Mathematische Skizzen und Symbole
Erläuterungen zu einer Wandtafel auf dem Golmer Universitätsgelände

Im August fragte ich nach der Bedeutung der Symbole und Skizzen aus dem mathematischen Bereich auf dieser Tafel in Golm. Es folgt die Auflösung links oben beginnend und weiter gegen den Uhrzeigersinn.

a² + b² = c²

Diese Formel ist gewiss eine der berühmtesten überhaupt. Der Satz des Pythagoras besagt: Wenn man in der Ebene die Seitenlängen eines Dreiecks mit a, b und c bezeichnet, ist die Summe der Quadrate von a und b genau dann gleich dem Quadrat von c, wenn der c gegenüberliegende Winkel ein rechter Winkel ist.

±

Mit dem Plusminuszeichen ± wird oft angedeutet, dass sowohl die Variante mit Plus als auch die Variante mit Minus eine Gleichung erfüllt. Beispielsweise kann man die ganzzahligen Lösungen der Gleichung a × a = 4 so schreiben: a = ±2. Das heißt, sowohl die Zahl 2 löst die Gleichung als auch die Zahl −2.

Obacht: In der Technik wird mit dem Plusminuszeichen auch ein Toleranzbereich signalisiert. So könnte ein Auftraggeber eine Stange mit einer Länge von 1500mm ± 3mm anfordern. Damit ist gemeint, dass die Stange mindestens 1497 und höchstens 1503 Millimeter lang sein soll. Anders als bei der mathematischen Verwendung erfüllen dann auch alle Werte zwischen beiden Grenzen die Aufgabe.

Venn-Diagramm

Mit einem Venn-Diagramm werden alle möglichen Beziehungen einer bestimmten Anzahl von Mengen durch einander überlappende Figuren, zum Beispiel Kreise, grafisch dargestellt.

In einem Venn-Diagramm können Regionen auch leer bleiben – nämlich dann, wenn zwei Mengen keine gemeinsamen Elemente haben. Das unterscheidet Venn-Diagramme beispielsweise von Euler-Diagrammen. In Euler-Diagrammen werden die Figuren immer so gezeichnet, dass sie einander dann und nur dann überlappen, wenn die Schnittmengen nicht leer sind.

α, β, γ und φ

α, β, γ sind die ersten drei Kleinbuchstaben des griechischen Alphabets. Von α und β, das sind alpha und beta, leitet sich übrigens unser Wort Alphabet ab. Der dritte Buchstabe γ heißt gamma. In der Geometrie bezeichnen Mathematiker mit griechischen Kleinbuchstaben gerne Winkel. Aber die Buchstaben halten auch für andere Anwendungen her. Mit dem Buchstaben φ, phi, wird unter anderem der Goldene Schnitt bezeichnet.

√a² = |a|

Der absolute Betrag wird hier als Quadratwurzel des Quadrates einer Zahl definiert. Man kann den Betrag auch so definieren: Der absolute Betrag einer reellen Zahl a ist −a, wenn a negativ ist, und ansonsten a selbst.

Dreieck mit Inkreis

In jedem Dreieck gibt es genau einen Kreis, der alle drei Seiten des Dreiecks je einmal berührt. Der Mittelpunkt dieses Kreises ist gleich dem Schnittpunkt der (in der Grafik auf der Tafel nicht eingezeichneten) drei Geraden, welche die Innenwinkel des Dreiecks halbieren.

Zirkel

Der Zirkel ist ein Gerät zum Zeichnen von Kreisbögen. Konstruktionen mit Zirkel und Lineal sind eine beliebte Disziplin in der Geometrie. Allerdings lässt sich mit Lineal und Zirkel nicht alles konstruieren, was man gerne konstruieren möchte. Die sprichwörtliche Quadratur des Kreises, das heißt zu einem gegebenen Kreis ein Quadrat gleicher Fläche zu konstruieren, woran sich Menschen gut zweitausend Jahre lang die Zähne ausbissen, ist mit Zirkel und Lineal unmöglich. Der Beweis gelang im 19. Jahrhundert.

