Edle Reihe

Dieser Artikel führt eine Reihe ein, die ich edle Reihe nenne. Verglichen wird sie mit der harmonischen Reihe und dem natürlichen Logarithmus. Veranschaulicht werden die Überlegungen durch eine geometrische Interpretation. Verwandte Reihen werden am Ende vorgestellt.

Edle Folge

Als edle Folge $\langle e_k\rangle$ bezeichne ich die Folge der folgenden Kettenbrüche

$$e_k := \dfrac{1}{k+\dfrac{1}{k+\dfrac{1}{k+\ddots}}}$$

Die wichtige Eigenschaft $k+e_k=\frac{1}{e_k}$ aller Folgenglieder kann direkt aus der Kettenbruchdarstellung abgelesen werden.

Die Folgenglieder lassen sich auch als Kehrwerte der Grenzwerte der Folge[1] β mit den Parametern $p=-k$ und $q=-1$ beschreiben. Die Bestimmung der Kehrwerte dieser Grenzwerte ergibt die äquivalente Darstellung

$$e_k = \frac{2}{k+\sqrt{k^2+4}}$$

$1:e_1$ ist der Goldene Schnitt, $1:e_2$ der Silberne Schnitt, … Die Folgenglieder sind nach Edelmetallen benannt – daher meine Bezeichnung edle Folge.

Vergleich mit der harmonischen Folge

Die Folgenglieder $e_k$ der edlen Folge werden mit denen der harmonischen Folge $h_k=\frac{1}{k}$ und jenen der „um 1 verschobenen harmonischen Folge“ $a_k=\frac{1}{k+1}$ verglichen: Es gilt für alle $k\in\mathbb{N}$

$$\begin{array}{rrcccl} & a_k & < & e_k & < & h_k \\ \Leftrightarrow & \dfrac{1}{k+1} &<& \dfrac{2}{k+\sqrt{k^2+4}} &<& \dfrac{1}{k} \\ \Leftrightarrow & \dfrac{2}{2\left(k+1\right)} &<& \dfrac{2}{k+\sqrt{k^2+4}} &<& \dfrac{2}{2k} \\ \Leftrightarrow & \dfrac{2}{k+\left(k+2\right)} &<& \dfrac{2}{k+\sqrt{k^2+4}} &<& \dfrac{2}{k+k} \\ \Leftrightarrow & \dfrac{2}{k+\sqrt{k^2+4k+4}} &<& \dfrac{2}{k+\sqrt{k^2+4}} &<& \dfrac{2}{k+\sqrt{k^2}} \\ \end{array}$$

Die harmonische Folge $\langle h_k\rangle$ ist also eine Majorante von $\langle e_k\rangle$, die Folge $\langle a_k\rangle$ ist eine Minorante von $\langle e_k\rangle$.

Edle Reihe

Als edle Reihe $\langle E_n\rangle$ bezeichne ich die Folge der Partialsummen der edlen Folge:

$$\begin{aligned} E_n :={}& \sum_{k=1}^{n}e_k \\ ={}& \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\ddots}}} + \dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2+\ddots}}} + \dfrac{1}{3+\dfrac{1}{3+\dfrac{1}{3+\ddots}}} + \cdots + \dfrac{1}{n+\dfrac{1}{n+\dfrac{1}{n+\ddots}}} \end{aligned}$$

Harmonische Reihe

Definiert werden auch die harmonische Reihe $\langle H_n\rangle$ und die „verschobene harmonische Reihe“ $\langle A_n\rangle$:

$$\begin{aligned} H_n &:= \sum_{k=1}^{n}h_k \\ A_n &:= \sum_{k=1}^{n}a_k \end{aligned}$$

Für die Differenz dieser beiden Reihen gilt:

$$\begin{aligned} H_n-A_n ={}& \frac{1}{1} +\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n} \\ {}& \phantom{\frac{1}{1}}-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\cdots-\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \\ ={}& \frac{1}{1}-\frac{1}{n+1} \\ ={}& h_1-a_n \end{aligned} \\$$

Beiden Reihen trennt also nur eine Differenz von etwas weniger als 1.

Eigenschaften der edlen Reihe

Die edle Reihe ist streng monoton steigend, denn für alle Glieder $e_k$ der edlen Folge gilt $e_k>0$.

Da die harmonische Reihe bekanntermaßen[2] streng monoton steigend und divergent ist und ihre Differenz zur „verschobenen harmonischen Reihe“ 1 nicht übersteigt, ist auch die „verschobene harmonische Reihe“ bestimmt divergent. Folglich ist auch die edle Reihe bestimmt divergent, denn es gilt $A_n<E_n<H_n$.

Vergleich mit dem natürlichen Logarithmus

Während harmonische und edle Reihe divergente Reihen sind, konvergiert die Differenz aus der jeweiligen Reihe und dem natürlichem Logarithmus von n. Bekanntermaßen[3] gilt

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\left(H_n-\ln n\right) =: \gamma\approx 0.5772156649$$

wobei γ die Euler-Mascheroni-Konstante bezeichnet. Analog bietet sich an, die Differenz aus edler Reihe und natürlichem Logarithmus zu betrachten.[4] Ihren Grenzwert bezeichne ich mit ε:

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\left(E_n-\ln n\right) =: \varepsilon\approx 0.04166626 \approx\frac{1}{24}$$

Logarithmus von n oder von (n + 1)?

