Kosinusprodukt im Dreieck

Ein Dreieck besitzt drei Winkel $\alpha,\beta,\gamma\in(0,\pi)$ mit der Winkelsumme $\alpha+\beta+\gamma=\pi$. Kosinusprodukt bezeichnet auf dieser Seite das Produkt $\cos\alpha\,\cos\beta\,\cos\gamma$. Es spielt unter anderem eine Rolle bei Berechnungen zum Spiegeldreieck eines Dreiecks.

Werte des Kosinusprodukts

Der Bildbereich des Kosinusprodukts, also welche Werte das Kosinusprodukt tatsächlich annimmt, soll ermittelt werden. Bei dieser Untersuchung wird unter Beibehaltung der Winkelsumme zunächst $\alpha,\beta,\gamma\in[0,\pi]$ zugelassen, es werden also auch degenerierte Dreiecke betrachtet.

Vorbetrachtungen

Sinus- und Kosinusfunktion sind stetig und beliebig oft differenzierbar. Dasselbe gilt für ihre Produkte sowie für Verkettungen mit Polynomen.1 Im Reellen sind Sinus- und Kosinusfunktion auf Werte aus dem Intervall $[-1,1]$ beschränkt.2

Aus 3 mach 2

Ersetzt man im Kosinusprodukt einen Winkel mit Hilfe der Winkelsumme durch die beiden übrigen Winkel, $\gamma=\pi-\alpha-\beta$, lässt sich das Kosinusprodukt als Funktion von nur zwei Variablen

$$\begin{aligned} f(\alpha,\beta) &= \cos\alpha\,\cos\beta\,\cos(\pi-\alpha-\beta) \\ &= -\cos\alpha\,\cos\beta\,\cos(\alpha+\beta) \end{aligned}$$

mit dem Definitionsbereich $\{(\alpha,\beta)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}|\alpha,\beta\geq 0 \;\mathrm{und}\;\alpha+\beta\leq\pi\}$ und der Zielmenge $\mathbb{R}$ schreiben.

Abbildung 1: Der Graph von $f(\alpha,\beta)$ erstellt mit Grapher 2.1.

Ableitungen

Um den Bildbereich zu ermitteln, sollen die globalen Minima und Maxima gefunden werden. Zu diesem Zweck werden zunächst die ersten und zweiten partiellen Ableitungen gebildet. Die partielle Ableitung von f nach α notiere ich dabei als $f_\alpha$. Neben den Ableitungsregeln sind hierfür auch die Additionstheoreme hilfreich:

$$\begin{aligned} f_\alpha(\alpha,\beta) &= \cos\beta\,\sin(2\alpha+\beta) \\ f_\beta(\alpha,\beta) &= \cos\alpha\,\sin(2\beta+\alpha) \\ f_{\alpha\alpha}(\alpha,\beta) &= 2\cos\beta\,\cos(2\alpha+\beta) \\ f_{\beta\beta}(\alpha,\beta) &= 2\cos\alpha\,\cos(2\beta+\alpha) \\ f_{\alpha\beta}(\alpha,\beta) = f_{\beta\alpha}(\alpha,\beta) &= \cos(2\alpha+2\beta) \end{aligned}$$

Kandidatensuche für lokale Extremstellen

An Extremstellen sind die ersten partiellen Ableitungen einer Funktion null. Um diese Stellen zu ermitteln, ist also für die partielle Ableitung nach α zu betrachten:

$$f_\alpha(\alpha_0,\beta_0) = \cos\beta_0\,\sin(2\alpha_0+\beta_0) = 0$$

Die Nullstellen der Kosinusfunktion liegen bei $\frac{\pi}{2}+k\pi$ mit einer beliebigen ganzen Zahl $k$. Aus dem Intervall $[0,\pi]$ kommt damit nur $\beta_0=\frac{\pi}{2}$ in Frage, um den ersten Faktor der Ableitung nullzusetzen.

Die Nullstellen der Sinusfunktion liegen bei $k\pi$. Wenn $2\alpha_0+\beta_0=k\pi$, ist die Ableitung also ebenfalls null. Beachtet man, dass beide Winkel im Intervall $[0,\pi]$ liegen müssen, ergibt das folgende Möglichkeiten:

$k=0$
dann ist $\alpha_0=\beta_0=0$, mit der Winkelsumme im Dreieck folgt $\gamma_0=\pi$,
$k=1$
dann ist $2\alpha_0+\beta_0=\pi$, mit der Winkelsumme im Dreieck folgt $\gamma_0=\alpha_0$,
$k=2$
dann ist $\alpha_0=\pi$, mit der Winkelsumme im Dreieck folgt $\gamma_0=\beta_0=0$.

