Grenzwerte zweier Folgen

In diesem Artikel werden von zwei Folgen [1] \alpha und \beta Grenzwerte bestimmt. Es handelt sich um dieselben Folgen, die bereits in einem früheren Artikel betrachtet wurden.

Voraussetzungen

Vorausgesetzt werden p,q\in\mathbb{R}\setminus\{0\} und p^2>4q sowie n\in\mathbb{N}.

\parstyle \begin{alignat*}{2} \alpha(n) &= q\frac{b^{n-1}-a^{n-1}}{b^n-a^n} &&= \begin{cases} 0 & \mathrm{falls\quad} n=1 \\ -\frac{q}{p+\alpha(n-1)} & \mathrm{falls\quad} n>1 \\ \end{cases} \\ \beta(n) &= \frac{b^{n+1}-a^{n+1}}{b^n-a^n} &&= \begin{cases} -p & \mathrm{falls\quad} n=1 \\ -p-\frac{q}{\beta(n-1)} & \mathrm{falls\quad} n>1 \\ \end{cases} \end{alignat*}

Dabei sind a und b die beiden reellwertigen Lösungen der quadratischen Gleichung 0=x^2+px+q:

\parstyle \begin{align*} a &= -\frac{p}{2}-\sqrt{\frac{p^2}{4}-q} \\ b &= -\frac{p}{2}+\sqrt{\frac{p^2}{4}-q} \end{align*}

Die Gleichheit der expliziten und rekursiven Bildungsgesetze wurde in einem früheren Artikel bewiesen.

Vorbetrachtungen

Das Produkt aus a und b ist q; aus q\neq 0 folgen a\neq 0 und b\neq 0:

\parstyle \begin{align*} ab &= \left(-\frac{p}{2}-\sqrt{\frac{p^2}{4}-q}\right)\left(-\frac{p}{2}+\sqrt{\frac{p^2}{4}-q}\right) \\ &= \left(-\frac{p}{2}\right)^2-\left(\sqrt{\frac{p^2}{4}-q}\right)^2 \\ &= \frac{p^2}{4}-\frac{p^2}{4}+q \\ &= q \end{align*}

Aus p^2>4q und p\neq 0 folgt |a|\neq|b|. Indirekter Beweis:

\parstyle \begin{align*} a &= b \\ \Leftrightarrow\quad 0 &= -\frac{p}{2}+\sqrt{\frac{p^2}{4}-q}+\frac{p}{2}+\sqrt{\frac{p^2}{4}-q} \\ \Leftrightarrow\quad 0 &= \sqrt{p^2-4q} \\ &{ } \\ a &= -b \\ \Leftrightarrow\quad 0 &= \frac{p}{2}-\sqrt{\frac{p^2}{4}-q}+\frac{p}{2}+\sqrt{\frac{p^2}{4}-q} \\ \Leftrightarrow\quad 0 &= p \end{align*}

\alpha und \beta lassen sich auch so darstellen:

\parstyle \begin{align*} \alpha(n) &= a+\frac{b-a}{1-\left(\frac{b}{a}\right)^n} = b+\frac{a-b}{1-\left(\frac{a}{b}\right)^n} \\ \beta(n) &= a+\frac{b-a}{1-\left(\frac{a}{b}\right)^n} = b+\frac{a-b}{1-\left(\frac{b}{a}\right)^n} \\ \end{align*}

Im Anhang finden sich die Herleitungen dieser Formeln.

Behauptungen: Konvergenz und Grenzwerte

\alpha und \beta sind konvergent und die Grenzwerte lauten:

\parstyle \begin{align*} \lim_{n\rightarrow\infty}\alpha(n) &= \begin{cases} a & \mathrm{falls\quad} |a|<|b| \\ b & \mathrm{falls\quad} |a|>|b| \end{cases} \\ \lim_{n\rightarrow\infty}\beta(n) &= \begin{cases} b & \mathrm{falls\quad} |a|<|b| \\ a & \mathrm{falls\quad} |a|>|b| \end{cases} \\ \end{align*}

Beweise

Fall |a| < |b|

\parstyle \begin{align*} \lim_{n\rightarrow\infty}\alpha(n) &= \lim_{n\rightarrow\infty}\left(b+\frac{a-b}{1-\left(\frac{a}{b}\right)^n}\right) \\ &= b+\frac{a-b}{1-\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{a}{b}\right)^n} \\ &= b+\frac{a-b}{1-0} \\ &= a \\ &{ } \\ \lim_{n\rightarrow\infty}\beta(n) &= \lim_{n\rightarrow\infty}\left(a+\frac{b-a}{1-\left(\frac{a}{b}\right)^n}\right) \\ &= a+\frac{b-a}{1-\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{a}{b}\right)^n} \\ &= a+\frac{b-a}{1-0} \\ &= b \end{align*}

