Zur Einteilung des Tages in Zeitabschnitte

Von 2017 an werde ich einen neuen Kalender nutzen. Dazu wurde ich gefragt, ob ich auch ein neues Uhrzeitsystem einführen wolle – das habe ich nicht vor. Trotzdem zeige ich auf dieser Seite, wie eine Neuunterteilung des Tages in Zeitabschnitte aussehen könnte oder gar müsste, wenn man bestimmte Ansprüche an eine neue Uhrzeit stellt. Dabei spielen Primzahlen eine entscheidende Rolle!

Ansprüche

Jede Zeiteinheit soll von konstanter Länge sein. Jede Stunde soll also genauso lang wie jede andere Stunde dauern.[1] Was selbstverständlich klingen mag, wurde im antiken Mittelmeerraum, aber auch im europäischen Mittelalter gern anders gehandhabt. Man unterteilte den lichten Tag und die Nacht in jeweils zwölf Stunden. Von hell zu dunkel sowie mit den Jahreszeiten schwankten die Längen der Stunden.

Eine längere Zeiteinheit soll stets ein ganzzahliges Vielfaches der kürzeren Zeiteinheiten sein. Eine Stunde soll beispielsweise nicht 59,3 Minuten, sondern glatte 59 oder 60 oder eine andere ganze Zahl an Minuten umfassen. Auch das erscheint uns bei der Uhrzeit selbstverständlich, aber im gregorianischen Kalender dauert beispielsweise nur der Februar eine ganze Zahl an Wochen.

Zu guter Letzt soll die Unterteilung des Tages auf der Sekunde basieren, wie sie im Internationalen Einheitensystem (SI) festgelegt ist. Dieser Anspruch an eine neue Zeiteinteilung ist wohl weniger einleuchtend und schließt Reformvorschläge wie die Dezimalzeit der Französischen Revolution, die ebenso dezimale Swatch-Internetzeit und die Hexadezimalzeit von John Nystrom aus.

Ich denke, dass die Übernahme der SI-Sekunde für Zeitangaben im Alltag nicht zwingend ist. Es hat Vorteile und Nachteile. Ohne diese Einschränkung könnte der Artikel allerdings hier enden, weil es endlos viele Möglichkeiten gäbe, mit der Unterteilung fortzufahren, die Deiner Fantasie überlassen bleiben. Die SI-Sekunde zu übernehmen beschränkt die Optionen ausreichend für eine umfassende Betrachtung.

Sekunden je Tag

Anhand unserer gewohnten Zeiteinteilung lassen sich die Sekunden pro Tag leicht ausrechnen:

24 Stunden/Tag · 60 Minuten/Stunde · 60 Sekunden/Minute = 86400 Sekunden/Tag

Dem Fundamentalsatz der Arithmetik zufolge ist jede ganze Zahl größer als 1 eine Primzahl oder lässt sich bis auf die Reihenfolge eindeutig in Primfaktoren zerlegen. 86400 ist keine Primzahl, schließlich wissen wir bereits, dass die Zahl auch durch 24, 60, (24 · 60) sowie (60 · 60) teilbar ist. Die Primfaktoren der Zahl sehen so aus:

2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 5 · 5 = 86400

Man kann dies kurz wie folgt zusammenfassen:

27 · 33 · 52 = 86400

Die Primfaktorzerlegung hat herausragende Bedeutung. Wenn wir die 86400 Sekunden des Tages für eine neue Zeiteinteilung in positive ganze Faktoren unterteilen, können diese neuen Faktoren nur aus denselben Primfaktoren (oder 1) zusammengesetzt sein. Wir müssen mit sieben Zweien, drei Dreien und zwei Fünfen arbeiten. Ein Produkt aus anderen Bausteinen kann keinen ganzen Tag ergeben.

