Reste durch 3 geteilter Quadratzahlen

Beim ganzzahligen Teilen von Quadratzahlen durch 3 fiel mir auf, dass ich solche ohne Rest und solche mit Rest 1, aber keine mit Rest 2 fand. Erschütternd ist dieser Fund nicht und keinesfalls neu, aber nicht selbstverständlich und insofern interessant. Auf dieser Seite beweise ich, dass die Erkenntnis tatsächlich für alle Quadratzahlen stimmt – und das sind immerhin unendlich viele.

Grundbegriffe

Eine natürliche Zahl ist eine der Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 und so weiter ohne Ende. Ich nehme auf dieser Seite auch die Zahl 0 zur Menge der natürlichen Zahlen hinzu.

Eine Quadratzahl ist eine Zahl, die man erhält, wenn man eine natürliche Zahl mit sich selbst multipliziert. 16 ist zum Beispiel eine Quadratzahl, „denn vier mal vier ist sechzehn“, und 49 ist eine Quadratzahl, „denn sieben mal sieben macht neunundvierzig“, wie sogar kleine Bären wissen. Wenn man eine Zahl mit sich selbst multipliziert, spricht man daher auch vom Quadrieren.

Ganzzahliges Teilen nennt man auch Division mit Rest. 16 geteilt durch 3 ergibt beispielsweise 5 Rest 1, weil in die Sechzehn maximal drei Fünfen beziehungsweise fünf Dreien passen (5 + 5 + 5 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15) und dann noch eine Eins fehlt, um die Sechzehn voll zu machen (15 + 1 = 16). 25 geteilt durch 3 ergibt 8 Rest 1, denn 8 mal 3 plus 1 ist 25.

Restklassen

Für jede beliebige natürliche Zahl b kann man b = a ⋅ 3 + r schreiben, wobei a ebenfalls natürlich und r entweder 0, 1 oder 2 ist. a findet man, wenn man b ganzzahlig durch 3 teilt, und r ist der dabei übrig bleibende Rest. Anhand einiger Beispiele wird das schnell deutlich:

$$\begin{aligned} 0&=0\cdot3+0\\ 1&=0\cdot3+1\\ 2&=0\cdot3+2\\ 3&=1\cdot3+0\\ 4&=1\cdot3+1\\ 5&=1\cdot3+2\\ 6&=2\cdot3+0\\ 7&=2\cdot3+1\\ 8&=2\cdot3+2\\ 9&=3\cdot3+0\\ 10&=3\cdot3+1 \end{aligned}$$

Je nachdem welchen Wert der Rest r annimmt, kann man damit alle natürlichen Zahlen auf drei sogenannte Restklassen aufteilen. Zahlen, die der Form a ⋅ 3 + 0 gehorchen (0, 3, 6, 9, …), bilden eine Restklasse. Zahlen, die der Form a ⋅ 3 + 1 gehorchen (1, 4, 7, 10, …), bilden die nächste Restklasse. Zahlen, die der Form a ⋅ 3 + 2 gehorchen (2, 5, 8, 11, …), bilden die dritte Restklasse.

Restklassen von Quadratzahlen

Als Nächstes wird geschaut, was mit den Zahlen jeder Klasse passiert, wenn man sie quadriert. Ich beginne mit Zahlen der Form a ⋅ 3 + 0:

$$(a\cdot 3+0)^2 = (a\cdot 3)^2 = a^2\cdot 3^2 = (a^2\cdot 3)\cdot 3+0$$

Ich habe den Ausdruck von der linken Seite ausgehend, ohne ihn inhaltlich zu verändern, so umgeformt, dass auf der rechten Seite (…) ⋅ 3 + 0 steht. Die Berechnung in der Klammer ergibt eine natürliche Zahl – welche genau, ist unerheblich. Es genügt zu sehen, dass das Ergebnis von der gleichen Form wie a ⋅ 3 + 0 ist. Zahlen, die durch drei geteilt den Rest 0 haben, behalten diese Eigenschaft also bei, wenn man sie quadriert.

