Betrachtung zu Ankreisen von Dreiecken

Im Juli notierte ich, dass sich nicht nur quadratische Flächen an den beiden kürzeren Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks zur entsprechenden Fläche an der längeren Seite summieren, sondern dass dies auch für andere Figuren gilt. Danach schaute ich mich nach Flächen an Dreiecken um, die ein entsprechendes Verhalten ohne rechten Winkel im Dreieck zeigen. So kam ich darauf, mir die Ankreise eines Dreiecks anzusehen und zu prüfen, wann sich bei ihnen die beiden Kreisflächen an den kürzeren Seiten zur dritten summieren.

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit nenne ich die längste Seite eines Dreiecks sowie deren Länge c, die anderen beiden Seitenlängen a und b. Im Wikipedia-Artikel zu den Ankreisen ist als Formel für den Radius des außen an a anliegenden Ankreises

$$\varrho_a=\frac{2A}{b+c-a}$$

angegeben, wobei A für den Flächeninhalt des Dreiecks steht. Der Flächeninhalt des Ankreises berechnet sich nun aus Radius zum Quadrat mal π. Die betrachtete Beziehung – die Flächensumme der Ankreise an den kurzen Seiten gleicht der Fläche des Ankreises an der längsten Seite – lässt sich demnach so schreiben:

$$\frac{4A^2\pi}{(b+c-a)^2}+\frac{4A^2\pi}{(a+c-b)^2}=\frac{4A^2\pi}{(a+b-c)^2}$$

Dividiert man beide Seiten der Gleichung durch den Zähler der gebrochene Terme, bleibt:

$$\frac{1}{(b+c-a)^2}+\frac{1}{(a+c-b)^2}=\frac{1}{(a+b-c)^2}$$

Nun interessieren mich aber nicht konkrete Zahlen für Seitenlängen, bei denen diese Gleichung erfüllt ist, sondern die Formen der Dreiecke, bei denen die Gleichung gilt. Dafür ist unerheblich, in welcher Einheit ich die Seitenlängen messe. So kann ich es mir erlauben, das Dreieck mit den Seitenlängen $x=\frac{a}{c}, y=\frac{b}{c}, 1=\frac{c}{c}$ zu betrachten. Das ist dasselbe Dreieck wie zuvor, nur dass die Seitenlängen jetzt in der Einheit c anstatt der Einheit 1 gemessen werden. Nun stellt sich die obige Gleichung wie folgt dar:

$$\frac{1}{(y+1-x)^2}+\frac{1}{(x+1-y)^2}=\frac{1}{(x+y-1)^2}$$

wobei $x,y\in(0,1]$ und $x+y>1$. Diese beiden letztgenannten Nebenbedingungen ergeben sich schlicht aus dem Umstand, dass x und y die kurzen Seiten eines Dreiecks sind, dessen längste Seite 1 misst.

Ein bisschen umgestellt und man sieht schnell, dass eine Gleichung vierten Grades im Spiel ist, wenn man nach y oder x auflösen möchte. Dafür gibt es zwar eine allgemeine Lösungsformel, allerdings ist diese und ihr Ergebnis etwas unübersichtlich, daher verzichte ich an dieser Stelle darauf, die komplette Lösung in geschlossener Form anzugeben. Ein Computeralgebrasystem erledigt so etwas heutzutage in Windeseile. In der folgenden Grafik wird y in Abhängigkeit von x als blau-rote Kurve dargestellt.

Graph zu $\frac{1}{(y+1-x)^2}+\frac{1}{(x+1-y)^2}=\frac{1}{(x+y-1)^2}$ mit $x,y\in(0,1]$ und $x+y>1$.

Zwei einfache Lösungen möchte ich herauspicken. Zum einen den Fall des gleichschenkligen Dreiecks: Das Seitenverhältnis von Schenkel zu Basis in einem gleichschenkligen Dreieck mit der Eigenschaft, dass sich die Flächen der Schenkelankreise zur Fläche des Basisankreises summieren, ist $\frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{8}}$ zu 1.

Zum anderen den Fall, dass eine kurze Seite halb so lang wie die längste Seite ist. Dann muss die verbleibende Seite im Verhältnis $\frac{1}{2}+\sqrt{\sqrt{5}-2}$ zu 1 zur längsten Seite stehen, damit sich die Flächen der beiden kleineren Ankreise zur Fläche des dritten Ankreises summieren.