Eine Einteilung ganzer Zahlen > 1
Ein Zahlensystem auf Basis der Primfaktorzerlegung
Jede ganze Zahl größer eins lässt sich gemäß dem Fundamentalsatz der Arithmetik eindeutig in Primfaktoren zerlegen, z. B. ist $63=7\cdot 3\cdot 3$. Die Primfaktoren sind hier nach Größe absteigend geordnet aufgeschrieben. Sich wiederholende Primfaktoren braucht man nur einmal notieren, wenn man mit Exponenten arbeitet, z. B. ist $63=7^1\cdot 3^2$. In diese Darstellung kann man auch alle in der Primfaktorzerlegung nicht vorkommenden Primzahlen, die kleiner als der größte Primfaktor sind, mit dem Exponenten null einfließen lassen. Das geht, weil jede natürliche Zahl hoch null eins ergibt und die Multiplikation mit eins das Produkt nicht verändert. Also ist $63=7^1\cdot 5^0\cdot 3^2\cdot 2^0$. Hält man sich daran, die Primzahlen des Produkts beginnend beim größten Primfaktor absteigend anzuordnen, keine Primzahl auszulassen und keine zu doppeln, genügt für eine eindeutige Aufschlüsselung das Notieren der Exponenten: $63=[1,0,2,0]$, hier durch eckige Klammern umschlossen und voneinander mit Kommas getrennt. Diese Notation stellt ein Zahlensystem dar, welches ich auf dieser Seite verwende.
In diesem Zahlensystem lassen sich Zahlen besonders leicht multiplizieren, indem man die entsprechenden Exponenten addiert, beispielsweise $[d,c,b,a]\cdot [\gamma,\beta,\alpha]=[d+0,c+\gamma,b+\beta,a+\alpha]$.
Definitionen
Definition: Sei $\Omega(n)$ die Anzahl der Primfaktoren einer Zahl $n$.
Siehe auch A001222. Im vorgestellten Zahlensystem lässt sich $\Omega(n)$ leicht als Summe der Exponenten ermitteln, beispielsweise ist $\Omega(63)=\Omega([1,0,2,0])=1+0+2+0=3$.
Definition: Wenn $p$ der größte Primfaktor einer Zahl $n$ und die $i$-te Primzahl ist, dann sei $\Lambda(n)=i$.
Siehe auch A061395. In unserem Zahlensystem lässt sich $\Lambda(n)$ leicht als die Anzahl der Exponenten ermitteln, beispielsweise ist $\Lambda(63)=\Lambda([1,0,2,0])=4$.
Definition: $M(n):=\Omega(n)+\Lambda(n)$ heißt hier die Masse einer Zahl.
Ferner bezeichnet $M_k$ die Menge aller ganzen Zahlen $n$ größer eins, für die $M(n)=k$ gilt, also die Menge der Zahlen mit der Masse $k$.
Sätze
Primzahlen und Zweierpotenzen
Satz: Für die $i$-te Primzahl $p_i$ gilt: $\Omega(p_i)=1$ und $\Lambda(p_i)=i$. Es folgt $M(p_i)=i+1$.
Jede Primzahl besitzt nur einen Primfaktor, nämlich sich selbst mit dem Exponenten eins, daher ist $\Omega(p_i)=1$. Zusammen mit den $i-1$ kleineren Primfaktoren mit den Exponenten null ergibt dies $i$ Exponenten im vorgestellten Zahlensystem, also ist $\Lambda(p_i)=i$. Aus $M(p_i)=i+1$ folgt, dass alle Mengen $M_k$ mit ganzen $k>1$ genau eine Primzahl enthalten.
Satz: Für die $i$-te Zweierpotenz $2^i$ gilt: $\Omega(2^i)=i$ und $\Lambda(2^i)=1$. Es folgt $M(2^i)=i+1$.
Zwei ist eine Primzahl. Daher entspricht die Summe der Exponenten der Primfaktoren einer Zweierpotenz $\Omega(2^i)=i$. Da zwei die kleinste Primzahl ist, gibt es im vorgestellten Zahlensystem auch keine weiteren Primfaktoren mit Exponenten null zu berücksichtigen. Die Anzahl der Exponenten ist $\Lambda(2^i)=1$. Aus $M(2^i)=i+1$ folgt, dass alle Mengen $M_k$ mit ganzen $k>1$ genau eine Zweierpotenz enthalten.
Mächtigkeit der Mengen von Zahlen gleicher Masse
Satz: $|M_1|=0$. Für ganze $k>1$ gilt: $|M_k|=2^{k-2}$.
Jede ganze Zahl $n$ größer eins besitzt mindestens einen Primfaktor mit Exponent ungleich null, daher ist sowohl die Summe der Exponenten $\Omega(n)\geq 1$ als auch die Zahl von Primzahlen, die kleiner oder gleich dem größten Primfaktor sind, $\Lambda(n)\geq 1$. Folglich ist $M(n)=\Omega(n)+\Lambda(n)\geq 2$ und $M_1$ die leere Menge.
Die masseärmste Zahl ist zwei mit $M(2)=M([1])=2$. Jede andere ganze Zahl größer eins hat entweder einen größeren Primfaktoren oder einen höheren Exponenten, also ist $M_2=\{2\}=\{[1]\}$ und $|M_2|=1=2^{2-2}$.
Nehmen wir nun an, für ein bestimmtes $j$ gelte $|M_j|=2^{j-2}$. Aus den Elementen der Menge $M_j$ können die Elemente der Menge $M_{j+1}$ konstruiert werden, indem jedes Element mit zwei multipliziert wird (der letzte Exponent erhöht), oder im vorgestellten Zahlensystem am Ende der Exponent null angehängt wird.