Formeln am Sanjiegun-Viereck

Auf dieser Seite werden ausgewählte Berechnungen am Viereck mit drei gleichen Seiten ausgeführt, welches ich nach einer traditionellen chinesischen Waffe Sanjiegun hier Sanjiegun-Viereck nennen möchte. Am Ende werden die Ergebnisse auf Spiegeldreiecke angewendet.

Abbildung 1: Sanjiegun-Viereck mit Beschriftung.

Wie es in Abbildung 1 dargestellt ist, sind in diesem Artikel die Ecken des Sanjiegun-Vierecks im Uhrzeigersinn mit A, B, C, D benannt. In ihnen liegen die Winkel α, β, γ, δ, welche jeweils durch die Diagonalen in α₁, α₂; β₁, β₂ et cetera geteilt werden. Die Seite AB weist die Länge a, die drei gleichen Seiten BC, CD und DA die Länge b auf. Die Winkel zwischen den sich in S schneidenden Diagonalen AC der Länge d₁ und BD der Länge d₂ heißen σ₁ und σ₂, wobei σ₁ der Seite AB gegenüberliegt.

Schnittwinkel der Diagonalen

Satz 1: In einem Sanjiegun-Viereck entspricht die halbe Summe der von den gleichen Seiten eingeschlossenen Winkel dem der vierten Seite gegenüberliegenden Schnittwinkel der Diagonalen. Mit den Bezeichnungen aus Abbildung 1 heißt das: $\sigma_1=\frac{\gamma+\delta}{2}$.
Satz 2: Der Nebenwinkel jenes Schnittwinkels entspricht der halben Summe der an der vierten Seite anliegenden Winkel, also: $\sigma_2=\frac{\alpha+\beta}{2}$.

Beweis

Da die Dreiecke ACD und BCD gleichschenklig sind, lassen sich ihre Basiswinkel mithilfe der Innenwinkelsumme im Dreieck zu $\alpha_1=\gamma_2=\frac{\pi-\delta}{2}$ und $\beta_2=\delta_1=\frac{\pi-\gamma}{2}$ berechnen. Wieder mit der Innenwinkelsumme im Dreieck, hier das Dreieck CDS, gilt

$$\begin{aligned} \sigma_1 &= \pi-\gamma_2-\delta_1 \\ &= \pi-\frac{\pi-\delta}{2}-\frac{\pi-\gamma}{2} \\ &= \frac{\delta+\gamma}{2} \end{aligned}$$

Für die Innenwinkelsumme im Viereck gilt $\alpha+\beta+\gamma+\delta=2\pi$, für die Schnittwinkel $2\pi=2\sigma_1+2\sigma_2$. Setzt man diese Formeln gleich und das obige Ergebnis ein …

$$\alpha+\beta+\gamma+\delta=2\left(\frac{\gamma+\delta}{2}\right)+2\sigma_2$$

… erhält man durch Umstellen der Gleichung das Ergebnis: $\sigma_2=\frac{\alpha+\beta}{2}$.

Längen der Diagonalen

Satz 3: In einem Sanjiegun-Viereck messen die Diagonalen das doppelte Produkt der mehrfach vorkommenden Seitenlänge mit dem Sinus des halben, der Diagonalen gegenüberliegenden, von gleichen Seiten eingeschlossenen Winkels. Mit den Bezeichnungen aus Abbildung 1 gelten also $d_1=2b\sin\frac{\delta}{2}$ und $d_2=2b\sin\frac{\gamma}{2}$.

Beweis

Zunächst gilt mit dem Kosinussatz im Dreieck ACD:

$$\begin{aligned} d_1^2 &= b^2+b^2-2bb\cos{\delta} \\ &= 2b^2-2b^2\cos{\delta} \\ &= 4b^2\left(\frac{1-\cos{\delta}}{2}\right) \end{aligned}$$

Zieht man nun beiderseits die Wurzel und greift dann auf die geeignete Halbwinkelformel zurück, erhält man:

$$\begin{aligned} d_1 &= 2b\sqrt{\frac{1-\cos{\delta}}{2}} \\ &= 2b\sin\frac{\delta}{2} \end{aligned}$$

Der Beweis für $d_2=2b\sin\frac{\gamma}{2}$ erfolgt analog.

