Der schmale Grat

In diesem Dokument werden für zwei Folgenscharen mit den Parametern p und q die Gleichheit ihrer rekursiven und expliziten Bildungsgesetze bewiesen. Daraufhin werden Ihre Grenzwerte bestimmt. Dieselben Folgenscharen wurden in vorangegangen Artikeln [1] bei negativer und positiver Diskriminante \Delta einer zugehörigen quadratischen Gleichung betrachtet. Dieser Artikel beschäftigt sich mit dem schmalen Grat dazwischen, dem Fall \Delta=0.

Voraussetzungen

Vorausgesetzt werden p,q\in\mathbb{R}\setminus\{0\} und p^2=4q sowie n\in\mathbb{N}. q>0 folgt. Die rekursiven Definitionen sind

\parstyle \begin{align*} \alpha(n) &= \begin{cases} 0 & \mathrm{falls\quad} n=1 \\ -\frac{q}{p+\alpha(n-1)} & \mathrm{falls\quad} n>1 \end{cases} \\ \beta(n) &= \begin{cases} -p & \mathrm{falls\quad} n=1 \\ -p-\frac{q}{\beta(n-1)} & \mathrm{falls\quad} n>1 \end{cases} \end{align*}

Behauptungen

Für alle natürlichen n sind

\parstyle \begin{alignat*}{2} \alpha(n) &= -\frac{p}{2}\cdot\frac{n-1}{n} &&= -\frac{n-1}{n}\sqrt{q} \\ \beta(n) &= -\frac{p}{2}\cdot\frac{n+1}{n} &&= -\frac{n+1}{n}\sqrt{q} \end{alignat*}

Beweise

Die Gleichheit der expliziten Bildungsgesetze ergibt sich aus der Voraussetzung p^2=4q. Die Gleichheit von expliziten und rekursiven Bildungsgesetzen wird im Folgenden gezeigt.

Beweis für die Folge α

Zuerst wird bewiesen, dass die Behauptung für das konkrete n=1 gilt:

\parstyle \begin{align*} -\frac{p}{2}\cdot\frac{n-1}{n} &\stackrel{n=1}{=} -\frac{p}{2}\cdot\frac{1-1}{1} \\ &= 0 \\ &= \alpha(1) \end{align*}

So weit, so gut. Nun nehmen wir an, dass die Behauptung für ein konkretes n bewiesen wurde, und zeigen, dass sie dann auch für n+1 gilt:

\parstyle \begin{align*} \alpha(n+1) &= -\frac{q}{p+\alpha(n)} \\ &= -\frac{\left(\frac{p^2}{4}\right)}{p+\left(-\frac{p}{2}\cdot\frac{n-1}{n}\right)} \\ &= -\frac{\frac{p^2}{4}}{\frac{2np-np+p}{2n}} \\ &= -\frac{p^2}{4}\cdot\frac{2n}{p(n+1)} \\ &= -\frac{p}{2}\cdot\frac{n}{n+1} \end{align*}

Folglich gilt die Behauptung für alle n.

Beweis für die Folge β

Zuerst wird bewiesen, dass die Behauptung für das konkrete n=1 gilt:

\parstyle \begin{align*} -\frac{p}{2}\cdot\frac{n+1}{n} &\stackrel{n=1}{=} -\frac{p}{2}\cdot\frac{1+1}{1} \\ &= -p \\ &= \beta(1) \end{align*}

So weit, so gut. Nun nehmen wir an, dass die Behauptung für ein konkretes n bewiesen wurde, und zeigen, dass sie dann auch für n+1 gilt:

\parstyle \begin{align*} \beta(n+1) &= -p-\frac{q}{\beta(n)} \\ &= -p-\frac{\left(\frac{p^2}{4}\right)}{\left(-\frac{p}{2}\cdot\frac{n+1}{n}\right)} \\ &= -p+\frac{\left(\frac{p}{2}\right)}{\left(\frac{n+1}{n}\right)} \\ &= -p+\frac{p}{2}\cdot\frac{n}{n+1} \\ &= -\frac{p}{2}\left(2-\frac{n}{n+1}\right) \\ &= -\frac{p}{2}\cdot\frac{2(n+1)-n}{n+1} \\ &= -\frac{p}{2}\cdot\frac{n+2}{n+1} \end{align*}

Folglich gilt die Behauptung für alle n.

Konvergenz und Grenzwert

Beide Folgen konvergieren gegen die Lösung -\frac{p}{2} der quadratischen Gleichung 0=x^2+px+q, wenn n gegen unendlich läuft.

[1]
Betrachtet wurden Bildungsgesetze und Grenzwerte zweier Folgenscharen \alpha und \beta unter der Bedingung \Delta>0, das heißt bei positiver Diskriminante, und Divergenz bei negativer Diskriminante \Delta<0.