Eine Zwischenstufe

Bevor wir schauen, wie man den Tag neu in Stunden, Minuten und klassische Sekunden aufteilen kann, betrachten wir den einfachen Fall mit nur einer Stufe zwischen Tag und Sekunde. Wir können sie Intervall nennen und nehmen eine Unterteilung dieser Art vor:

X Intervalle/Tag · Y Sekunden/Intervall = 86400 Sekunden/Tag

Wie viele Möglichkeiten gibt es, X und Y unterschiedlich zu besetzen? Es gibt acht Möglichkeiten, die sieben Zweien der Primfaktorisierung von 86400 aufzuteilen: X kann keine, eine, zwei, drei, vier, fünf, sechs oder sieben Zweien erhalten, Y bekommt die übrigen. Symbolisieren lässt sich das durch einen Trennstrich an einer der eingekreisten Ziffern der folgenden Zeile:

2 2 2 2 2 2 2

Bei der Aufteilung der drei Dreien und zwei Fünfen können wir genauso verfahren, wobei es dort jeweils nur vier beziehungsweise drei Möglichkeiten zur Aufteilung gibt:

3 3 3
5 5

Beispiel:

2 2 2 2 2 │ 2 2
3 3 │ 3
│ 5 5

Alle Primfaktoren links der Trennstriche ergeben X = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = 288 Intervalle pro Tag. Die Primfaktoren rechts der Trennstriche ergeben Y = 2 · 2 · 3 · 5 · 5 = 300 Sekunden pro Intervall.

Berücksichtigen wir alle Kombinationen der acht Positionen zur Aufteilung der Zweien mit den vier Positionen zur Aufteilung der Dreien und den drei Positionen zur Aufteilung der Fünfen, erhalten wir insgesamt 96 Möglichkeiten, X und Y zu besetzen.[2]

8 · 4 · 3 = 96

Neustunden und Neuminuten

Nun zur Unterteilung des Tages in Neustunden, Neuminuten und klassische Sekunden. Wir suchen Möglichkeiten, um X, Y und Z mit positiven, ganzen Zahlen in dieser Gleichung zu belegen:

X Neustunden/Tag · Y Neuminuten/Neustunde · Z Sekunden/Neuminute = 86400 Sekunden/Tag

Auch hier lassen sich alle Möglichkeiten finden, indem wir Trennstriche zwischen die Primfaktoren von 86400 setzen. Statt je einen Strich bei den Zweien, Dreien und Fünfen setzen wir jetzt je zwei Trennstriche. Was links beider Striche ist, geht an X; was zwischen den Strichen ist, geht an Y; was rechts beider Striche ist, geht an Z.

Beispiel:

2 2 │ 2 2 2 2 │ 2
3 ║ 3 3
│ 5 │ 5

Daraus werden X = 2 · 2 · 3 = 12 Neustunden je Tag und Y = 2 · 2 · 2 · 2 · 5 = 80 Neuminuten je Neustunde sowie Z = 2 · 3 · 3 · 5 = 90 Sekunden je Neuminute.

Während wir bei einem Trennstrich und zum Beispiel den drei Dreien vier mögliche Positionen fürs Setzen des Striches fanden, können wir bei zwei Trennstrichen sowohl den ersten als auch den zweiten Strich jeweils auf eine der vier Positionen setzen. Ergibt das 4 · 4 = 16 Kombinationen allein für Trennstriche bei den Dreien?

3 3 3

Nein, denn die Reihenfolge der Striche macht keinen Unterschied: Ob wir zuerst einen Strich an Position und dann einen bei setzen oder erst bei und dann bei , ist für die Aufteilung der Primfaktoren auf X, Y und Z egal und ergäbe folglich dieselbe Zeiteinteilung. Zum Vermeiden der Doppelzählung können wir festlegen, dass der zweite Strich nicht links vom ersten gesetzt werden darf.

║ 3  3  3 │ 3 │ 3  3 │ 3  3 │ 3 │ 3  3  3 │
 3 ║ 3  3  3 │ 3 │ 3  3 │ 3  3 │
 3  3 ║ 3  3  3 │ 3 │
 3  3  3 ║

Bei zwei Trennstrichen und vier möglichen Positionen ergeben sich wie in der Tabelle dargestellt 1 + 2 + 3 + 4 = 10 Kombinationen. Allgemein gibt es bei zwei Trennstrichen und p Positionen 1 + 2 + … + p Kombinationen und es gilt:

1 + 2 + … + p = (p + 1) · p2

Das Ergebnis dieser „Gaußschen“ Summenformel ist stets eine sogenannte Dreieckszahl. (Beachte die dreieckige Anordnung der Varianten in der Tabelle.) Bei acht Trennstrich-Positionen zur Aufteilung der Zweien, vier Positionen zur Aufteilung der Dreien und drei Positionen zur Aufteilung der Fünfen erhalten wir insgesamt 2160 verschiedene Möglichkeiten, X, Y und Z zu belegen.[3]

(8 + 1) · 82 · (4 + 1) · 42 · (3 + 1) · 32 = 2160

Eine günstige Unterteilung der Zeiteinheiten?