Seitenbeziehung mit eingeschlossenen Winkeln

Satz 4: Der Quotient aus Seitenlänge a und der im Sanjiegun-Viereck dreimal vorkommenden Seitenlänge b lässt sich in Abhängigkeit von den durch die drei gleichen Seiten eingeschlossenen Winkel γ und δ folgendermaßen darstellen:

$$\frac{a}{b}=\sqrt{2\cos(\gamma+\delta)-2\cos\gamma-2\cos\delta+3}$$

Satz 5: Die folgende Darstellung ist dazu äquivalent:

$$\frac{a}{b}=\sqrt{8\sin\frac{\gamma}{2}\cdot\sin\frac{\delta}{2}\cdot\cos\left(\pi-\frac{\gamma}{2}-\frac{\delta}{2}\right)+1}$$

Beweis zu Satz 4

Mit dem Kosinussatz und den obigen Ausführungen gilt im Dreieck ABC:

$$\begin{aligned} a^2 &= b^2+d_1^2-2bd_1\cos{\gamma_1} \\ &= b^2+\left(2b\sin\frac{\delta}{2}\right)^2-2b\left(2b\sin\frac{\delta}{2}\right)\cos\left(\gamma-\frac{\pi-\delta}{2}\right) \end{aligned}$$

In einem ersten Schritt der Umformung werden beide Seiten der Gleichung durch $b^2$ geteilt und ausgenutzt, dass sich die Kosinusfunktion durch eine phasenverschobene Sinusfunktion darstellen lässt:

$$\frac{a^2}{b^2}=1+4\left(\sin\frac{\delta}{2}\right)^2-4\sin\frac{\delta}{2}\cdot\sin\left(\gamma+\frac{\delta}{2}\right)$$

Mit dem geeigneten Additionstheorem wird daraus:

$$\frac{a^2}{b^2}=1+4\left(\sin\frac{\delta}{2}\right)^2-4\sin\frac{\delta}{2}\cdot\left(\sin\gamma\cdot\cos\frac{\delta}{2}+\cos\gamma\cdot\sin\frac{\delta}{2}\right)$$

Ausmultiplizieren und Ausklammern bringt nun:

$$\frac{a^2}{b^2}=1+4\left(\sin\frac{\delta}{2}\right)^2(1-\cos\gamma)-4\sin\gamma\cdot\sin\frac{\delta}{2}\cdot\cos\frac{\delta}{2}$$

Anwenden der Formeln zu Halb- bzw. Doppelwinkelfunktionen führt zu folgender Darstellung, in der nun klar ersichtlich ist, dass sich der Quotient der Seitenlängen a und b bei einem Vertauschen der Winkel γ und δ nicht ändert:

$$\frac{a^2}{b^2}=1+2(1-\cos\delta)(1-\cos\gamma)-2\sin\gamma\cdot\sin\delta$$

Das Auflösen der Klammern durch Ausmultiplizieren erbringt:

$$\frac{a^2}{b^2}=2\cos\gamma\cdot\cos\delta-2\cos\gamma-2\cos\delta-2\sin\gamma\cdot\sin\delta+3$$

Eine erneute Anwendung der Additionstheoreme resultiert in:

$$\frac{a^2}{b^2}=2\cos(\gamma+\delta)-2\cos\gamma-2\cos\delta+3$$

Zieht man auf beiden Seiten der Gleichung die Quadratwurzel, erhält man die behauptete Beziehung:

$$\frac{a}{b}=\sqrt{2\cos(\gamma+\delta)-2\cos\gamma-2\cos\delta+3}$$

Beweis zu Satz 5

Steigen wir noch einmal an dieser Stelle des Beweises zu Satz 4 ein:

$$\frac{a^2}{b^2}=1+4\left(\sin\frac{\delta}{2}\right)^2(1-\cos\gamma)-4\sin\gamma\cdot\sin\frac{\delta}{2}\cdot\cos\frac{\delta}{2}$$

