Quadratwurzeln approximieren

Mit Hilfe der im November 2009 veröffentlichten Beweise zu den rekursiv gebrochenen Folgen lässt sich eine Möglichkeit zur Approximation [1] von Quadratwurzeln herleiten.

Behauptung

Für alle reellen $z>0$ gilt für alle reellen $k>0$ :

\sqrt{z} = k+\dfrac{z-k^2}{2k+\dfrac{z-k^2}{2k+\dfrac{z-k^2}{2k+\dfrac{z-k^2}{2k+\ddots}}}}

Beweis

Für $k^2=z$ nimmt der Bruch den trivialen Wert 0 an und es bleibt $k$ als Lösung der Wurzel von $z$ übrig. Im Folgenden wird der Fall $k^2\neq z$ betrachtet.

Nimm die Gleichung (1)

\parstyle \begin{align*} 0 &= 0 \\ \Leftrightarrow\quad 0 &= k^2+2k\sqrt{z}+z-2k^2-2k\sqrt{z}+k^2-z \\ \Leftrightarrow\quad 0 &= \left(k+\sqrt{z}\right)^2-2k\left(k+\sqrt{z}\right)+k^2-z \end{align*}

und ersetze darin

\parstyle \begin{align*} x &:= k+\sqrt{z} \\ p &:= -2k \\ q &:= k^2-z \end{align*}

um folgende Gleichung (2) zu erhalten

0=x^2+px+q

Unter den mit den vorgenommenen Ersetzungen erfüllten Voraussetzungen $pq\neq 0$ und $p^2>4q$ sowie $|a|<|b|$ , wobei $a$ und $b$ Lösungen der Gleichung (2) sind:

\parstyle \begin{align*} a &= -\frac{p}{2}-\sqrt{\frac{p^2}{4}-q} \\ b &= -\frac{p}{2}+\sqrt{\frac{p^2}{4}-q} \end{align*}

gilt gemäß http://prlbr.de/2009/11/grenzwerte-zweier-folgen/:

\parstyle \begin{align*} \beta(n) &= \begin{cases} -p & \mathrm{falls\quad} n=1 \\ -p-\frac{q}{\beta(n-1)} & \mathrm{falls\quad} n>1 \\ \end{cases} \\ \lim_{n\rightarrow\infty}\beta(n) &= b \end{align*}

Dann gilt auch mit den oben vorgenommenen Ersetzungen

\parstyle \begin{align*} \beta(n) &= \begin{cases} 2k & \mathrm{falls\quad} n=1 \\ 2k+\frac{z-k^2}{\beta(n-1)} & \mathrm{falls\quad} n>1 \\ \end{cases} \\ \lim_{n\rightarrow\infty}\beta(n) &= k+\sqrt{z} \end{align*}

oder anders ausgedrückt

\sqrt{z} = k+\dfrac{z-k^2}{2k+\dfrac{z-k^2}{2k+\dfrac{z-k^2}{2k+\dfrac{z-k^2}{2k+\ddots}}}}

Schon fertig. :-)

Anmerkung

Um mit dieser Formel die Quadratwurzel einer Zahl $z$ anzunähern, kann man der Einfachheit halber $k:=1$ setzen, dann gilt $k=k^2$ . Für eine rasche Konvergenz empfiehlt sich allerdings, mit $z-k^2$ der $1$ möglichst nahe zu kommen. Dafür kann für $k^2$ die $z$ am nächsten liegende bekannte Quadratzahl gewählt werden. Beispielsweise wäre zur Approximation der Quadratwurzel von $122$ die Wahl $k:=11$ , also $k^2=121$ , optimal.

[1]: Approximieren bezeichnet das Annähern.
Ein anderes Fachwort in diesem Zusammenhang ist „Radizieren“ fürs Wurzelziehen. Klingt sehr nach Radieschen, oder? Das ist kein Zufall – die Wurzel beider Worte liegt im lateinischen Wort radix: Wurzel.

Die präsentierte Formel ist als „Formel von Bombelli“ bekannt, siehe Splitter vom 19. Januar.