Gerader Kreiskegel

Die Mantelfläche von Kreiskegeln kennt man von Schultüten und Zaubererhüten. Interessant ist die Schnittkante, wenn man die Mantelfläche des Kegels mit einem geraden Schnitt teilt. Schneidet man dabei nicht durch die Kegelspitze, handelt es sich abhängig vom Schnittwinkel beim Kegelschnitt entweder um einen Kreis, eine Ellipse, eine Parabel oder einen Hyperbel-Ast. All diese Kurven spielen in der Mathematik, in der Technik, aber auch in der Natur eine große Rolle. Man denke beispielsweise an die Bahnen von Planeten und Kometen.

Σ

Das große griechische Sigma verwenden Mathematiker meist als Summenzeichen. Mit ihm lassen sich viele lange Additionen kompakt notieren. Ein erstes Beispiel:

Das bedeutet: Während k in Einerschritten von 0 bis 10 läuft, addieren wir jedes Mal k. Anders ausgedrückt: Summe aller natürlichen Zahlen von 0 bis 10, also 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10. Das Ergebnis ist 55. Hier ein anderes, etwas komplexeres Beispiel:

steht für

und ohne Ende immer weiter. Um alle Terme auszuschreiben, bräuchte man unendlich viel Tinte und Platz, aber mit dem Summenzeichen ist es kein Problem. Übrigens lässt sich auch das Ergebnis dieser unendlichen Addition problemlos notieren: ½.

Wahrscheinlichkeitsdichte?

Im unteren Teil der Tafel findet sich ein Diagramm, in welchem die Fläche unter einem Graphen mit waagerechten und senkrechten Strichen schraffiert wurde. Die Kurve könnte eine Wahrscheinlichkeits­dichte­funktion darstellen – oder auch etwas anderes. Schreibe einen Kommentar, wenn Du mehr weißt!

Eine berühmte Wahrscheinlichkeits­dichte­funktion, mit der wir es hier jedoch nicht zu tun haben, ist die Gaußsche Normalverteilung mit der Glockenkurve als Graphen. Jene hat eines mit dieser und allen anderen Dichtefunktionen gemeinsam: Die Fläche unter ihr beträgt genau eins, im Volksmund 100 % genannt. Das kann man so interpretieren: Nimmt man alle möglichen Ausgänge eines Zufallsexperimentes zusammen, ist der tatsächliche Ausgang des Experimentes darin mit 100-prozentiger Sicherheit enthalten.

√x

Die Quadratwurzel einer reellen Zahl x ist diejenige positive Zahl, die mit sich selbst multipliziert x ergibt. Es gibt mehrere Wege die Quadratwurzel einer Zahl zu ermitteln. Zwei Wege habe ich selbst gefunden und bewiesen, wenn auch nicht als erster, wie der Name der Formel von Bombelli verrät. Die zweite Methode ist eine Konstruktion mit Lineal und Zirkel.

α + β + γ = 180°

In der Geometrie der Ebene, auch euklidische Geometrie genannt, kommt man stets auf 180°, wenn man die drei Innenwinkel eines Dreiecks addiert. Die Gleichung gilt allerdings nicht mehr, wenn man die Ebene verlässt, und stattdessen Dreiecke auf gekrümmten Oberflächen vermisst.

Wer mit dem Flugzeug vom Nordpol auf kürzestem Weg (südwärts) nach Macapá an der brasilianischen Atlantikküste fliegt, von dort auf kürzestem Weg (ostwärts) nach Makoua in der Republik Kongo fliegt und von dort direkt nach Norden steuert, landet wieder an seinem Ausgangspunkt, dem Nordpol. Das abgeflogene Dreieck besitzt eine Innenwinkelsumme von etwa 90° + 90° + 66,7° = 246,7°.

