Eine Konstruktion zu Cheops’ Pyramide

Zu Beginn des Jahres 2013 veröffentlichte ich einen Artikel mit Abmaßen und Berechnungen an der Cheops-Pyramide in Gizeh.[1] Es mag dieser Artikel sein, der Herrn Detlef Müller veranlasste, mir eine von ihm entdeckte Konstruktion zum Verhältnis der Seitenlänge zur Höhe der Pyramide zu senden.

Die Idee von Herrn Müller erwuchs aus einer Positionierung der Pyramide in einem Horoskop. Mit Horoskopen kenne ich mich zwar nicht aus und kann nicht einschätzen, welche astrologische Interpretation damit verbunden sein könnte. Allerdings kann man die Konstruktion auch losgelöst von Horoskopen rein mathematisch betrachten, was ich sehr gern tat und im Folgenden darstelle. Mehr über den Ansatz von Herrn Müller findet sich auf seiner Netzpräsenz www.cheopsprinzip.de.

In seiner Konstruktion wird die Cheops-Pyramide von oben betrachtet – also als quadratische Fläche – und liegt in einem größeren Quadrat mit der doppelten Seitenlänge. Am großen Quadrat werden zwei Eckpunkte jeweils mit gegenüberliegenden Seitenmittelpunkten durch Geraden so verbunden, dass sich die Geraden im rechten Winkel schneiden, wie es in Abbildung 1 dargestellt ist. Der Schnittpunkt wird E genannt.

Abbildung 1: Ein Quadrat ABCD mit dem Mittelpunkt M repräsentiert die Kanten der Pyramidengrundfläche und liegt mittig in einem gleich ausgerichteten Quadrat A'B'C'D' doppelter Seitenlänge. Der Schnittpunkt der Strecken von A' zum Mittelpunkt der Strecke B'C' und von D' zum Mittelpunkt der Strecke A'B' heißt E.[2]

Die These ist nun, dass der Abstand des Punktes E zum Mittelpunkt der Pyramidengrundfläche der Höhe der Cheops-Pyramide entspricht. Ob da etwas dran sein könnte, wollte ich rechnerisch überprüfen.

Viele Wege führen nach Gizeh, sagt das Sprichwort – ich entschied mich für jenen, ein kartesisches Koordinatensystem über die Konstruktion zu legen, wie es in Abbildung 2 dargestellt ist. In diesem galt es nun, die Koordinaten des Punktes E zu bestimmen.

Abbildung 2: Über die Objekte aus Abbildung 1 wurde ein kartesisches Koordinatensystem so gelegt, dass M im Ursprung und A bei (1, 1) liegt. Die sich in E schneidenden Strecken mit positiver und negativer Steigung erhalten die Bezeichnungen f und g.

Um die Koordinaten von E zu ermitteln, bestimmte ich zunächst Geradengleichungen für die einander in E kreuzenden Geraden f und g. Dafür ist hier die sogenannte Achsenabschnittsform besonders gut geeignet. Nach y umgestellt ergeben sich:

$$\begin{aligned} f:\quad y&=\frac{1}{2}x+1 \\ g:\quad y&=-2x+2 \end{aligned}$$

Um die x-Koordinate des Schnittpunktes E zu ermitteln, kann man die Unbekannte y eliminieren, indem man die rechten Seiten der Gleichungen gleichsetzt:

$$\frac{1}{2}x+1=-2x+2$$

Stellt man diese Gleichung um, erhält man für die x-Koordinate $x=\frac{2}{5}$. Dies in die Gleichung von f oder g eingesetzt ergibt auch die y-Koordinate des Schnittpunktes: $y=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{5}+1=\frac{6}{5}$.

Die Länge der Strecke vom Punkt $E\left(\frac{2}{5},\frac{6}{5}\right)$ zum Mittelpunkt der Pyramidengrundfläche, dem Koordinatenursprung (0, 0), berechnet sich nach dem Satz des Pythagoras als:

$$\sqrt{\left(\frac{2}{5}\right)^2+\left(\frac{6}{5}\right)^2}=\sqrt{\frac{8}{5}}$$

Die Seitenlänge der Pyramide beträgt im Koordinatensystem zweifellos 2. Für das Verhältnis aus Seitenlänge der Pyramide und der konstruierten Strecke ergibt sich somit:

$$\overline{AB}:\overline{EM}=2:\sqrt{\frac{8}{5}}$$

In der folgenden Übersicht stelle ich dieser Konstruktion einige Thesen zum Verhältnis von Seitenlänge zur Höhe der Cheops-Pyramide aus meinem anfangs erwähnten Artikel gegenüber. Angegeben ist für das Verhältnis jeweils ein genauer Ausdruck sowie zur besseren Vergleichbarkeit der auf vier Nachkommastellen gerundete, zugehörige Dezimalbruch.

