Mersenne-Zahlen …

Mersenne-Zahlen sind Zahlen der Form 2^{k}-1, wobei k eine natürliche Zahl ist. Noch nicht bekannt ist, ob es unendlich viele Mersenne-Primzahlen gibt [1]. Interessant ist der Zusammenhang zwischen Mersenne-Zahlen und perfekten Zahlen. Eine Zahl ist genau dann eine gerade perfekte Zahl, wenn sie der Form 2^{k-1}(2^{k}-1) entspricht und die Mersenne-Zahl 2^{k}-1 prim ist (Satz von Euklid und Euler).

… und die Erdős-Straus-Vermutung

Die Erdős-Straus-Vermutung besagt, dass sich \frac{4}{n} immer als Summe dreier Stammbrüche darstellen lässt, wenn n natürlich und größer 1 ist. Anders ausgedrückt, dass die Gleichung \frac{4}{n}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} für alle natürlichen n > 1 Lösungen mit natürlichen a, b und c besitzt. Die Vermutung ist im Allgemeinen seit rund 60 Jahren unbewiesen [1].

Behauptung

Die Erdős-Straus-Vermutung ist wahr für Mersenne-Zahlen, das heißt die Gleichung \frac{4}{2^{k}-1}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} besitzt für alle natürlichen k > 1 Lösungen mit natürlichen a, b und c.

Beweis

\parstyle \begin{align*} \frac{4}{2^{k}-1} &= \frac{2^{k}}{2^{k-2}} \cdot \frac{1}{2^{k}-1} \\ &= \left(\frac{2^{k}-1}{2^{k-2}}+\frac{1}{2^{k-2}}\right) \frac{1}{2^{k}-1} \\ &= \frac{1}{2^{k-2}}+\frac{1}{2^{k-2}\left(2^{k}-1\right)} \\ &= \frac{1}{2^{k-2}}+\frac{2}{2^{k-1}\left(2^{k}-1\right)} \\ &= \frac{1}{2^{k-2}}+\frac{1}{2^{k-1}\left(2^{k}-1\right)}+\frac{1}{2^{k-1}\left(2^{k}-1\right)} \end{align*}

… was zu beweisen war.

[1]
Stand: 12. September 2009 – ist das nicht eine schöne Herausforderung?