Lineal

Ein Lineal ist ein Utensil mit gerader Kante. Führt man einen Stift an ihm entlang, kann man eine Gerade aufs Papier zeichnen. Auf Linealen, wie sie im Schreibwarenladen verkauft werden, sind zudem oft Skalen zum Messen von Längen angebracht. Wenn von der Konstruktion mit Zirkel und Lineal die Rede ist, ist allerdings ein Lineal ohne Markierungen gemeint. Messen ist da nicht erlaubt.

Bestimmtes Integral

Ein bestimmtes Integral wird meist so symbolisiert:

Für eine Anwendung des bestimmten Integrals siehe Fläche unter einer Funktion. Aber was steckt dahinter und wie berechnet man es? Ich fürchte, eine leicht verständliche Einführung in Differenzial- und Integralrechnung würde den Rahmen dieses Artikels sprengen. Ich reiße es nur an.

Die Graphen vieler Funktionen – Kurven in einem Koordinatensystem – haben an jeder Stelle eine Steigung. Die Kurve ist flach, steigt an oder fällt ab, mal steiler, mal weniger steil. Diese Steigung kann man wie auf einem Warnschild im Straßenverkehr als Zahl angeben. Wenn die Kurve ansteigt, hat die Zahl ein positives Vorzeichen, bei Gefälle ein negatives. Trägt man für jede Stelle einer Kurve ihre Steigungszahl in ein Koordinatensystem ein, erhält man eine neue Kurve, eine neue Funktion. Diese neue Funktion nennt man die Ableitung der ursprünglichen Funktion. Umgekehrt ist die ursprünglichen Funktion eine Stammfunktion ihrer Ableitung.

Wenn wir mit F eine Stammfunktion der gegebenen Funktion f bezeichnen, dann lässt sich obiges Integral als Differenz der Werte von F an den Stellen b und a berechnen:

Taschenrechner

Taschenrechner begeisterten bereits Jahrzehnte vor Smartfonen und Klapprechnern Menschen mit einer Schwäche für Digitalanzeigen. Matt Parker und Brady Haran haben eine Reihe aufregender Videos produziert, in denen Matt verschiedenste jungfräuliche Taschenrechner auspackt, um sie auf Herz und Nieren zu testen – mit dem Klassiker 1 ÷ 0, fiesen Tricks wie 1 ÷ 9 × 9 sowie Wasser, Feuer und schweren Autos. Wenn Englischkenntnisse vorhanden sind, steht einem romantischen Videoabend zu zweit nichts mehr im Weg: Calculator Unboxings.

Übrigens: Für eine Gleichung wie 9 − 2a = 9a + 2 ist die Lösung a = 7/11 perfekt. Häufig erliegen ganz normale Menschen, denen ein Taschenrechner in die Hände fällt, der Versuchung, in denselben noch 7 ÷ 11 einzutippen und als Lösung a = 0,63636363… ab- und aufzuschreiben. Das ist überflüssig. a = 7/11 ist toll.

Würfel

Ein Würfel ist ein geometrischer Körper mit sechs gleich großen Quadraten als Begrenzungsflächen, von denen jeweils drei in einer der acht Ecken des Körpers rechtwinklig aufeinandertreffen. Man nennt den Würfel auch (regelmäßiges) Hexaeder, was Sechsflächer bedeutet. Der Würfel ist einer von genau fünf Platonischen Körpern: durch immer gleiche regelmäßige Vielecke begrenzte konvexe Körper größtmöglicher Symmetrie.

Polygon

Am Rand der Tafel ist nur der Eckpunkt A₄ und ein Teil einer schraffierten Fläche zu sehen. Sie gehören zu einem unregelmäßigen Polygon, auch Vieleck oder n-Eck genannt.

%

Das Prozentzeichen steht für Hundertstel, nicht mehr und nicht weniger. 7/100 oder 0,07 zu schreiben wäre nicht schlechter als 7 %. Im Gegenteil hielte ich es für besser, auf das Prozentzeichen zu verzichten, denn das Prozentzeichen erweckt den Eindruck einer Besonderheit, wo nichts Besonderes ist. Dadurch wird das Prozentzeichen zur Hürde beim Übertragen von Erlerntem auf neue Sachverhalte. Es kommt vor, dass Menschen, die Prozentrechnung halbwegs verinnerlicht haben, beispielsweise mit Promille (Tausendstel) oder anderen Brüchen nicht umgehen können, weil sie „Promillerechnung nicht hatten“. Wäre es nicht besser, statt Prozentrechnung schlicht Rechnen zu lernen?

