April 2013

Artikel

Fingerabdrücke von Dreieckseigenschaften

Die Form eines Dreiecks lässt sich leicht durch einen Punkt in einem zweidimensionalen Diagramm kodieren. Zeichnet man alle Dreiecksformen mit einer bestimmten Eigenschaft ins Diagramm, ergibt das eine Signatur der Dreieckseigenschaft.

Unterwegs auf der Kyritzer Platte

Von Kyritz aus wanderten Migo und ich quer über die Kyritzer Platte mal südlich, mal nördlich der Bundesstraße 5 durch den Kyritzer Westen und die ganze Gemeinde Gumtow. Fotos von unserem Ausflug zeigen diese Landschaft mit ihren flachen Niederungen, wie sie sich Mitte April zeigt.

Entfernungsangaben

Spricht man vom Abstand zweier Orte, denkt man oft an ihre Entfernung auf Luftlinie. Wer viel mit dem Auto fährt, denkt vielleicht zuerst an die Länge der bevorzugten Straßenverbindung, denn diese kennt man vom Kilometerzähler des Fahrzeugs oder dem Routenplaner. Wenn die Entfernung zweier Orte für uns interessant ist, weil wir die Strecke zurücklegen möchten/müssen, kann es auch sein, dass die räumliche Entfernung unwichtig ist. Andere „Abstände“ wie die Reisezeit oder Reisekosten treten dann in den Vordergrund. Bei Kosten kann man außer an die eigenen finanziellen Kosten auch an die Belastung für die Umwelt denken.

In manchen Situationen verhalten sich all diese Maße ähnlich. Vergleiche ich etwa die Entfernung von meinem Haus zum Lebensmittelhändler um die Ecke mit jener zwischen meinem Haus und einem beliebigen Lebensmittelhändler in Berlin, dann fällt der Abstand zum Lebensmittelhändler um die Ecke sowohl auf Luftlinie als auch nach Verkehrswegen als auch zeitlich als auch bei den Kosten geringer als jener nach Berlin aus.

In anderen Situationen verhalten sich die Maße unterschiedlich, sogar gegensätzlich. Bei einer Bahnfahrt etwa kann man Orte oft preislich näher zusammenrücken lassen, wenn man die Reisezeit vergrößert, nämlich indem man mit Regionalzügen anstatt einem Expresszug reist. Wenn man Entscheidungen an der Entfernung zweier Orte ausrichtet – beispielsweise ob man eine Arbeitsstelle annimmt, zu der man pendeln muss –, lohnt es daher, sich genau zu überlegen, auf welche Art Abstand es tatsächlich ankommt. So kann die Arbeitsstelle in Bahnhofsnähe in der Nachbarstadt dank guter Zugverbindung zeitlich viel näher liegen als eine räumlich nähere Arbeitsstelle in der eigenen Stadt, die per Rad, Auto oder Bus nur mit deutlich geringerer Geschwindigkeit angefahren werden kann.

Kontraposition mit Bären
oder In einem gesunden Bären wohnt ein gesunder Appetit

Das ist ein Satz über gesunde Bären. Kann man aus ihm auch etwas über kranke Bären folgern? Oder über appetitlose Bären? Der Satz steht exemplarisch für viele Wenn-dann-Sätze, mit denen wir täglich hantieren, und die Fragen laufen auf die Suche nach einem Umkehrschluss hinaus. Erstaunlicherweise misslingt dieser in der Praxis häufig. So folgt die nächste Aussage nicht aus dem ersten Satz:

Tatsächlich lässt sich aus dem ersten Satz nichts über den Appetit kranker Bären schließen! Der erste Satz ist sowohl mit kranken Bären vereinbar, denen die Krankheit auf den Appetit geschlagen hat, als auch mit solchen, denen trotz Krankheit ein gesunder Appetit innewohnt. Andererseits lässt sich aus dem ersten Satz durchaus etwas über den Gesundheitszustand appetitloser Bären schließen. Folgender Satz ist eine korrekte Schlussfolgerung aus (1):

Richtiges logisches Schließen hat zunächst mit dem Inhalt des Gesagten kaum zu tun, sondern kann allein durch Anwendung weniger Regeln zur Umformung von Aussagen und ihren Verknüpfungen erfolgen. Das mag unangenehm abstrakt klingen, es bewahrt einen aber davor, von der Intuition in die Irre geleitet zu werden. Außerdem ermöglicht es, korrekte Schlussfolgerungen von Maschinen oder Computern erledigen zu lassen, obwohl diese von der Welt nichts verstehen.

Satz (1) lässt sich zu „A ⇒ B“ formalisieren, wobei „A“ für die Aussage „der Bär ist gesund“, „B“ für die Aussage „dem Bären wohnt ein gesunder Appetit inne“ und „⇒“ für die Verknüpfung „wenn … dann“, „aus … folgt“ beziehungsweise „impliziert“ steht. Auf eine Implikation kann man eine logische Schlussregel namens Kontraposition anwenden. Die Kontraposition verwandelt „A ⇒ B“ in „¬B ⇒ ¬A“, wobei „¬“ für eine Negation steht. „¬B ⇒ ¬A“ ist nun das, was Satz (3) besagt.

Eine Schlussregel oder eine gültige Verkettung von Schlussregeln, die Satz (1) in Aussage (2) verwandelt, gibt es nicht. Der erste Satz und Aussage (2) schließen sich allerdings auch nicht gegenseitig aus. Man kann daher auf Grundlage des ersten Satzes nicht behaupten, Aussage (2) wäre falsch. Sie könnte falsch sein, sie könnte richtig sein: Sie ist unabhängig vom ersten Satz.

Ich würde mich freuen, wenn in der Schule richtiges Schlussfolgern intensiver behandelt würde – ich kann mich nicht erinnern, dass ihm in meiner Schulzeit nennenswert Raum gegeben wurde. Eventuell wurde in der Abiturzeit im Informatikunterricht daran gekratzt. Sich mehr mit Logik auseinanderzusetzen wäre meiner Ansicht nach nützlicher als viele auswendig gelernte Fakten.

v-w-Diagramm für Dreieckseigenschaften

Im Artikel Fingerabdrücke von Dreieckseigenschaften stellte ich zwei Diagrammtypen vor, die bei der Beschäftigung mit Dreiecken praktisch sein können.

Sie nutzen die Diagrammfläche allerdings nicht vollständig aus, was der eine oder andere als dekadente Platzverschwendung ansehen mag. Für sie naht Hilfe: Das v-w-Diagramm als dritte Variante basiert wie das α-β-Diagramm auf den Innenwinkeln, die jedoch ähnlich den Dreiecksseiten beim x-y-Diagramm mit einem gemeinsamen Faktor multipliziert werden, hier $\frac{1}{\gamma}$. Mit $\gamma=\pi-\alpha-\beta$ errechnen sich v und w wie folgt:

Freilich kann man aus den Parametern v und w auch wieder die Winkel α und β errechnen:

Mehr als eine Demonstration, dass man die Diagrammfläche komplett nutzen kann, sehe ich allerdings nicht im v-w-Diagramm. Mit den eher künstlichen Parametern v und w ist diese Variante gewiss weniger anschaulich als die beiden im Artikel beschriebenen mit den Winkeln α und β beziehungsweise den Seitenverhältnissen x und y.