Der folgende Abschnitt beschäftigt sich mit einer geometrischen Interpretation der Reihen $\langle A_n\rangle$, $\langle E_n\rangle$, $\langle H_n\rangle$ sowie der $\ln$-Funktion. Darin vergleiche ich die mit n indizierten Reihen mit $\ln(n+1)$ anstatt mit $\ln n$ wie soeben. Der Vergleich mit $\ln(n+1)$ ist aus geometrischer Sicht meiner Meinung nach naheliegender. Für die Grenzwerte macht es hier aber keinen Unterschied, ob man eine Differenz mit $\ln(n+1)$ oder mit $\ln n$ bildet, denn

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\ln(n+1)-\ln n\right) = 0$$

… und $\ln n$ schreibt sich wohl einfach schöner.

Geometrische Interpretation

Der natürliche Logarithmus einer Zahl t entspricht der Fläche unter dem Graphen der Funktion $\frac{1}{x}$ im Intervall $[1,t]$:

$$\ln t = \int_1^t\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x$$

Die folgende Grafik[5] stellt $\ln(n+1)$ mit $n=4$ als hellblaue Fläche unter dem Kurvenverlauf von $\frac{1}{x}$ dar.

Die harmonische Reihe $\langle H_n\rangle$ überschätzt diesen Wert. In der folgenden Grafik stellt sich $H_4$ als hellrote Fläche unter einer Treppe dar, deren Stufen genau auf $\frac{1}{x}$ sitzen.

Die „verschobene harmonische Reihe“ $\langle A_n\rangle$ unterschätzt $\ln(n+1)$ hingegen. Die folgende Grafik zeigt $A_4$ als hellgrüne Fläche unter einer Treppe, deren Stufen genau unter $\frac{1}{x}$ hängen.

Die nächste Grafik zeigt $E_4$ als gelbe Fläche. Man erkennt im Vergleich mit den vorigen Grafiken, dass die edle Reihe $\langle E_n\rangle$ zwischen $\langle A_n\rangle$ und $\langle H_n\rangle$ liegt.

Die Stufenoberkanten der edlen Reihe liegen genau so, dass sich zwischen ihrem k-ten Schnittpunkt mit $\frac{1}{x}$, der x-Achse und dem Lot auf die x-Achse an der Stelle k ein Quadrat aufspannt, wie folgende Grafik illustriert. Diese Charakteristik ergibt sich direkt aus der Eigenschaft $k+e_k=\frac{1}{e_k}$ der edlen Folge.

Die orangefarbenen Quadrate mit der Seitenlänge $e_k$ bilden ihrerseits wieder eine Folge und in Summe eine Reihe. Dies motiviert zur späteren Verallgemeinerung.

Verwandte Reihen

Alternierende edle Reihe

Analog zur alternierenden harmonischen Reihe kann man auch eine alternierende edle Reihe betrachten. Ihre Konvergenz ist durch das Leibniz-Kriterium sichergestellt, da $\langle e_k\rangle$ eine streng monoton fallende Nullfolge ist. Für den Grenzwert gilt:

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}e_k \approx 0.37562834$$

Verallgemeinerung der edlen Reihe

Mit einem Parameter z wird die edle Reihe verallgemeinert:

$$Z_n = \sum_{k=1}^n{e_k}^z$$

Ebenso lässt sich bekanntermaßen[6] die harmonische Reihe verallgemeinern:

$$S_n = \sum_{k=1}^n{h_k}^z = \sum_{k=1}^n\frac{1}{k^z}$$

Für $z>1$ ist $\langle Z_n\rangle$ konvergent: $\langle S_n\rangle$ bildet eine konvergente Majorante. Für $z=1$ ist $\langle Z_n\rangle$ divergent, denn dann handelt es sich bei ihr um nichts anderes als die edle Reihe. Im Fall $z<1$ divergiert $\langle Z_n\rangle$ mit der edlen Reihe als Minorante, denn für alle natürlichen k ist $0<e_k<1$ und mit $\delta:=1-z>0$ gilt

$$\begin{aligned} e_k &< {e_k}^{1-\delta} \\ \Leftrightarrow\quad 1 &< {e_k}^{-\delta} \\ \Leftrightarrow\quad 1 &< (e_k+k)^\delta \end{aligned}$$

Als konvergentes Beispiel sei der Fall $z=2$ genannt, welcher der Summe der orangefarbenen Quadrate in der Illustration oben entspricht.

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^n(e_k)^2 \approx 0.9155879$$

[1]
siehe Grenzwerte zweier Folgen
[2]
siehe Meyers Großes Konversations-Lexikon, Band 8. Leipzig 1907, S. 813: harmonische Reihe
[3]
siehe Wikipedia: Euler-Mascheroni-Konstante (Abrufdatum 2010-01-14)
[4]
Die Abschätzung für ε ermittelte ich durch Berechnung von $E_n-\ln n$ für große n mit einigen Zeilen PHP. PHP ist allerdings nicht gerade super geeignet – falls jemand ein gutes Programm zur Verfügung hat: Genauere Ergebnisse würden mich interessieren! Gleiches gilt auch für die anderen ungefähr angegebenen Grenzwerte des Artikels.
[5]
Die Grafiken dürfen unter Beachtung der Creative-Commons-Lizenz „Namensnennung“ weiterverwendet werden.
[6]
siehe Wikipedia: harmonische Reihe (Abrufdatum 2010-01-14)