Nun das gleiche Spiel mit der nächsten Restklasse: Was passiert, wenn man Zahlen der Form a ⋅ 3 + 1 quadriert? Bei der folgenden Umformung mache ich von der ersten binomischen Formel Gebrauch.

$$\begin{aligned} (a\cdot 3+1)^2 &= (a\cdot 3)^2+2\cdot (a\cdot 3)\cdot 1+1^2 \\ &= a^2\cdot 3^2+2\cdot a\cdot 3+1 \\ &= (a^2\cdot 3+2\cdot a)\cdot 3+1 \end{aligned}$$

Das Ergebnis hat die Form (…) ⋅ 3 + 1. Auch Zahlen, die durch drei geteilt den Rest 1 haben, behalten diese Eigenschaft also bei, wenn man sie quadriert. Nun zur letzte Klasse von Zahlen der Form a ⋅ 3 + 2:

$$\begin{aligned} (a\cdot 3+2)^2 &= (a\cdot 3)^2+2\cdot (a\cdot 3)\cdot 2+2^2 \\ &= a^2\cdot 3^2+4\cdot a\cdot 3+4 \\ &= (a^2\cdot 3+4\cdot a+1)\cdot 3+1 \end{aligned}$$

Das Ergebnis hat wieder die Form (…) ⋅ 3 + 1. Zahlen, die durch drei geteilt den Rest 2 haben, behalten diese Eigenschaft beim Quadrieren also nicht! Ihre Quadratzahlen haben stattdessen den Rest 1.

Zusammenfassung

Jede Quadratzahl ist das Ergebnis einer Multiplikation einer natürlichen Zahl mit sich selbst. Natürliche Zahlen haben, wenn man sie ganzzahlig durch 3 teilt, entweder den Rest 0 oder 1 oder 2. Multipliziert man diese Zahlen mit sich selbst, haben die jeweils resultierenden Quadratzahlen bei Division durch 3 den Rest 0 oder 1 oder 1. Quadratzahlen, die durch 3 geteilt einen Rest 2 haben, gibt es nicht – was zu beweisen war.

Die Kommentarfunktion kann gern für Fragen genutzt werden.


Es gibt übrigens keinen besonderen Grund, nur das ganzzahlige Teilen durch 3 und nur Quadratzahlen zu betrachten. Wie wäre es zum Beispiel mit Kubikzahlen geteilt durch 7? Die möglichen Kombinationen sind endlos, sodass sich ein allgemeinerer Blickwinkel empfiehlt, den ich in weiteren Artikeln einnehmen werde.

Kommentare

  1. Habt Ihr das jetzt auch verstanden? Also so wie ich? Ich habe ja schon vor einigen Jährchen die Schule verlassen (also regulär) und Mathe fiel immer nicht so ganz leicht. Aber hier, das geht einem doch ein. Also zumindest mir.
    So einen Mathelehrer wie Herrn Martin hätte ich gern haben mögen – vielleicht wäre mein Leben ganz anders verlaufen.

    Jutta

  2. Danke für die freundlichen Worte, Jutta, auch wenn man das bestimmt noch anschaulicher erläutern kann.

    Grundsätzlich fände ich schön, wenn im Matheunterricht Beweise mehr Raum einnehmen könnten. Mathematik kann ein nützliches Werkzeug sein, zum Beispiel in fast jeder Wissenschaft, in der Wirtschaft oder im Ingenieurswesen. Das ist alles sehr löblich und richtig, aber diese Anwendungen machen nicht das Wesen der Mathematik aus. Beweise sind viel besser geeignet, um dieses Wesen kennen und schätzen zu lernen, als das Berechnen von Lösungen für Beispielaufgaben mithilfe von Formeln, die einem als zu akzeptierender Fakt in die Hand gedrückt wurden.

    Nicht jeder Beweis mag schön sein, aber es gibt wunderschöne unter ihnen, und es lohnt, sie zu zeigen. Auch wäre es erfreulich, Schülern öfter die Zeit zu geben, gegebenfalls mit Hilfestellung selbst Sachverhalte zu beweisen, findet

    Martin

  3. (15 + 1 = 16)

    Findest Du aktuell auf IGLO - Fischstäbchen, heute in der Kühltruhe entdeckt im Supermarkt.
    Wollte mal Seemann werden.

    Der 16. ist mein Geburtstag und die 49(0)-er Reihe eine alte Tarnzahl.
    Immmer wenn ich das Haus verlassen, schaue ich auf eine große weiße 49 an einem Baum gemalt, in verlängerter Linie nach Perleberg zeigend.

    tom - bletchley - room 40