Zusammengefasst gibt es drei Möglichkeiten, damit die partielle Ableitung nach α null wird:

  1. β nimmt einen rechten Winkel an,
  2. ein beliebiger Winkel ist gestreckt und die anderen beiden 0,
  3. α und γ sind gleich.

Analog ergeben sich bei der partiellen Ableitung nach β folgende drei Möglichkeiten:

  1. α nimmt einen rechten Winkel an,
  2. ein beliebiger Winkel ist gestreckt und die anderen beiden 0,
  3. β und γ sind gleich.

Sowohl die partielle Ableitung nach α, als auch die partielle Ableitung nach β müssen an der Stelle $(\alpha_0,\beta_0)$ null sein, um dort eine Extremstelle zu ermöglichen. Daher wird nun betrachtet, welche der Möglichkeiten sich kombinieren lassen. Eine unmögliche Kombination wird durch nein gekennzeichnet, eine mögliche durch ja.

a. b. c.
1. ja nein ja
2. nein ja ja
3. ja ja ja

Zusammengefasst:

  1. Die Möglichkeiten 1.a., 1.c. und 3.a. laufen darauf hinaus, dass jeweils zwei Winkel rechte Winkel sind und der dritte 0. Dies kommt nur in degenerierten Dreiecken vor.
  2. Die Möglichkeiten 2.b., 2.c. und 3.b. laufen darauf hinaus, dass ein Winkel gestreckt ist und die anderen beiden 0. Dies kommt nur in degenerierten Dreiecken vor.
  3. Zu guter Letzt bedeutet Möglichkeit 3.c., dass alle Winkel gleich groß sind, also $\alpha=\beta=\gamma=\frac{\pi}{3}$. Dies ist genau dann der Fall, wenn das Dreieck gleichseitig ist.

Kandidaten zeigen ihr lokales Gesicht

Um herauszufinden, ob es sich bei den ermittelten Kandidaten für Extremstellen um Maxima, Minima oder Sattelpunkte handelt, werden an den möglichen Extremstellen die Determinante

$$\begin{aligned} M(\alpha,\beta) &= f_{\alpha\alpha}(\alpha,\beta)f_{\beta\beta}(\alpha,\beta)-\left(f_{\alpha\beta}(\alpha,\beta)\right)^2 \\ &= 2\cos\beta\,\cos(2\alpha+\beta)\cdot2\cos\alpha\,\cos(2\beta+\alpha)-\left(\cos(2\alpha+2\beta)\right)^2 \end{aligned}$$

der Hesse-Matrix der zweiten partiellen Ableitungen sowie gegebenenfalls $f_{\alpha\alpha}(\alpha,\beta)$ betrachtet:3

  1. $M(\frac{\pi}{2},0)=M(0,\frac{\pi}{2})=M(\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})=-1<0$, an diesen Stellen finden sich also Sattelpunkte.
  2. $M(\pi,0)=M(0,\pi)=M(0,0)=3>0$ und $f_{\alpha\alpha}(\pi,0)=f_{\alpha\alpha}(0,\pi)=f_{\alpha\alpha}(0,0)=2>0$, an diesen Stellen finden sich also lokale Minima.
  3. $M(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{3})=\frac{3}{4}>0$ und $f_{\alpha\alpha}(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{3})=-1<0$, an dieser Stelle gibt es demnach ein lokales Maximum.

Globales Maximum

Um zu überprüfen, ob es sich bei $\alpha=\beta=\gamma=\frac{\pi}{3}$ mit $f(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{3})=\frac{1}{8}$ auch um das globale Maximum des Kosinusprodukts handelt, ist nun noch zu testen, ob an den Rändern $\alpha=0$ und $\beta=0$ und $\alpha+\beta=\pi$ des Definitionsbereichs höhere Werte erreicht werden.

$\alpha=0$
dann ist $f(0,\beta) = -\cos(0)\,\cos\beta\,\cos(0+\beta) = -(\cos\beta)^2 \leq 0$ ohne globales Maximum,
$\beta=0$
dann ist $f(\alpha,0) = -\cos\alpha\,\cos(0)\,\cos(\alpha+0) = -(\cos\alpha)^2 \leq 0$ ohne globales Maximum,
$\alpha+\beta=\pi$
dann ist $f(\alpha,\pi-\alpha) = -\cos\alpha\,\cos(\pi-\alpha)\,\cos(\pi) = -(\cos\alpha)^2 \leq 0$ ohne globales Maximum.

Das Kosinusprodukt ist mit $\frac{1}{8}$ demnach tatsächlich im gleichseitigen Dreieck maximal.