Auch ohne alle 2160 Möglichkeiten anzuschauen, den Tag neu in Stunden, Minuten und SI-Sekunden aufzuteilen, kann man über einige naheliegende Wünsche sagen, ob sie funktionieren. Dabei hilft der Blick auf die kanonische Darstellung der Primfaktoren:

27 · 33 · 52 = 86400

Kann man den Tag in n Neustunden à n Neuminuten à n SI-Sekunden teilen?

Das heißt, gibt es eine ganze Zahl n, für die folgende Gleichung gilt?

n · n · n = n3 = 86400

Nein. Das wäre genau dann der Fall, wenn die Exponenten der Primfaktoren in der kanonischen Darstellung 27 · 33 · 52 allesamt durch drei teilbar wären, was auf die Exponenten 7 und 2 nicht zutrifft.

Kann man die Neustunde in 100 Neuminuten zu je 100 SI-Sekunden teilen?

Eine Aufteilung der Stunde in 100 · 100 Sekunden läge uns, die wir vom Dezimalsystem geprägt und im metrischen System mit Einheitenvorsätzen wie hekto und centi vertraut sind, nahe. Doch es gilt 100 = 22 · 52 und daher 100 · 100 = 24 · 54. Wir bräuchten demnach vier Fünfen für eine solche Aufteilung, finden unter den Primfaktoren von 86400 aber nur zwei Fünfen. Näher als

(3 · 3) · (2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3) · (2 · 2 · 5 · 5) = 9 · 96 · 100 = 86400

kommen wir einer dezimalen Aufteilung nicht.

Kann man die Neustunde in 1000 SI-Sekunden teilen?

Mit dem fast gleichen Argument wie zur vorigen Frage ist das zu verneinen. 1000 = 23 · 53, wir bräuchten also drei Fünfen, haben unter den Primfaktoren von 86400 aber nur zwei davon. Man könnte auch schlicht sagen: 86400 ist nicht durch 1000 teilbar.

Kann man den Tag in n Neustunden à n Neuminuten à 100 SI-Sekunden teilen?

Gibt es also eine natürliche Zahl n, welche die folgende Gleichung löst?

n · n · 100 = n2 · 100 = 86400

Nein, denn in kanonischer Darstellung sind die Exponenten der Primfaktoren von n2 und ebenfalls von 100 = 22 · 52 gerade, aber die kanonische Darstellung der Primfaktoren von 86400 = 27 · 33 · 52 weist die ungeraden Exponenten 7 und 3 auf.

Mit den gegebenen Ansprüchen sagt mir persönlich keine mögliche Aufteilung des Tages signifikant besser als die gewohnten 24 Stunden à 60 Minuten à 60 Sekunden zu. Einen gewissen Reiz des Kuriosen verspüre ich bei der Aufteilung

25 Neustunden/Tag · 27 Neuminuten/Neustunde · 128 Sekunden/Neuminute = 86400 Sekunden/Tag

weil es sich bei diesen Zahlen um die reinen Primzahlpotenzen 25 = 52 und 27 = 33 sowie 128 = 27 handelt. Doch praktisch fände ich nicht, sich für jede Zeiteinheit eine andere Anzahl an Untereinheiten merken zu müssen, welche den Tag, die Neustunde oder die Neuminute voll macht. Im gewohnten System ist jene Anzahl immerhin zweimal die gleiche: 60.


[1]
Anmerkung für Physiker: … ohne Berücksichtigung relativistischer Effekte.
[2]
Bei zwei der 96 Möglichkeiten, nämlich wenn die Trennstriche in der Zweier-, Dreier- und Fünfer-Zeile allesamt links oder allesamt rechts sind, haben wir es auf einer Seite mit einem leeren Produkt zu tun. Das leere Produkt ist per Definition immer 1, sodass sich die Aufteilungen 1 · 86400 und 86400 · 1 ergeben. Freilich ist das ohne praktischen Nutzen, den Tag in genau ein Intervall oder ein Intervall in genau eine Sekunde zu „unterteilen“.
[3]
Auch hier begegnen wir bei mehreren der 2160 Möglichkeiten leeren Produkten. Siehe [2].