Lösung

In der Erzählung „Max, der Manager“ wurde ein mathematisches Problem beschrieben. Die Frage ist: Wie hoch liegt der Stundenlohn von Max letztendlich?

Einfache Berechnung des richtigen Lohns für Max

Gegeben sind die Stundenlöhne der drei Gestalter von jeweils 10 Talern. Nennen wir die drei Gestalter Anton, Bernd und Christian:

Bekannt ist außerdem, dass Max als leitender Angestellter das Doppelte des Durchschnitts aller Angestellter, zu denen ebenfalls er gehört, verdient. In eine Formel lässt sich das so gießen:

Diese Gleichung zu lösen ist nicht schwer. Die Zahlen 2 und 4 können gegeneinander gekürzt werden, sodass im Nenner eine 2 verbleibt. Dann auf beiden Seiten der Gleichung zunächst mit 2 multiplizieren und M abziehen ergibt:

Nun braucht es keine Zauberkunst mehr, um herauszufinden, dass Max einen Stundenlohn von 30 Talern erhalten muss. Das ist bereits die Lösung des Problems.

Einstieg in die Gehaltsspirale

In der Erzählung wurde für Max’ Stundenlohn allerdings zunächst ein falscher Wert von 20 Talern angenommen. Die Formel $2\cdot\frac{G_A+G_B+G_C+M}{4}$ wurde dann verwendet, um einen neuen Stundenlohn auszurechnen. Nennen wir die Annahme von 20 Talern $M_0:=20$. Dann wurde der neue Wert berechnet als:

Da sich die Stundenlöhne der Gestalter nicht ändern, können wir sie leicht als $G:=G_A+G_B+G_C$ zusammenfassen und außerdem die Zahlen 2 und 4 gegeneinander kürzen. Das ändert das Ergebnis nicht, erspart aber Schreibarbeit:

Der Wert $M_1$ von 25 Talern wurde in der Erzählung nun anstelle der 20 Taler wieder in die gleiche Formel eingesetzt, um den nächsten Wert $M_2$ von 27,50 Talern zu berechnen:

In dieser Formel taucht $M_1$ auf der rechten Seite auf. Man kann dafür die ganze rechte Seite der darüber stehende Gleichung einsetzen und erhält:

Macht man so weiter, ergibt sich bei der n-ten Berechnung schließlich:

In der letzten Darstellung muss man sich einen n-fachen Bruch mit n-mal dem Nenner 2 und n-mal dem Summanden G vorstellen. Doch wo führt das hin? Schraubt sich der Zahlenwert mit wachsenden n tatsächlich ins Unendliche, wie Ulli in der Erzählung befürchtet?

Lösen der Gehaltsspirale

Um den verschachtelten Bruch auf der rechten Seite aufzulösen, werden zunächst beide Seiten der Gleichung mit dem Nenner 2 multipliziert und es ergibt sich:

Dasselbe wird wiederholt. Das Ergebnis:

Fährt man so fort, bis alle Brüche aufgelöst sind, erhält man:

Auf der rechten Seite lässt sich G ausklammern:

Erfreulicherweise steht in der Klammer eine besonders einfache geometrische Reihe, die man wunderbar ersetzen kann:¹

Multipliziert man die Klammer nun wieder aus und teilt beide Seiten der Gleichung durch $2^n$, erhält man:

Nun ist schön zu sehen, dass bei steigendem n die Terme $\frac{G}{2^n}$ und $\frac{M_0}{2^n}$ gegen null streben, da ihre Zähler konstant sind und ihre Nenner mit n exponentiell anwachsen. Es gilt also:

Demnach ist egal, ob man anfangs von einem beliebigen, falschen Stundenlohn ausgeht: Wendet man die Formel der Gehaltsberechnung wiederholt an, landet man näher und näher am richtigen Wert. So auch in der Erzählung. Der Stundenlohn von Max wächst nicht ins Unendliche, sondern strebt auf den Wert von 30 Talern zu. Es gibt keinen Anlass für Panik – Ulli und Ulla können ihren Südamerika-Urlaub genießen.