Fall |a| > |b|

\parstyle \begin{align*} \lim_{n\rightarrow\infty}\alpha(n) &= \lim_{n\rightarrow\infty}\left(a+\frac{b-a}{1-\left(\frac{b}{a}\right)^n}\right) \\ &= a + \frac{b-a}{1-\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{b}{a}\right)^n} \\ &= a + \frac{b-a}{1-0} \\ &= b \\ &&&{ } \\ \lim_{n\rightarrow\infty}\beta(n) &= \lim_{n\rightarrow\infty}\left(b+\frac{a-b}{1-\left(\frac{b}{a}\right)^n}\right) \\ &= b+\frac{a-b}{1-\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{b}{a}\right)^n} \\ &= b+\frac{a-b}{1-0} \\ &= a \end{align*}

Zusammenhang mit Kettenbrüchen

Die Folgen \alpha und \beta stehen in engem Zusammenhang mit Kettenbrüchen. Dies wird deutlich, wenn man die rekursive Bildungsvorschrift anwendet und immer wieder in sich selbst einsetzt. Ein Beispiel für p=q=-1:

\parstyle \begin{alignat*}{2} \beta(0) &= 1 &&= \frac{1}{1} \\ \beta(1) &= 1+\frac{1}{1} &&= \frac{2}{1} \\ \beta(2) &= 1+\frac{1}{1+\frac{1}{1}} &&= \frac{3}{2} \\ \beta(3) &= 1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1}}} &&= \frac{5}{3} \\ \beta(4) &= 1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1}}}} &&= \frac{8}{5} \\ \end{alignat*}

… und so fort. In diesem Beispiel erzeugt \beta Quotienten aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen und konvergiert gegen den Goldenen Schnitt.

Ausblick

Demnächst werde ich in einem dritten Artikel Eigenschaften der Folgen für den Fall p^2<4q beleuchten, a und b sind dann komplex.

[1]
Eigentlich handelt es sich jeweils um Scharen unendlich vieler Folgen mit den Parametern p und q. Der Übersichtlichkeit halber schreibe ich das in diesem Artikel nicht ausdrücklich mit, sondern spreche einfach von den Folgen \alpha und \beta.

Anhang

Umformungen von α und β

Im Folgenden werden die bekannten Bildungsgesetze so umgeformt, dass sie \alpha und \beta bezüglich a, b und -\frac{p}{2} darstellen. Umformungen von \beta:

\parstyle \begin{align*} \beta(n) &= a+\frac{b^{n+1}-a^{n+1}}{b^n-a^n}-a \\ &= a+\frac{b^{n+1}-a^{n+1}-ab^{n}+a^{n+1}}{b^n-a^n} \\ &= a+\frac{b^{n}}{b^n-a^n}(b-a) \\ &= a+\frac{b-a}{1-\left(\frac{a}{b}\right)^n} \\ &{ } \\ \beta(n) &= b+\frac{b^{n+1}-a^{n+1}}{b^n-a^n}-b \\ &= b+\frac{b^{n+1}-a^{n+1}-b^{n+1}+a^nb}{b^n-a^n} \\ &= b+\frac{a^{n}}{b^n-a^n}(b-a) \\ &= b+\frac{a-b}{1-\left(\frac{b}{a}\right)^n} \\ &{ } \\ \beta(n) &= -\frac{p}{2}+\frac{b^{n+1}-a^{n+1}}{b^n-a^n}+\frac{p}{2} \\ &= -\frac{p}{2}+\frac{2(b^{n+1}-a^{n+1})+p(b^{n}-a^n)}{2(b^n-a^n)} \\ &= -\frac{p}{2}+\frac{b^n(2b+p)-a^n(2a+p)}{2(b^n-a^n)} \\ &= -\frac{p}{2}+\frac{b^n\sqrt{p^2-4q}+a^n\sqrt{p^2-4q}}{2(b^n-a^n)} \\ &= -\frac{p}{2}+\sqrt{\frac{p^2}{4}-q}\left(\frac{b^n+a^n}{b^n-a^n}\right) \end{align*}

Umformungen von \alpha:

\parstyle \begin{align*} \alpha(n) &= a+q\frac{b^{n-1}-a^{n-1}}{b^n-a^n}-a \\ &= a + \frac{b^{n-1}q-a^{n-1}q-b^na+a^{n+1}}{b^n-a^n} \\ &= a + \frac{b^{n-1}\left(q-ab\right)+a^{n}\left(a-\frac{q}{a}\right)}{b^n-a^n} \\ &= a + \frac{a^{n}}{b^n-a^n}(a-b) \\ &= a + \frac{b-a}{1-\left(\frac{b}{a}\right)^n} \\ &{ } \\ \alpha(n) &= b+q\frac{b^{n-1}-a^{n-1}}{b^n-a^n}-b \\ &= b+\frac{b^{n-1}q-a^{n-1}q-b^{n+1}+a^{n}b}{b^n-a^n} \\ &= b+\frac{b^{n}\left(\frac{q}{b}-b\right)+a^{n-1}\left(ab-q\right)}{b^n-a^n} \\ &= b+\frac{b^{n}}{b^n-a^n}(a-b) \\ &= b+\frac{a-b}{1-\left(\frac{a}{b}\right)^n} \\ &{ } \\ \alpha(n) &= -p-\beta(n) \\ &= -\frac{p}{2}-\sqrt{\frac{p^2}{4}-q}\left(\frac{b^n+a^n}{b^n-a^n}\right) \end{align*}