Verhältnisgerundet
hiesige Konstruktion$2:\sqrt{\frac{8}{5}}$1,5811
Königsellen440 : 2801,5714
Kreiszahltheseπ : 21,5708
Goldener-Schnitt-These$2:\sqrt{\phi}$1,5723

Die Abweichungen zwischen den Thesen bewegen sich im Rahmen von knapp einem Meter oder rund sieben Tausendstel bezogen auf die Höhe der Cheops-Pyramide. Im Vergleich zu mehreren Höhenmetern, die ihr seit dem Bau abhanden gekommen sind, oder zur Höhe von mehr als einem Meter der heute außen liegenden Kalksteinblöcke ist das nicht viel. Verglichen mit Angaben von wenigen Zentimetern zu Ungenauigkeiten bei der Einebnung des Untergrunds oder den Längen der vier Pyramidenseiten[3] variieren die Thesen merklich.

Auch wenn ich den Gedanken, dass die Erbauer der Pyramide nach dieser Konstruktion vorgegangen sein könnten, nicht außerordentlich plausibel finde, mag ich die Konstruktion von Herrn Müller ob ihrer Einfachheit und Nähe zu den Verhältnissen am Bauwerk. Für ein Schlusswort verweise ich ansonsten auf das stets aktuelle Schlusswort aus dem Artikel zur Geometrie der Großen Pyramide.


Was fasziniert Sie an der Cheops-Pyramide? Haben Sie eine Meinung zu den vielfältigen Theorien über ihren Bau? Schreiben Sie Ihre Gedanken als Kommentar am Ende der Seite! Sie können mir auch eigene Theorien zur Geometrie von Pyramiden oder anderen Dingen per E-Mail senden; die Adresse steht rechts unten.


[1]
Ich veröffentlichte auch einen kleinen Nachtrag mit weiteren Wunderlichkeiten an Pyramide und Hund. :-)
[2]
Ich habe mir erlaubt, bei der Beschriftung von jener auf www.cheopsprinzip.de abzuweichen.
[3]
Cheops-Pyramide, Nivellierung und Einmessung. Wikipedia, Version vom 15. Juli 2014. Abgerufen am 31. Juli 2014.

Kommentare

  1. Im Prinzip das gleiche wie unter www.cheopsprinzip.de - mit einem Unterschied: weshalb hat das Aussenquadrat zwingend genau die doppelte Kantenlänge und nicht eine Andere? Aber bei aller Kritik - Sie habeb den Nagel auf den Kopf getroffen - meine Hochachtung!

  2. Danke, @1!

    Warum genau die doppelte Seitenlänge? Der Übersichtlichkeit halber habe ich oben nicht eingezeichnet, dass in der Konstruktion auf www.cheopsprinzip.de ein weiteres Quadrat existiert, dessen Eckpunkte sich mit den Seitenmittelpunkten des äußeren Quadrates decken. Die Eckpunkte der Pyramidengrundfläche liegen ihrerseits auf den Seitenmittelpunkten jenes zusätzlichen Quadrats. Die folgende Grafik veranschaulicht das: https://prlbr.de/ve

    Jene Anordnung besorgt, dass die Seitenlänge des zusätzlichen Quadrats √2-mal und die des äußeren Quadrats doppelt so lang wie die Pyramidenkantenlänge ist.

    Den entscheidenden Punkt E der Konstruktion könnte man auch ganz ohne äußeres Quadrat finden. Es genügt zum Beispiel, die Kanten der Pyramidengrundfläche zu vierteln, um die beiden Geraden zu zeichnen, die sich in E schneiden, wie in der nächsten Grafik zu sehen ist: https://prlbr.de/we

    In jener Grafik deute ich auch an, dass man sich alternativ nur einer dieser Geraden sowie eines Kreises bedienen könnte, welcher durch A, E, M und die Seitenmittelpunkte zweier Pyramidenkanten geht. Das ist vielleicht nicht anschaulicher, doch ein nettes Detail. Der Kreis steht nämlich in Zusammenhang mit einer Konstruktion, die ich im folgenden Artikel erläutert habe:
    https://prlbr.de/2014/quadratwurzel-konstruktion/

    Martin

  3. hallo ,- wenn ich darf -, martin. Es ist schon lange her, aber ich erinnere mich gut daran:
    wurzel aus 10 :2 macht 1,5811. So ist es.

  4. Klar @3, Du darfst und Du hast Recht. √10 : 2 drückt dasselbe Verhältnis wie 2 : √(8/5) einfacher aus. Danke!

    Martin