lass uns die römische Darstellung von vierundfünfzig finden.

Suche in Tabelle 2 jenes Symbol, das kleiner oder gleich unserer Zahl vierundfünfzig ist und so weit wie möglich links steht. Das wäre L. Schreibe L auf und verringere unsere Zahl um den Wert von L, fünfzig. Übrig bleibt vier. Nun finde das am weitesten links stehende Symbol, dessen Wert kleiner oder gleich unserer Zahl vier ist. Das ist IV. Schreibe IV auf und reduziere unsere Zahl um den Wert von IV, vier. Damit bleibt null übrig und wir sind fertig mit dem ersten Schritt. Du hast LIV aufgeschrieben, ebenso hätten Römer vierundfünfzig notiert:

LIV

Nun denke Dir LIV als lateinisch-alphabetische Zahlendarstellung. Beginne mit der Ziffer an ihrem rechten Ende, V, um ihren Wert zu berechnen. Tabelle 3 gibt den Wert von V als 22 an. Multipliziere das mit dem Stellenwert der Stelle ganz rechts, 260.

22 ⋅ 260 = 22

Nun gehe eine Stelle nach links zu I, wobei der Stellenwert auf 261 steigt. Der Ziffernwert von I ist 9. Multipliziere beide Werte:

9 ⋅ 261 = 234

Der Stellenwert steigt auf 262, wenn Du nochmals eine Stelle nach links gehst, wo wir L vorfinden, das einen Ziffernwert von 12 hat. Dementsprechend ist das Produkt:

12 ⋅ 262 = 8112

Addiere zu guter Letzt 22 + 234 + 8112 und Du erhältst den Wert von LIV, interpretiert als lateinisch-alphabetische Zahl:

8368