Wurzeln ziehen mit Zirkel und Lineal

Als ich erstmals im Netz auf die Spirale des Theodorus stieß, die man auch Wurzelschnecke nennt, war ich fasziniert davon, wie einfach sich durch Wiederholung der Grundidee Quadratwurzeln aller natürlichen Zahlen konstruieren lassen. Die Freude über das Gelernte erweckte in mir aber sogleich eine Frage: Wie könnte man mit Zirkel und Lineal die Quadratwurzel aus einer beliebigen positiven reellen Zahl ziehen?

Damals hatte ich keine Idee, wie ich mich der Lösung des Problems nähern könnte. Doch kürzlich, als ich eine geometrische Konstruktion an einer Pyramide nachrechnete, fielen mir ein paar Zahlen besonders auf,[1] was mich letztendlich zu einer Lösung des alten Problems führte. Ob es der einfachste Ansatz ist? Ich weiß es nicht. Es mag viele andere geben.

Die gefundene Konstruktion arbeitet zwar zunächst nur mit Zahlen zwischen 0 und 2, es ist aber kein Problem, das Ergebnis mit einer Wurzelspirale analog zu jener des Theodorus auf jede positive Zahl zu erweitern. Doch genug der Vorrede, nun erst einmal zur Konstruktion mit Zirkel und Lineal, bevor ich erläutere, warum sie das gewünschte Ergebnis liefert.

Abbildung 1: Konstruktion der Quadratwurzel einer Zahl s mit Lineal und Zirkel.
Ausgangslage
Zu Beginn liegt waagerecht eine Grundlinie mit den Markierungen 0, 1, und s vor, die man sich als Teil des Zahlenstrahls denken kann. Gesucht wird √s.
Schritt 1, Zirkel
Im ersten Schritt werden Kreise um die Stellen 0 und 1 auf der Grundlinie gezogen. Der Radius kann frei gewählt werden, solange beide Kreise denselben Radius aufweisen und sie groß genug sind, um einander zu schneiden.
Schritt 2, Lineal
Durch die Schnittpunkte der beiden Kreise aus dem ersten Schritt wird nun eine Gerade gezogen: die senkrechte Hilfslinie. Sie schneidet die Grundlinie rechtwinklig an der Stelle ½.
Schritt 3, Zirkel
Um den Schnittpunkt der Grundlinie mit der senkrechten Hilfslinie werden zwei Kreise gezogen: Der erste Kreis so, dass er durch die Stellen 0 und 1 auf der Grundlinie geht, und der zweite Kreis so, dass er durch die Stelle s auf der Grundlinie geht. Für s = ½ siehe Sonderfall.
Schritt 4, Zirkel
Nun wird um den oberen Schnittpunkt der senkrechten Hilfslinie mit dem ersten Kreis aus dem dritten Schritt ein Kreis gezeichnet, der wiederum durch die Stellen 0 und 1 auf der Grundlinie geht.
Schritt 5, Lineal
Mit dem Lineal wird eine Gerade gezogen, die durch die Stelle s auf der Grundlinie sowie für s > ½ durch den oberen bzw. für s < ½ durch den unteren Schnittpunkt der senkrechten Hilfslinie mit dem zweiten Kreis aus dem dritten Schritt geht.
Schritt 6, Zirkel
Um die Stelle 0 auf der Grundlinie wird nun ein Kreis gezogen, der durch die Schnittpunkte der Geraden aus dem fünften Schritt mit dem Kreis aus dem vierten Schritt geht.
Schluss
Die Lösung √s findet sich im Schnittpunkt der Grundlinie mit dem Kreis aus dem sechsten Schritt.

Sonderfall ½

Möchte man die Quadratwurzel aus ½ ziehen, wird man feststellen, dass man in Schritt 3 nur einen der beiden Kreise ziehen kann – der andere hätte den Radius 0. Das ist aber kein Grund zu verzagen. Im Gegenteil: In diesem Fall ist man schneller am Ziel. So geht es weiter:

Sonderfallschritt, Zirkel
Um die Stelle 0 auf der Grundlinie wird ein Kreis gezogen, der durch die Schnittpunkte der senkrechten Hilfslinie mit dem zeichenbaren, ersten Kreis aus Schritt 3 geht.
Sonderfallschluss
Die Lösung √½ findet sich im Schnittpunkt der Grundlinie mit dem Kreis aus dem Sonderfallschritt.