Globales Minimum

An den ermittelten lokalen Minima ist $f(\pi,0)=f(0,\pi)=f(0,0)=-1$. Da $\cos x\in[-1,1]$ ist, kann ein reines Produkt aus Kosinus keinen noch kleineren Wert annehmen. $-1$ ist also auch global der kleinste Funktionswert.

Bildbereich

Als stetige Funktion nimmt das Kosinusprodukt auch alle Werte zwischen dem größten und kleinsten Wert an. Der Bildbereich ist also $\left[-1,\frac{1}{8}\right]$, wenn degenerierte Dreiecke zugelassen werden. Ohne degenerierte Dreiecke entfallen die Minima, und das Kosinusprodukt nimmt alle Werte aus $\left(-1,\frac{1}{8}\right]$ an.

Kosinusprodukt in speziellen Dreiecken

Abbildung 2: Graph der Kosinusfunktion im Intervall $[0,2\pi]$. Die Abbildung basiert auf einer Vektorgrafik von Geek3 (Wikimedia Commons).

Kosinusprodukt im rechtwinkligen Dreieck

Für den Kosinus des rechten Winkels gilt $\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$. Mit diesem Faktor ist das Kosinusprodukt jedes rechtwinkligen Dreiecks null.

Kosinusprodukt im spitzwinkligen Dreieck

Im spitzwinkligen Dreieck fallen alle Winkel in das Intervall $\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$. Da die Funktionswerte der Kosinusfunktion über diesem Bereich ausnahmslos positiv sind, ist auch das Kosinusprodukt positiv.

Kosinusprodukt im stumpfwinkligen Dreieck

Stumpfwinklige Dreiecke besitzen zwei spitze Winkel, deren Kosinus positiv sind, sowie einen Winkel aus dem Intervall $\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$. Da die Funktionswerte der Kosinusfunktion über diesem Bereich ausnahmslos negativ sind, ist auch das Kosinusprodukt negativ.

Spiegeldreiecke spitzwinkliger Dreiecke

Zu guter Letzt ein Satz zu Spiegeldreiecken von spitzwinkligen Dreiecken.

Vorbetrachtungen

Für spitzwinklige Dreiecke charakteristisch ist, dass die Summe der Quadrate über zwei beliebigen Seiten stets größer als das Quadrat über der dritten Seite ist. Dies folgt aus dem Kosinussatz, wenn man beachtet, dass der Kosinus spitzer Winkel positiv ist. Es gelten also:

$$\begin{aligned} a^2+b^2-c^2 &>0 \\ a^2+c^2-b^2 &>0 \\ b^2+c^2-a^2 &>0 \end{aligned}$$

Ebenfalls mit dem Kosinussatz lässt sich für das Kosinusprodukt festhalten:

$$\cos\alpha\,\cos\beta\,\cos\gamma = \frac{(a^2+b^2-c^2)(a^2+c^2-b^2)(b^2+c^2-a^2)}{8a^2b^2c^2}$$

Satz

Das Kosinusprodukt des Spiegeldreiecks eines spitzwinkligen Dreiecks ist mindestens so groß wie dessen Kosinusprodukt. Sind $\alpha,\beta,\gamma$ die Winkel des spitzwinkligen Dreiecks und $\alpha_s,\beta_s,\gamma_s$ die Winkel dessen Spiegeldreiecks, heißt dies:

$$\cos\alpha\,\cos\beta\,\cos\gamma \leq \cos\alpha_s\,\cos\beta_s\,\cos\gamma_s$$

Gleichheit gilt im Fall gleichseitiger Dreiecke.

Der Satz impliziert, dass auch das Spiegeldreieck eines spitzwinkligen Dreiecks spitzwinklig ist und im Sinne des Kosinusprodukts einem gleichseitigen Dreieck näher als das Ausgangsdreieck.

Abbildung 3: Von einem spitzwinkligen Dreieck wurde das Spiegeldreieck erstellt, von diesem wieder das Spiegeldreieck, von diesem wieder das Spiegeldreieck … Die Fläche wächst bei jedem Schritt nicht nur auf das 3- bis 4-Fache, die Spiegeldreiecke ähneln nach jedem Schritt auch immer stärker einem gleichseitigen Dreieck.

