Ist der Winkel größer als ein Halbkreis?

Auf dieser Seite leite ich her, wie man berechnen kann, ob in der Ebene ein Winkel zwischen drei Punkten mit bekannten Koordinaten größer oder kleiner als ein gestreckter Winkel ist. Wer grundsätzlich nicht mit überstreckten Winkeln arbeitet, würde sagen: … wie man berechnen kann, welche Drehrichtung der Winkel hat. Beides läuft auf denselben Ausdruck hinaus.

Ein naheliegender Ansatz zur Lösung wäre, den genauen Wert des Winkels auszurechnen und zu schauen, ob das Ergebnis größer oder kleiner als die 180° beziehungsweise π rad eines Halbkreises ist. Dagegen spricht wenig, aber die im Folgenden entwickelte Formel erfordert einen geringeren Rechenaufwand.

Noch eine Warnung vorweg: Wer meinen Artikel zur Berechnung, ob zwei Punkte auf derselben Seite einer Geraden liegen, gelesen hat, könnte hier eine Déjà-vu-Erlebnis haben.

Abbildung 1: Drei Punkte A, B, C bilden einen Winkel ABC mit B als Scheitelpunkt. C wirft senkrecht einen „Schatten“ C' auf die Verlängerung des Schenkels AB.

Gegeben sind drei Punkte mit Koordinaten $A(x_A;y_A), B(x_B;y_B), C(x_B;y_B)$. Gesucht ist, ob der Winkel ABC einen gestreckten Winkel übersteigt. Zunächst notiere ich für jene Gerade, die den ersten Schenkel AB verlängert, eine Geradengleichung in Zweipunkteform. Dabei ist vorübergehend die Bedingung $x_A\neq x_B$ zu berücksichtigen, um eine Division durch null zu vermeiden:

$$y=\frac{y_A-y_B}{x_A-x_B}(x-x_B)+y_B$$

Den „Schatten“, der auf jener Gerade genau senkrecht über oder unter C liegt, nenne ich C'. Er hat die gleiche x-Koordinate wie C. Seine y-Koordinate kann man berechnen, indem man die x-Koordinate in die Geradengleichung einsetzt:

$$y_{C'}=\frac{y_A-y_B}{x_A-x_B}(x_C-x_B)+y_B$$

Nun kann ich von der y-Koordinate von C die y-Koordinate von C' abziehen. Das Vorzeichen dieser Differenz verrät, ob der Punkt C über (positiv) oder unter (negativ) der Geraden liegt:

$$y_C-y_{C'}=y_C-\frac{y_A-y_B}{x_A-x_B}(x_C-x_B)-y_B$$

Dass dies gleichbedeutend mit der Aussage sein kann, ob der Winkel kleiner (positiv) oder größer (negativ) als ein gestreckter Winkel ist, werden Sie feststellen, wenn Sie sich wie in der ersten Abbildung den Punkt A rechts von B fixiert vorstellen, C aber herumbewegen. Allerdings gilt das nicht im Allgemeinen.

In Abbildung 2 sind die Punkte vertauscht; insbesondere liegt der erste Punkt A nun links des Scheitelpunktes B. In jenem Fall ist es anders herum: Wenn C über der Gerade liegt, ist der Winkel größer als ein gestreckter Winkel; wenn C unter der Gerade liegt, ist der Winkel kleiner als ein gestreckter Winkel.

Abbildung 2: Hier ist ein Winkel ABC gegen den Uhrzeigersinn größer als ein gestreckter Winkel, das heißt größer als die 180° bzw. π rad eines Halbkreises.

Im nächsten Schritt sollen beide Fälle zu einem einzigen verschmolzen werden. Dafür soll im zweiten Fall, wenn A links von B oder anders ausgedrückt $x_A<x_B$ ist, das Vorzeichen umgekehrt werden. Um das zu erreichen, multipliziere ich beide Seiten der Gleichung mit $(x_A-x_B)$, was zugleich den Bruch beseitigt:

$$(y_C-y_{C'})(x_A-x_B)=y_C(x_A-x_B)-(y_A-y_B)(x_C-x_B)-y_B(x_A-x_B)$$

Da auf beiden Seiten einer Gleichung stets Gleiches steht, brauche ich nur deren rechte Seite zu berechnen. Ausgeklammert sieht der Ausdruck für den Winkel ABC wie folgt aus:

$$(y_C-y_B)(x_A-x_B)-(y_A-y_B)(x_C-x_B)$$

Der Klarheit halber sei noch einmal gesagt: Wenn dieser Ausdruck positiv ist, dann ist der Winkel kleiner als ein gestreckter Winkel. Wenn der Ausdruck negativ ist, dann ist der Winkel größer als ein gestreckter Winkel. Ist der Ausdruck null, liegen alle Punkte auf einer Geraden und der Winkel ist null, gestreckt oder voll.

Wenn man mit Winkeln zwischen −180° und 180° beziehungsweise −π und π statt mit Winkeln zwischen 0° und 360° oder 0 und 2π arbeitet, gilt: Wenn der Ausdruck positiv ist, dann ist der Winkel im mathematischen Sinn positiv. Wenn der Ausdruck negativ ist, dann ist der Winkel ebenfalls negativ.

Übrigens: Der Winkeltest gibt auch das korrekte Ergebnis aus, wenn $x_A=x_B$ ist, was am Anfang noch ausgeschlossen wurde. Dies zu zeigen bleibt dem Leser als Übung überlassen. ;-)