Fingerabdrücke von Dreieckseigenschaften

In der ebenen Geometrie hängen viele interessante Eigenschaften von Dreiecken nicht von Größe und Lage ab, sondern nur von der Form der Dreiecke.[1] Beispielsweise bleibt ein rechtwinkliges Dreieck, dass man auf ein Blatt Papier zeichnet, auch dann rechtwinklig, wenn man es auf einem Kopierer vergrößert oder das Blatt dreht.

Dabei ändern sich weder die Winkel des Dreiecks noch das Verhältnis seiner Seitenlängen zueinander. Beim Skalieren werden alle Seitenlängen lediglich um einen gemeinsamen Faktor gestreckt oder gestaucht. Setzt man zwei Seiten zueinander ins Verhältnis, kürzt sich jener Faktor wieder heraus.

Vereinbarung: Mit c wird in diesem Artikel immer die längste Seite des Dreiecks bezeichnet.

Links: Dreieck mit Beschriftung der Eckpunkte A, B, C, der Winkel α, β, γ und der Seiten a, b, c. Rechts: Ein Dreieck gleicher Form, dessen Seiten allerdings mit x, y und 1 beschriftet sind.

Interessiert man sich für die Form eines Dreiecks, schadet es also nicht, die Längen seiner Seiten mit einem konstanten Faktor zu multiplizieren. In der obigen Abbildung habe ich alle Seiten des linken Dreiecks mit dem Faktor $\frac{1}{c}$ multipliziert. Daraus ergibt sich die Beschriftung des Dreiecks rechts:

$$\begin{aligned} a\cdot\frac{1}{c} &= x\\ b\cdot\frac{1}{c} &= y\\ c\cdot\frac{1}{c} &= 1 \end{aligned}$$

Ein Gewinn dieser Übung: Anstatt drei Parametern a, b, c sind mit x und y nur noch zwei zu berücksichtigen. Nun kann man ein Dreieck als Punkt in ein Diagramm mit x- und y-Achse einzeichnen. In diesem einen Punkt stecken alle Informationen über die Form des Dreiecks. Man kann aus diesem Punkt das Dreieck also rekonstruieren: Die Seitenlängen x und y liest man ab und die dritte Seite ist immer 1.

Alternativ lässt sich die Form des Dreiecks durch Angabe zweier Winkel kodieren, vorzugsweise α und β, und so in ein Diagramm mit α- und β-Achse einzeichnen.

Eine Dreiecksform mit nur einem Punkt in einem Diagramm festzuhalten ist nett. Was passiert aber, wenn man alle möglichen Dreiecke mit einer gemeinsamen Eigenschaft in ein solches Diagramm einzeichnet? Man erhält eine Art Signatur, einen Fingerabdruck der Dreieckseigenschaft!

In diesen Diagrammen sind alle möglichen rechtwinkligen Dreiecke eingezeichnet – links in ein x-y-Diagramm, rechts in ein α-β-Diagramm.

Mit so einem Diagramm einer Dreieckseigenschaft kann man schnell überprüfen, ob ein bestimmtes Dreieck diese Eigenschaft teilt. Man markiert für das zu testende Dreieck den entsprechenden Punkt im Diagramm. Liegt er abseits der Signatur der Eigenschaft, besitzt es diese Eigenschaft nicht. Liegt der Punkt genau auf der Signatur,[2] dann besitzt das getestete Dreieck die Eigenschaft.

Diese beiden Diagramme zeigen jeweils alle möglichen Dreiecke, die mindestens einen 45°-Winkel aufweisen.

Möchte man wissen, ob es ein Dreieck gibt, dass zwei Eigenschaften in sich vereint, legt man die Diagramme beider Eigenschaften übereinander. Überschneiden sich die Signaturen, dann liegt am Schnittpunkt ein Dreieck mit beiden Eigenschaften. Berühren sie sich nicht, schließen sich die Eigenschaften gegenseitig aus.

Diese beiden Diagramme repräsentieren alle Dreiecke, deren kleinere Ankreisflächen sich zur Fläche des größten Ankreises summieren.

Ob man lieber mit x und y oder mit α und β arbeitet, bleibt den eigenen Vorlieben überlassen. Da die Form eines Dreiecks vollständig in jeder der Varianten kodiert ist, sollte nicht überraschen, dass man die eine in die andere Variante umrechnen kann. Aus dem Kosinussatz folgt:

$$\begin{aligned} \alpha &= \arccos\left(\frac{y^2-x^2+1}{2y}\right) \\ \beta &= \arccos\left(\frac{x^2-y^2+1}{2x}\right) \end{aligned}$$
Diese Diagramme repräsentieren jeweils alle gleichschenkligen Dreiecke.

Die Umrechnung in anderer Richtung lässt sich leicht aus dem Sinussatz ableiten:[3]

$$\begin{aligned} x &= \frac{\sin(\alpha)}{\sin(\alpha+\beta)} \\ y &= \frac{\sin(\beta)}{\sin(\alpha+\beta)} \end{aligned}$$
Diese Diagramme repräsentieren alle „Vampirdreiecke“, Dreiecke ohne Spiegeldreieck.

Übrigens: Alle möglichen Dreiecke füllen weder die gesamte Fläche des x-y-Diagramms noch jene des α-β-Diagramms aus.[4] Im Fall des x-y-Diagramms muss nämlich $x+y>1$ gelten, da man in der ebenen Geometrie aus drei Seiten nur ein Dreieck bilden kann, wenn die kürzeren Seiten zusammen länger als die längste sind.

$2\alpha+\beta\leq\pi$ und $\alpha+2\beta\leq\pi$ setzen beim α-β-Diagramm Grenzen, weil sonst α oder β größer als der dritte Winkel γ wären. Dies kann nicht sein, da gemäß Vereinbarung c die längste Seite bezeichnet und jener Winkel im Dreieck, welcher der längsten Seite gegenüberliegt, stets der größte ist.

Diese Diagramme repräsentieren alle möglichen Dreiecke. Dabei entsprechen gleiche Farben im x-y- und α-β-Diagramm der gleichen Dreiecksform.

[1]
Von Dreiecken, welche dieselbe Form aufweisen, sagen Mathematiker auch, dass sie einander ähnlich sind.
[2]
Da man Diagramme nicht unendlich genau zeichnen kann, ist ein handfester Beweis nötig, um einem Dreieck eine Eigenschaft mit Sicherheit zuzusprechen.
[3]
Dabei wurde die Innenwinkelsumme des Dreiecks von π rad (= 180°) sowie die Spiegelsymmetrie der Sinusfunktion genutzt: $\sin(\gamma)=\sin(\pi-\alpha-\beta)=\sin(\alpha+\beta)$
[4]
Wer Angst vor weißen Flächen hat, kann in der Aprilrückschau eine dritte Diagramm-Variante finden, welche die gesamte Fläche nutzt.