Beweis

Mit dem Kosinussatz wird aus der Behauptung über Winkel eine Behauptung über die Seitenlängenquadrate der Dreiecke:

$$\frac{(a^2+b^2-c^2)(a^2+c^2-b^2)(b^2+c^2-a^2)}{8a^2b^2c^2} \leq \frac{({a_s}^2+{b_s}^2-{c_s}^2)({a_s}^2+{c_s}^2-{b_s}^2)({b_s}^2+{c_s}^2-{a_s}^2)}{8{a_s}^2{b_s}^2{c_s}^2}$$

Multipliziert man beide Seiten der Ungleichung mit beiden Nennern und teilt durch 8, ergibt das:

$${a_s}^2{b_s}^2{c_s}^2(a^2+b^2-c^2)(a^2+c^2-b^2)(b^2+c^2-a^2) \leq a^2b^2c^2({a_s}^2+{b_s}^2-{c_s}^2)({a_s}^2+{c_s}^2-{b_s}^2)({b_s}^2+{c_s}^2-{a_s}^2)$$

Zieht man auf beiden Seiten der Ungleichung die linke Seite ab, erhält man:

$$0 \leq a^2b^2c^2({a_s}^2+{b_s}^2-{c_s}^2)({a_s}^2+{c_s}^2-{b_s}^2)({b_s}^2+{c_s}^2-{a_s}^2) - {a_s}^2{b_s}^2{c_s}^2(a^2+b^2-c^2)(a^2+c^2-b^2)(b^2+c^2-a^2)$$

Die Seitenlängen-Formeln für Spiegeldreiecke eingesetzt, zusammengefasst und ausgeklammert ergibt:

$$0 \leq \frac{4(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)(a+b+c)(c^{14}-4b^2c^{12}-4a^2c^{12}+6b^4c^{10}+10a^2b^2c^{10}+6a^4c^{10}-3b^6c^8-9a^2b^4c^8-9a^4b^2c^8-3a^6c^8-3b^8c^6+6a^2b^6c^6+3a^4b^4c^6+6a^6b^2c^6-3a^8c^6+6b^{10}c^4-9a^2b^8c^4+3a^4b^6c^4+3a^6b^4c^4-9a^8b^2c^4+6a^{10}c^4-4b^{12}c^2+10a^2b^{10}c^2-9a^4b^8c^2+6a^6b^6c^2-9a^8b^4c^2+10a^{10}b^2c^2-4a^{12}c^2+b^{14}-4a^2b^{12}+6a^4b^{10}-3a^6b^8-3a^8b^6+6a^{10}b^4-4a^{12}b^2+a^{14})}{a^2b^2 c^2}$$

Teilt man beidseitig durch $4(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)(a+b+c)$ – in jedem nicht-degenerierten Dreieck sind alle Faktoren dieses Terms positiv – und multipliziert mit dem Nenner, bleibt:

$$0 \leq c^{14}-4b^2c^{12}-4a^2c^{12}+6b^4c^{10}+10a^2b^2c^{10}+6a^4c^{10}-3b^6c^8-9a^2b^4c^8-9a^4b^2c^8-3a^6c^8-3b^8c^6+6a^2b^6c^6+3a^4b^4c^6+6a^6b^2c^6-3a^8c^6+6b^{10}c^4-9a^2b^8c^4+3a^4b^6c^4+3a^6b^4c^4-9a^8b^2c^4+6a^{10}c^4-4b^{12}c^2+10a^2b^{10}c^2-9a^4b^8c^2+6a^6b^6c^2-9a^8b^4c^2+10a^{10}b^2c^2-4a^{12}c^2+b^{14}-4a^2b^{12}+6a^4b^{10}-3a^6b^8-3a^8b^6+6a^{10}b^4-4a^{12}b^2+a^{14}$$

Die rechte Seite der Ungleichung lässt sich des Weiteren äquivalent wie folgt umformen:

$$0 \leq \frac{(a^2-b^2)^4(a^2+b^2-c^2)^3+(a^2-c^2)^4(a^2+c^2-b^2)^3+(b^2-c^2)^4(b^2+c^2-a^2)^3}{2}+2(a^2+b^2-c^2)(a^2+c^2-b^2)(b^2+c^2-a^2)(a^2b^2(a^2-b^2)^2 + a^2c^2(a^2-c^2)^2 + b^2c^2(b^2-c^2)^2)$$

In dieser Form ist mit den Vorbetrachtungen offensichtlich, dass diese Ungleichung in spitzwinkligen Dreiecken stimmt, und dass Gleichheit nur durch $a^2=b^2=c^2$, das heißt im gleichseitigen Dreieck, hergestellt wird.

  1. Wikipedia: Analytische Funktion, Abrufdatum 2011-03-27
  2. Wikipedia: Sinus und Kosinus, Abrufdatum 2011-03-28
  3. Wikipedia: Second partial derivative test, Abrufdatum 2011-03-27