Eins plus eins muss nicht zwei sein

Seilbahn über den Rhein in Koblenz (Foto von Wolkenkratzer, CC BY-SA 3.0)

„Du musst nur eins und eins zusammenzählen …“, sagt man, wenn eine Schlussfolgerung sich deutlich aufdrängt: 1 + 1 = 2 ist ein beliebtes Beispiel für Selbstverständlichkeiten, ähnlich wie die Frage „Ist der Papst katholisch?“. Doch 1 + 1 muss nicht 2 sein, wenn man die klassische Arithmetik verlässt.

Beispiel: Wasser in der Badewanne

Wir wollen wissen, wie viel Wasser sich in einer zuvor leeren Badewanne mit einem Volumen von 1,4 Hektolitern findet, wenn wir den Abfluss verstöpseln, dann einen Hektoliter Wasser einfließen lassen und schließlich einen weiteren Hektoliter Wasser nachgießen. Die dazu passende Rechnung sieht so aus:

1 + 1 = 1,4

Die Rechnung fällt in das Gebiet der Sättigungsarithmetik, hier mit einer oberen Grenze von 1,4 Hektolitern. Bei 1,4 Hektolitern Wasser ist die Badewanne gesättigt und nimmt keine größere Menge auf, auch wenn man mehr hinzufügt. So ist das Ergebnis und die Antwort auf unsere Frage 1,4 Hektoliter.

Beispiel: Umlaufseilbahn der Gartenbauschau

Wir wollen wissen, wie viele Stationen wir uns von unserem Ausgangspunkt entfernt haben, wenn wir in die Koblenzer BUGA-Umlaufseilbahn einsteigen, eine Station fahren, aussteigen, uns an den Pflanzen des Frühlings erfreuen, wieder einsteigen, eine Station weiterfahren und erneut aussteigen. Die Rechnung:

1 + 1 = 0

Nach zwei Stationen Fahrt ist man am Ausgangspunkt! Für diese Zahlenkunst gibt es mehrere Bezeichnungen: Restklassen- oder Uhrenarithmetik, Rechnen mit Kongruenzen, zirkuläre oder modulare Arithmetik … In Koblenz rechnen wir modulo zwei. Das heißt, wir addieren klassisch und nehmen dann den Rest bei der Division durch zwei als Ergebnis.

Modulare und Sättigungsarithmetik bei Digitalbildern

Foto mit simulierter Überbelichtung und Sättigungsgrenze 255 in allen 8-Bit-Farbkanälen

Digitalkameras arbeiten typischerweise mit einer Sättigungsgrenze. Treffen mehr Lichtteilchen auf einen Sensorpixel, als der zugehörige Zähler erfassen kann, wird der maximal erfassbare Wert verzeichnet. In den betroffenen Bildteilen gehen die Strukturen verloren – man findet große, einheitlich weiße Flächen vor.

Foto mit simulierter Überbelichtung, alle Farbkanäle modulo 256

In einer Modulo-Kamera würde der Zähler, wenn er seinen Maximalwert erreicht hat, hingegen wieder bei null anfangen und weiterzählen. Dadurch entsteht ein psychedelisch anmutendes Bild, in dem allerdings weniger Informationen verlorengehen. Im Beispiel sind Wellenrippel im überbelichteten Fluss noch zu erkennen.

Mit vernünftigen Annahmen über die Natur – beispielsweise, wo eher kontinuierliche Übergänge als abrupte Sprünge auftreten – lässt sich aus der überbelichteten Modulo-Aufnahme eine naturgetreue Darstellung quasi vollständig rekonstruieren, was bei der gesättigten Aufnahme nicht gelingen kann.