Durch Anwenden der Halb- bzw. Doppelwinkelfunktionen lässt sich dies auch umwandeln in diese Darstellung:

$$\frac{a^2}{b^2}=1+8\left(\sin\frac{\gamma}{2}\right)^2\left(\sin\frac{\delta}{2}\right)^2-8\sin\frac{\gamma}{2}\cdot\cos\frac{\gamma}{2}\cdot\sin\frac{\delta}{2}\cdot\cos\frac{\delta}{2}$$

Ausklammern erbringt:

$$\frac{a^2}{b^2}=1-8\sin\frac{\gamma}{2}\cdot\sin\frac{\delta}{2}\cdot\left(\cos\frac{\gamma}{2}\cdot\cos\frac{\delta}{2}-\sin\frac{\gamma}{2}\cdot\sin\frac{\delta}{2}\right)$$

Ausnutzen des geeigneten Additionstheorems führt nun hierher:

$$\frac{a^2}{b^2}=1-8\sin\frac{\gamma}{2}\cdot\sin\frac{\delta}{2}\cdot\cos\left(\frac{\gamma}{2}+\frac{\delta}{2}\right)$$

Dank den Symmetrien der Kosinusfunktion lässt sich dies umwandeln zu:

$$\frac{a^2}{b^2}=8\sin\frac{\gamma}{2}\cdot\sin\frac{\delta}{2}\cdot\cos\left(\pi-\frac{\gamma}{2}-\frac{\delta}{2}\right)+1$$

Beiderseitiges Ziehen der Wurzel bringt dann die gesuchte Darstellung:

$$\frac{a}{b}=\sqrt{8\sin\frac{\gamma}{2}\cdot\sin\frac{\delta}{2}\cdot\cos\left(\pi-\frac{\gamma}{2}-\frac{\delta}{2}\right)+1}$$

Anwendung: Spiegeldreiecke

Sanjiegun-Vierecke spielen nicht nur bei der Auseinandersetzung mit traditionellen chinesischen Waffen eine Rolle. Sie tauchen zum Beispiel bei der Konstruktion von Spiegeldreiecken auf, wie Abbildung 2 zeigt.

Abbildung 2: Bei der Konstruktion des Spiegeldreiecks (gestrichelte Linien) eines Dreiecks (durchgezogene Linien) ergeben sich drei Sanjiegun-Vierecke (rot, grün, blau). Die Diagonalen (grau) der Sanjiegun-Vierecke sind identisch mit den über die Dreiecksseite hinaus aufs Doppelte verlängerten Höhen des ursprünglichen Dreiecks.

Betrachten wir ein Dreieck mit den Winkeln κ, λ, μ und den diesen Winkeln gegenüberliegenden Seiten der Längen k, l und m. Die Seitenlängen dessen Spiegeldreiecks sollen K, L und M heißen, sodass K mit dreimal k, L mit dreimal l und M mit dreimal m Sanjiegun-Vierecke bilden. Satz 5 gibt nun fürs Verhältnis der Seiten des Ausgangs- und des Spiegeldreiecks folgende elegante Resultate:

$$\begin{aligned} \frac{K}{k} &= \sqrt{8\cos\kappa\,\sin\lambda\,\sin\mu+1} \\ \frac{L}{l} &= \sqrt{8\sin\kappa\,\cos\lambda\,\sin\mu+1} \\ \frac{M}{m} &= \sqrt{8\sin\kappa\,\sin\lambda\,\cos\mu+1} \end{aligned}$$