Wieso funktioniert diese Konstruktion?

Von entscheidender Bedeutung für die Konstruktion ist, dass es Zahlenpaare x und y gibt, für die gilt:

$$x^2+y^2=x+y$$

Schnell kommt man auf den Gedanken, dass diese Gleichung erfüllt wird, wenn x und y gleich 0 oder 1 sind. Um aber eine Vorstellung von der gesamten reellen Lösungsmenge zu erhalten, baue ich die Gleichung etwas um. Zunächst ziehe ich x und y auf beiden Seiten der Gleichung ab und addiere beiderseits ½. Das ergibt:

$$x^2+y^2-x-y+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$$

Nun gruppiere ich dieses Resultat neu:

$$\left(x^2-x+\frac{1}{4}\right)+\left(y^2-y+\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{2}$$

Auf die Klammerausdrücke wende ich die zweite binomische Formel an. Auf der rechten Seite ziehe ich die Wurzel und quadriere gleich wieder zum Ausgleich. Das ergibt:

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\left(y-\frac{1}{2}\right)^2=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2$$

Was hier steht, ist die sogenannte Koordinatengleichung eines Kreises mit dem Radius $\frac{1}{\sqrt{2}}$ und dem Mittelpunkt (½, ½) im gewohnten, kartesischen Koordinatensystem. Das ist jener Kreis, der in Schritt 4 der Konstruktion mit Lineal und Zirkel entsteht. Er repräsentiert die Lösungsmenge der Gleichung $x^2+y^2=x+y$.

Abbildung 2: Nimmt man die Grundlinie als x-Achse und denkt sich die y-Achse hinzu, hat man ein kartesisches Koordinatensystem. Der blaue Kreis aus Schritt 4 ist darin der Graph der Gleichung $x^2+y^2=x+y$. Grau eingezeichnet ist die Gerade y = −x + s aus Schritt 5. Grün und orange ist angedeutet, dass die Summe aus x- und y-Koordinate eines Schnittpunkts von Gerade und Kreis gleich s ist.

Für jeden Punkt (xy) im kartesischen Koordinatensystem gilt, dass die Länge der Strecke von diesem Punkt zum Ursprung den Wert $\sqrt{x^2+y^2}$ hat. Das ergibt sich direkt aus dem Satz des Pythagoras. Allerdings lässt sich dank der Eigenschaft $x^2+y^2=x+y$ der Punkte auf dem Kreis aus Schritt 4 deren Abstand zum Ursprung auch einfach mit $\sqrt{x+y}$ berechnen.

Wenn ich einen Punkt (xy) auf dem Kreis finden kann, dessen Koordinaten sich zu x + y = s addieren, dann habe ich, was ich wollte: Für seinen Abstand zum Ursprung gilt:

$$\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{x+y}=\sqrt{s}$$

Erfreulicherweise ist es nicht schwer, so einen Punkt zu finden. Liegt s zwischen 0 und 2, dann finden sich gleich zwei solcher Punkte als Schnittpunkte des Kreises mit der Geraden y = −x + s, deren Gleichung ja nichts anderes als eine umgestellte Variante der Forderung x + y = s ist. Es ist diese Gerade, die in Schritt 5 der Konstruktion mit Zirkel und Lineal entsteht.

Quadratwurzeln aus Zahlen größer als 2

Um √s zu konstruieren, wenn s größer als 2 ist, kann man zunächst eine Zerlegung s = n + r vornehmen, wobei n eine natürliche Zahl ist und r im Intervall von 0 bis 2 liegt. Anstatt die Quadratwurzel aus s direkt zu konstruieren, konstruiert man wie oben beschrieben zuerst die Quadratwurzel aus r, um dann eine Wurzelschnecke mit n weiteren Stufen zu konstruieren, deren erste Stufe Katheten der Längen 1 und √r aufweist. An dieser ersten Stufe entsteht die Hypotenuse $\sqrt{r+1}$, an der n-ten Stufe die Hypotenuse $\sqrt{r+n}=\sqrt{s}$.


[1]
Mir fiel beim Berechnen des Ausdrucks $\left(\frac{2}{5}\right)^2+\left(\frac{6}{5}\right)^2$ ins Auge, dass er nichts anderes als $\frac{2}{5}+\frac{6}{5}$ ergibt. Interessant, nicht wahr?