Zu den hässlichen Blüten des Umgangs mit Prozenten gehört für mich, wenn in Formeln wie zur Zinsrechnung mal 100 oder durch 100 auftaucht, damit die Formel dann richtige Ergebnisse liefert, wenn man beim Einsetzen von Werten nicht beachtet, dass Prozent für Hundertstel steht. Das macht Formeln nicht nur länger und schwieriger zu merken, sie sind plötzlich auch für nichts anderes als Prozente mehr tauglich, obwohl sich kein Sachverhalt in der Realität dafür interessiert, ob wir ihn in Drittel, Sechzehntel oder Hundertstel unterteilen. Solche Formeln bilden nicht mehr den reinen Sachverhalt ab, sondern vermischen ihn mit einer willkürlichen Art und Weise des Umgangs mit ihm.

Prozente haben in der Praxis nur deshalb eine gewisse Relevanz, weil wir sie benutzen. Sie besitzen aber keine inhärente Bedeutsamkeit. Würden wir Kontakt mit intelligenten Außerirdischen herstellen, würden wir mit großer Wahrscheinlichkeit feststellen, dass auch sie addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren. Sie kennen vermutlich den Satz des Pythagoras, wissen um die immer gleiche Innenwinkelsumme im Dreieck der Ebene und können etwas mit Integralrechnung anfangen. Dass sie Prozentrechnung betreiben, ist hingegen höchst unwahrscheinlich!

Fläche unter einer Funktion

Möchte man die Fläche zwischen der x-Achse und dem Graphen einer stetigen Funktion oberhalb jener Achse in einem Intervall berechnen, hilft einem die Integralrechnung. Im Beispiel auf der Tafel wäre

Wie man diesen Ausdruck berechnet? Siehe bestimmtes Integral.

×

In Formeln wird als Malzeichen der Mittelpunkt ⋅ oder ein kleines Kreuz × verwendet. Oft verzichtet man auch aufs Malzeichen – so steht ab zum Beispiel für a mal b. Meist ist es unerheblich, auf welche Schreibweise man zurückgreift, doch in manchen Fachgebieten wie der Vektorrechnung werden Punkt und Kreuzchen mit unterschiedlichen Bedeutungen genutzt.

Winkelmesser

Abgebildet ist ein Teil einer Kombination aus 180°-Winkelmesser und Lineal, wie man es im Schreibwarenladen findet. Mathematiker verwenden für Winkel aus gutem Grund oft das Bogenmaß statt des Gradmaßes. 360° entsprechen im Bogenmaß 2π (gesprochen: zwei pi) beziehungsweise 1τ (ein tau).

Logarithmische Spirale

Es gibt verschiedene Spiralarten. Bei der Tonspur einer Schallplatte handelt es sich beispielsweise um eine archimedische Spirale. Abgebildet ist aber eine logarithmische Spirale, die man in der Natur auf verschiedenen Größenskalen findet: in Gehäusen von Weichtieren, in tropischen Wirbelstürmen und in Galaxien wie der Milchstraße. Charakteristisch für logarithmische Spiralen: Jede Gerade durch den Pol (Ursprung) einer logarithmischen Spirale schneidet die Spirale immer im gleichen Winkel.

Als ich mir vornahm, Symbole und Skizzen auf dieser Tafel am Universitätsstandort Golm zu erläutern, nahm ich naiverweise an, Menschen aus der Universität hätten sie gestaltet oder in Auftrag gegeben. Tatsächlich handelt es sich um eine Stock-Vektorgrafik von Martina Vaculikova (Kytalpa), wie eine Bildersuche im Netz ergab.